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二阶及高阶常微分方程的有限差分法

考虑二阶常微分方程的边值问题

$$
\left\{\begin{array}{l}
y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y=f(x), \quad a<x<b  \tag{8.49}\\
y(a)=\alpha, \quad y(b)=\beta
\end{array}\right.
$$

其中 $p(x), q(x)$ 和 $f(x)$ 均为 $[a, b]$ 上给定的函数，$\alpha, \beta$ 为已知数．
边值问题的主要特点是在两个端点上给出了定解条件．在以下讨论中我们总假定 $p(x), q(x)$ 和 $f(x)$ 均为 $[a, b]$ 上充分光滑的函数，且 $q(x) \leqslant 0$ ，这时，边值问题（8．49）存在连续可微的解，且解是唯一的．

8．6．1 直接离散求解
用差分法解边值问题的主要步骤如下：
（1）将区间 $[a, b]$ 离散化；
（2）在这些节点上，将导数差商化，从而把微分方程化为差分方程；
（3）解差分方程一一实际上就是解线性代数方程组．
比如可将 $[a, b]$ 区间用节点

$$
x_i=a+i h, \quad i=0,1, \cdots, N, \quad h=\frac{b-a}{N}
$$

分成 $N$ 等份，其中令 $x_0=a$ 与 $x_N=b$ 。为方便起见，通常称 $x_0, x_N$ 为边界点，而 $x_1, x_2, \cdots$ ， $x_{N-1}$ 称为内点．

再将 $y^{\prime \prime}(x), y^{\prime}(x)$ 在内点 $x_1$ 处的值用差商近似，比如 $y^{\prime}(x)$ 可用一阶中心差商近似为

$$
\frac{y\left(x_{i+1}\right)-y\left(x_{i-1}\right)}{2 h}=y^{\prime}\left(x_i\right)+O\left(h^2\right) .
$$

比如 $y^{\prime \prime}(x)$ 可用二阶中心差商近似为

$$
y^{\prime \prime}\left(x_i\right)=\frac{y\left(x_{i+1}\right)-2 y\left(x_i\right)+y\left(x_{i-1}\right)}{h^2}+O\left(h^2\right) .
$$

略去上式中截断误差的阶为 $O\left(h^2\right)$ ，有

$$
y^{\prime}\left(x_i\right) \approx \frac{y_{i+1}-y_{i-1}}{2 h}, \quad y^{\prime \prime}\left(x_i\right) \approx \frac{y_{i+1}-2 y_i+y_{i-1}}{h^2} .
$$

用一、二阶中心差商分别代替式（8．49）中的一、二阶导数，并以近似值 $y_i$ 代替精确值 $y\left(x_i\right)$ ，则得逼近（8．49）的差分方程

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{y_{i+1}-2 y_i+y_{i-1}}{h^2}+p_i \frac{y_{i+1}-y_{i-1}}{2 h}+q_i y_i=f_i  \tag{8.50}\\
y_0=\alpha, \quad y_N=\beta, \quad i=1, \cdots, N-1
\end{array}\right.
$$

其中 $p_i=p\left(x_i\right), q_i=q\left(x_i\right), f_i=f\left(x_i\right)$ 。经过简单整理，式（8．50）可改写成

$$
\left\{\begin{array}{l}
\left(1-\frac{h}{2} p_i\right) y_{i-1}-2\left(1-\frac{h^2}{2} q_i\right) y_i+\left(1+\frac{h}{2} p_i\right) y_{i+1}=h^2 f_i, \quad i=1,2, \cdots, N-1  \tag{8.51}\\
y_0=\alpha, \quad y_N=\beta
\end{array}\right.
$$

差分方程（8．51）实际上是含有 $N-1$ 个未知数 $y_1, y_2, \cdots, y_{N-1}$ 的线性代数方程组．
最后，解差分方程（8．51）就可得数值解 $y_i$ ．为方便起见，令

$$
a_i=1-\frac{h}{2} p_i, \quad b_i=-2\left(1-\frac{h^2}{2} q_i\right), \quad c_i=1+\frac{h}{2}, \quad d_i=h^2 f_i .
$$

则有

$$
\left\{\begin{array}{l}
b_1 y_1+c_1 y_2=d_1-\alpha  \tag{8.52}\\
a_2 y_1+b_2 y_2+c_2 y_3=d_2 \\
a_3 y_2+b_3 y_3+c_3 y_4=d_3 \\
a_{N-1} y_{N-2}+b_{N-1} y_{N-1}=d_{N-1}-c_{N-1} \beta
\end{array}\right.
$$

这个方程组的系数矩阵是三对角矩阵，可以用追赶法求解．下面看一个具体的例子．
例 8.13 试用差分法解方程

$$
\left\{\begin{array}{l}
y^{\prime \prime}-2(9 x+2) y=-2(9 x+2) \mathrm{e}^x, \quad 0<x<1 \\
y(0)=0, \quad y(1)=1
\end{array}\right.
$$

解 将 $[0,1]$ 划分为 4 等份，即取 $h=\frac{1}{4}$ ，得 5 个节点

$$
x_0=0, \quad x_1=\frac{1}{4}, \quad x_2=\frac{1}{2}, \quad x_3=\frac{3}{4}, \quad x_4=1 .
$$

微分方程的差分方程变为

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{y_{n-1}-2 y_n+y_{n+1}}{h^2}-2\left(9 x_n+2\right) y_n=-2\left(9 x_n+2\right) \mathrm{e}^{x_n}, \quad n=1,2,3, \\
y_0=0, \quad y_4=1 .
\end{array}\right.
$$

将它改写成

$$
\left\{\begin{array}{l}
y_{n-1}-2\left[1+h^2\left(9 x_n+2\right)\right] y_n+y_{n+1}=-2 h^2\left(9 x_n+2\right) \mathrm{e}^{x_n} \\
y_0=0, \quad y_4=1
\end{array}\right.
$$

从而得到所有内点对应的方程组为

$$
\left\{\begin{array}{l}
-2.5312 y_1+y_2=-0.6821, \\
y_1-2.8125 y_2+y_3=-1.3396, \\
y_2-3.0938 y_3=-3.3156 .
\end{array}\right.
$$

用追赶法解得

$$
y_3=1.4855, \quad y_2=1.2802, \quad y_1=0.7753 .
$$

值得说明的是，对于二阶方程，我们也可以将其转换为一阶方程组的形式，再利用前面讨论的针对一阶方程组的方法来求解，比如下面介绍的情况．

8．6．2 转化为一阶微分方程组进行求解
例8．14 对于二阶方程

$$
\left\{\begin{array}{l}
y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+y=0, \\
y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=0,
\end{array}\right.
$$

我们可以定义向量 $w(t)=\left(w_1(t), w_2(t)\right)^{\mathrm{T}}$ ，其中 $w_1(t)=y(t), w_2(t)=y^{\prime}(t)$ 。这样一来，我们有 $w_1^{\prime}=w_2, w_2^{\prime}=-3 w_2-w_1$ ．即得到下面的一阶微分系统

$$
\left\{\begin{array}{l}
w_1^{\prime}=w_2, \quad w_1(0)=1, \\
w_2^{\prime}=-w_1-3 w_2, \quad w_2(0)=0 .
\end{array}\right.
$$

这样一来，我们就可以利用上一节求微分方程组的办法来求解上述方程组，从而实现数值求解高阶方程的目的．类似二阶方程，对于一般的 $n$ 阶标量微分方程

$$
y^{(n)}=g\left(t, y, y^{\prime}, y^{\prime \prime}, \cdots, y^{(n-1)}\right),
$$

我们可以将其写为含 $n$ 个未知函数、 $n$ 个方程的一阶微分系统．比如可以令 $w_1=y$ ， $w_2=y^{\prime}, \cdots, w_n=y^{(n-1)}$ ，其中，

$$
\begin{cases}w_1^{\prime}=w_2, & w_1(0)=y_0, \\ w_2^{\prime}=w_3, & w_2(0)=y_0^{\prime}, \\ w_3^{\prime}=w_4, & w_3(0)=y_0^{\prime \prime}, \\ & \cdots \cdots \\ w_n^{\prime}= & g\left(t, w_1, w_2, \cdots, w_{n-1}, w_n\right), w_n(0)=y_0^{(n-1)} .\end{cases}
$$

这样一来，我们有单个向量方程

$$
\left\{\begin{array}{l}
w=f(t, w), \\
w(0)=w_0,
\end{array}\right.
$$

其中，

$$
f(t, w)=\left(\begin{array}{c}
w_2 \\
w_3 \\
w_4 \\
\vdots \\
g\left(t, w_1, w_2, w_3, \cdots, w_n\right)
\end{array}\right), \quad w_0=\left(\begin{array}{c}
y_0 \\
y_0^{\prime} \\
y_0^{\prime \prime} \\
\vdots \\
y_0^{(n-1)}
\end{array}\right) .
$$

我们可以像理解标量方程来理解上面的向量方程，也可以比较容易地求解上述一阶向量微分方程组，从而实现对高阶方程的求解。

值得一提的是，针对常微分方程，我们也可以采取类似数值积分那样的方法来设计、实现某种可变步长的方法，这些方法能自动控制误差，以最大限度地减少工作量并获得用户定义精度的自适应方法。其基本原理与前面用于数值积分的原理相同：我们一般需要进行两个相同值的计算，并从中得出可计算的误差估计．如果这个可计算的误差估计值足够小，我们接受计算值，然后继续进行下一点．如果误差估计不够小，则我们选择较小的网格大小，然后重试．这里就不再细述了．

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