最后更新: 2025-12-14 10:19 查看: 368 次纠错评论(0) 课件开VIP

二维随机试验

## 为什么要引入二维随机变量
在实际应用中，有些随机现象需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述。

**引例①:** 当研究某地区学龄儿童的发育情况时，就要同时抽查儿童的身高 $X$ ，体重 $Y$ ，这里，$X$ 和 $Y$ 是定义在同一个样本空间 $\Omega=\{$ 某地区的全部学龄儿童 $\}$ 上的两个随机变量。

**引例②:** 某钢铁厂炼钢时必须考察炼出的钢 $e$ 的硬度 $X(e)$ ，含碳量 $Y(e)$ 和含硫量 $Z(e)$ 的情况，它们也是定义在同一个 $\Omega=\{e\}$ 上的 3 个随机变量。

通过上面两个引例可以看到，在实际应用上，有时只用一个随机变量是不够的，要考虑多个随机变量及其相互联系。我们不但要研究多个随机变量各自的统计规律，而且逐要研究它们之间的统计相依关系，进而考察它们联合取值的统计规律，即多维随机向量的分布，由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，因此本章重点讨论二维随机向量。

## 二维随机试验
设有随机试验 $E$ ，其样本空间为 $\Omega$. 若对 $\Omega$ 中的每一个样本点，都有一对有序实数 $(X(\omega), Y(\omega))$ 与其对应。则称 $(X, Y)$ 为**二维随机变量或二维随机向量**。称 $(X, Y)$ 的取值范围为它的值域，记为 $\Omega_{(x, y) \text { 。 }}$ 。

`例`现有将一颗骰子独立地上抛两次的随机试验 $E$ ，观察两次出现的点数. 讨论第一次出现的点数以及两次出现点数的最小值
(1) 请给出随机试验 $E$ 的样本空间 $\Omega$ ；
(2) 引入二维随机变量 $(X, Y)$ ，并写出值域 $\Omega_{X Y}$ 。

(1) 随机试验$E$的样本空间$\Omega$
骰子每次抛掷的点数为$1,2,3,4,5,6$，且两次抛掷独立，我们用 **有序数对$(i,j)$** 表示第一次出现点数$i$、第二次出现点数$j$的结果。

因此样本空间$\Omega$是所有可能的有序数对的集合，具体为：

$$
 \begin{aligned}
\Omega_{(X, Y)}=\{ 
& (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), \\
& (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), \\
& (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), \\
& (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), \\
& (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), \\
& (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\}
\end{aligned} 
$$

共$6\times6=36$个样本点。

(2) 二维随机变量$(X,Y)$的定义及值域$\Omega_{XY}$
根据题意，我们定义：
- $X$为**第一次出现的点数**，即对样本点$(i,j)$，$X(i,j)=i$；
- $Y$为**两次出现点数的最小值**，即对样本点$(i,j)$，$Y(i,j)=\min\{i,j\}$。

接下来分析$(X,Y)$的取值范围$\Omega_{XY}$（即所有可能的$(X,Y)$数对）：
1. **$X$的取值**：$X$是第一次的点数，故$X\in\{1,2,3,4,5,6\}$；
2. **$Y$的取值约束**：$Y=\min\{X, 第二次点数\}$，因此$Y\leq X$，且$Y\in\{1,2,3,4,5,6\}$。

逐一枚举所有满足$Y\leq X$的数对，可得值域$\Omega_{XY}$：

$$
 \begin{aligned}
\Omega_{(X, Y)}=\{ & (1,1), \\
& (2,1),(2,2), \\
& (3,1),(3,2),(3,3), \\
& (4,1),(4,2),(4,3),(4,4), \\
& (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5) \\
& (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\}
\end{aligned}
$$

共$1+2+3+4+5+6=21$个取值。

`例` 盒子里装有 3 只黑球， 2 只红球， 2 只白球，在其中任选 4 只球，以 $X$ 表示取到黑球的只数，以 $Y$ 表示取到红球的只数，求 $X$ 和 $Y$ 的联合分布律．

解 $(X, Y)$ 的所有可能取值为 $(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1)$ ， $(2,2),(3,0),(3,1),(3,2)$ ．

按古典概型，显有

$$
\begin{aligned}
& P\{X=0, Y=2\}=\frac{C_3^0 \times C_2^2 \times C_2^2}{C_7^4}=\frac{1}{35} \\
& P\{X=1, Y=1\}=\frac{C_3^1 \times C_2^1 \times C_2^2}{C_7^4}=\frac{6}{35} \\
& P\{X=1, Y=2\}=\frac{C_3^1 \times C_2^2 \times C_2^1}{C_7^4}=\frac{6}{35} \\
& P\{X=2, Y=1\}=\frac{C_3^2 \times C_2^1 \times C_2^1}{C_7^4}=\frac{12}{35} \\
& P\{X=2, Y=0\}=\frac{C_3^2 \times C_2^0 \times C_2^2}{C_7^4}=\frac{3}{35} \\
& P\{X=2, Y=2\}=\frac{C_3^2 \times C_2^2 \times C_2^0}{C_7^4}=\frac{3}{35} \\
& P\{X=3, Y=0\}=\frac{C_3^3 \times C_2^0 \times C_2^1}{C_7^4}=\frac{2}{35} \\
& P\{X=3, Y=1\}=\frac{C_3^3 \times C_2^1 \times C_2^0}{C_7^4}=\frac{2}{35}
\end{aligned}
$$

则 $X$ 和 $Y$ 的联合分布律为：

![图片](/uploads/2025-05/402e09.jpg){WIDTH=500PX}

## $n$维随机变量
设有随机试验 $E$ ，其样本空间为 $\Omega$. 若对 $\Omega$ 中的每一个样本点 $\omega$ 都有一组有序实数列 $\left(X_2(\omega), \cdots, X_n(\omega)\right)$ 与其对应. 则称 $\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 为 $n$ 维随机变量或 $n$ 维随机向量. 称 $\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 的取值范围为它的值域，记为 $\Omega_{\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)}$.

在实际问题中, 多维随机变量的情况是经常会遇到的. 譬如在研究每个家庭的支出情况时, 我们感兴趣于每个家庭 (样本点 $\omega$ ) 的衣食住行四个方面, 若用 $X_1(\omega), X_2(\omega), X_3(\omega), X_4(\omega)$ 分别表示衣食住行的花费占其家庭总收入的百分比, 则 $\left(X_1, X_2, X_3, X_4\right)$ 就是一个四维随机变量.

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