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解一阶微分方程组的差分法

8.5 解一阶微分方程组的差分法

现在考虑简单的方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
y_1^{\prime}=-4 y_1+y_2, \quad y_1(0)=1, \\
y_2^{\prime}=y_1-4 y_2, \quad y_2(0)=0 .
\end{array}\right.
$$

设 $y(x)=\left(y_1(x), y_2(x)\right)^{\mathrm{T}}$ 是两个方程的解构成的向量，且 $f(t, y)$ 被定义为

$$
f(x, y)=\left(f_1\left(x, y_1, y_2\right), f_2\left(x, y_1, y_2\right)\right)^{\mathrm{T}},
$$

其中

$$
\left\{\begin{array}{l}
f_1\left(x, y_1, y_2\right)=-4 y_1+y_2, \\
f_2\left(x, y_1, y_2\right)=y_1-4 y_2 .
\end{array}\right.
$$

设自变量的初始值是 $x_0=0$ ，初始解向量是 $y_0=(1,0)^{\mathrm{T}}$ ．这样我们就可以将上述方程

写为如下形式：

$$
\left\{\begin{array}{l}
y^{\prime}=f(x, y), \\
y(0)=y_0 .
\end{array}\right.
$$

对于该向量方程，我们可以看成＂一个方程＂，这样就可以利用前面介绍的有限差法的基本思想来求解，比如下面的例子。

例 8.11 考虑下面的洛特卡－沃尔泰拉（Lotka－Volterra）人口模型

$$
\left\{\begin{array}{l}
y_1^{\prime}=y_1-y_1 y_2+\sin \pi t, \quad y_1(0)=2, \\
y_2^{\prime}=y_1 y_2-y_2, \quad y_2(0)=1 .
\end{array}\right.
$$

将右端写为如下形式：

$$
\left\{\begin{array}{l}
f_1\left(t, y_1, y_2\right)=y_1-y_1 y_2+\sin \pi t \\
f_2\left(t, y_1, y_2\right)=y_1 y_2-y_2
\end{array}\right.
$$

然后可以利用相应的数值方法进行求解。比如，欧拉显式格式计算关系如下：

$$
\left\{\begin{array}{l}
y_{1, n+1}=y_{1, n}+h f_1\left(t_n, y_{1, n}, y_{2, n}\right), \\
y_{2, n+1}=y_{2, n}+h f_2\left(t_n, y_{1, n}, y_{2, n}\right) .
\end{array}\right.
$$

二阶亚当斯显式格式如下：

$$
\left\{\begin{array}{l}
y_{1, n+1}=y_{1, n}+\frac{1}{2} h\left[3 f_1\left(t_n, y_{1, n}, y_{2, n}\right)-f_1\left(t_{n-1}, y_{1, n-1}, y_{2, n-1}\right)\right] \\
y_{2, n+1}=y_{2, n}+\frac{1}{2} h\left[3 f_2\left(t_n, y_{1, n}, y_{2, n}\right)-f_2\left(t_{n-1}, y_{1, n-1}, y_{2, n-1}\right)\right]
\end{array}\right.
$$

下面我们使用 $h=1 / 4$ 的欧拉显式格式来计算该模型方程

$$
\left\{\begin{array}{l}
y_{1,1}=y_{1,0}+h f_1\left(0, y_{1,0}, y_{2,0}\right)=2+\frac{1}{4} \times(2-2 \times 1)+\sin 0=2, \\
y_{2,1}=y_{2,0}+h f_2\left(0, y_{1,0}, y_{2,0}\right)=1+\frac{1}{4} \times(2 \times 1-1)=\frac{5}{4} .
\end{array}\right.
$$

以上面欧拉显式格式的值作为起始值，我们可以利用二阶亚当斯显式格式继续进行计算．在这种情况下，我们有

$$
\begin{aligned}
y_{1,2} & =y_{1,1}+\frac{1}{2} h\left(3 f_1\left(t_1, y_{1,1}, y_{2,1}\right)-f_1\left(t_0, y_{1,0}, y_{2,0}\right)\right) \\
& =2+\frac{1}{2} \times \frac{1}{4}\left(3\left(2-2 \times \frac{5}{4}+\sin \frac{1}{4} \pi\right)-(2-2 \times 1+\sin 0)\right) \\
& \approx 2.078
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
y_{2,2} & =y_{2,1}+\frac{1}{2} h\left(3 f_2\left(t_1, y_{1,1}, y_{2,1}\right)-f_2\left(t_0, y_{1,0}, y_{2,0}\right)\right) \\
& =\frac{5}{4}+\frac{1}{2} \times \frac{1}{4}\left(3\left(2 \times \frac{5}{4}-\frac{5}{4}\right)-(2 \times 1-1)\right) \\
& \approx 1.5938
\end{aligned}
$$

标量形式的计算过程比较直观，容易理解，只要计算过程稳定，按照上面的计算过程可以一直计算下去，直到达到我们想要结束的时间点．但有时候为推广到更一般的、更复杂的问题，我们可以采取矩阵矢量形式来表达我们的算法。比如，为方便起见，我们将一阶微分方程写为如下形式：

$$
\left\{\begin{array}{l}
y^{\prime}=A y+g, \\
y(0)=y_0 .
\end{array}\right.
$$

这里 $A$ 是一个 $n \times n$ 矩阵，而 $y, g$ 和 $y_0$ 是 $n$ 个分量的向量．我们可以利用前面的数值方法对上述向量方程直接求解，例如，通过梯形法，我们直接可以得到如下的迭代形式：

$$
\left(I-\frac{1}{2} h A\right) y_{n+1}=\left(I+\frac{1}{2} h A\right) y_n+\frac{1}{2} h\left(g\left(t_n\right)+g\left(t_{n+1}\right)\right) \text {. }
$$

下面我们看一个利用矩阵形式来求一个微分模型的例子．

例 8.12 考虑如下模型方程

$$
\left\{\begin{array}{l}
y_1^{\prime}=-4 y_1+y_2+\sin \pi t, \quad y_1(0)=2, \\
y_2^{\prime}=y_1-4 y_2, \quad y_2(0)=1 .
\end{array}\right.
$$

引用矩阵向量形式改写上面微分方程为

$$
\left\{\begin{array}{l}
y^{\prime}=A y+g, \\
y(0)=y_0 .
\end{array}\right.
$$

这里

$$
A=\left(\begin{array}{cc}
-4 & 1 \\
1 & -4
\end{array}\right), \quad y=\binom{y_1}{y_2}, \quad g=\binom{\sin \pi t}{0}, \quad y_0=\binom{y_{1,0}}{y_{2,0}} .
$$

如果我们也使用 $h=1 / 4$ 对该系统执行梯形方法，得到以下内容：

$$
\begin{aligned}
y_1 & =\left(I-\frac{h}{2} A\right)^{-1}\left(I+\frac{h}{2} A\right) y_0+\frac{1}{2} h\left(I-\frac{h}{2} A\right)^{-1}\left(g\left(t_0\right)+g\left(t_1\right)\right) \\
& =\binom{0.6258}{0.8021} .
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
y_2 & =\left(I-\frac{h}{2} A\right)^{-1}\left(I+\frac{h}{2} A\right) y_1+\frac{1}{2} h\left(I-\frac{h}{2} A\right)^{-1}\left(g\left(t_1\right)+g\left(t_2\right)\right) \\
& =\binom{0.7690}{0.8141} .
\end{aligned}
$$

从上面计算过程可以看出，矩阵向量形式的计算过程书写简洁，容易理清主要计算过程，当我们需要进行算法收敛性、稳定性等理论分析时也比较方便．

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