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多项式的对称变换

## 多项式的对称变换

在初中, 我们学过各种各样的多项式, 几个数与字母的积的和就构成了多项式. 例如下面的代数式都是多项式:

$$
x+y, x^2+3 x y+y^2, x y z, x y z^2, x+y^2+z^3 .
$$

类似于平面图形的对称性, **多项式也有对称性**.

例如, 在多项式 $x+y$ 中, 用字母 $x$ 代替字母 $y$, 同时用字母 $y$ 代想字母 $x$, 我们得到一个新的多项式

$$
y+x
$$

虽然这个多项式与原来的多项式形式不同, 但根据数的加法交换律, 我们有

$$
x+y=y+x \text {. }
$$

类似地, 兑换多项式 $x^2+3 x y+y^2$ 中的字般 $x, y$, 可以得到一个新的多项式

$$
y^2+3 y x+x^2 \text {, }
$$

显然, $x^2+3 x y+y^2=y^2+3 y x+x^2$.

类比数字 $1,2,3$ 的置换或正三角形的对称变换, 我们可以这样来替换上述多项式中的字母 $x, y, z$ :

**（1）$x, y, z$ 保持不变, 此时 $x y z \rightarrow x y z$;
（2）用 $x$ 代替 $y, y$ 代替 $x, z$ 代替 $z$, 此时 $x y z \rightarrow y x z$;
（3）用 $x$ 代替 $z, z$ 代替 $x, y$ 代替 $y$, 此时 $x y z \rightarrow z y x$;
（4）用 $y$ 代替 $z, z$ 代替 $y, x$ 代替 $x$, 此时 $x y z \rightarrow x z y$;
（5）用 $x$ 代替 $y, y$ 代替 $z, z$ 代替 $x$, 此时 $x y z \rightarrow z x y$;
（6）用 $x$ 代替 $z, z$ 代替 $y, y$ 代替 $x$, 此时 $x y z \rightarrow y z x$.**

这样, 我们就得到了 6 个相等的多项式, 即

$\begin{array}{lllllll}x y z & y x z & z y x & x z y & z x y & y z x\end{array}$

对于多项式 $x y z^2$, 用 $x$ 代替 $y$, 用 $y$ 代替 $x$, 用 $z$ 代替 $z$, 得到 $y x z^2=x y z^2$. 而任何涉及到字母 $z$ 的替换都会使原来的多项式改变, 如用 $x$ 代替 $z$, 用 $z$ 代替 $x$, 用 $y$ 代替 $y$,得到 $z y x^2, z y x^2 \neq x y z^2$. 所以用字母替换的办法, 我们得到两个相等的多项式
$x y z^2 \quad y x z^2$
最后, 在多项式 $x+y^2+z^3$ 中, 任何字母的替换都会使原多项式改变, 因而我们得到唯一的一个多项式

$$
x+y^2+z^3
$$

> 所以，我们可以利用对多项式的这种字母替换来定义多项式的对称变换.

## 多项式对称的定义
如果一个多项式 $F$ 经过字母的替换仍与原来的多项式相等, 我们就称多项式 $F$ 具有对称性, 上述对多项式中字母的替换叫做多项式的**对称变换**.
保持字母不动的对称变换就是多项式的**恒等变换**.
由上面的例子可以看到, 有些多项式 (如 $x+y, x^2+3 x y+y^2$ ) 在字母的任意替换下保持不变 (我们认为这样的多项式的对称性很好); 有些多项式 (如 $x y z^2$ ) 在字母的某些替换下保持不变; 而有些多项式 (如 $x+y^2+z^3$ ) 仅在字母不动时才保持不变.

对于较复杂的多项式 (如 $x y z+x y w+x z w+y z w$ ), 用替换字母、比较替换后的多项式与原来的多项式是否相等的方法研究它的对称性是比较困难的. 有没有更简便的方法呢?

我们看到, 用数字的置换来表示平面图形的对称变换是一种很好的方法. 能否也用置换来表示多项式的对称变换呢?

### 用图形研究变换

为了研究的方便, 我们用同一个字母, 不同的脚标来区分多项式中的不同字母. 例如, 我们可以把 $x+y, x y z$ 分别表示成

$$
x_1+x_2, x_1 x_2 x_3 \text {. }
$$

这样, 在多项式 $x_1+x_2$ 中调换 $x_1$ 与 $x_2$ 的位置, 可以看做调换脚标 1,2 的位置, 得到 $x_2+x_1$.
$x_1+x_2$ 的对称变换有两个, 用图示表示为:

![图片](/uploads/2025-08/7415ee.jpg)

结合集合 $T_2=\{1,2\}$ 的置换, 可以发现, 这两个对称变换对 $x$ 的脚标的作用恰好是集合 $T_2=\{1,2\}$ 的两个置换, 即 $S_2$ 中的两个元素:

$$
\sigma_1=\left(\begin{array}{ll}
1 & 2 \\
1 & 2
\end{array}\right), \quad \sigma_2=\left(\begin{array}{ll}
1 & 2 \\
2 & 1
\end{array}\right) .
$$

反过来看, 对 $x_1+x_2$ 的脚标分别施行罝换 $\sigma_1, \sigma_2$, 可以得到与原多项式相等的两个多项式

$$
x_1+x_2, x_2+x_1 \text {. }
$$

我们把置换 $\sigma_1, \sigma_2$ 称为多项式 $x_1+x_2$ 的**对称变换**.
类似地,  多项式 $x_1 x_2 x_3$ 通过字母替换, 可得到下列 6 个相等的多项式

$\begin{array}{llllll}x_1 x_2 x_3 & x_2 x_1 x_3 & x_3 x_2 x_1 & x_1 x_3 x_2 & x_3 x_1 x_2 & x_2 x_3 x_1\end{array}$
另一方面, $x_1 x_2 x_3$ 的脚标组成的集合为 $T_3=\{1,2,3\}$, 其全部置换为 $S_3$ 中的 6 个元素:

$$
\begin{aligned}
& \sigma_1=\left(\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
1 & 2 & 3
\end{array}\right), \sigma_2=\left(\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
2 & 1 & 3
\end{array}\right), \sigma_3=\left(\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
3 & 2 & 1
\end{array}\right), \\
& \sigma_4=\left(\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
1 & 3 & 2
\end{array}\right), \sigma_5=\left(\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
3 & 1 & 2
\end{array}\right), \sigma_6=\left(\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 1
\end{array}\right) .
\end{aligned}
$$

对 $x_1 x_2 x_3$ 的脚标分別施行这 6 个置换, 恰好得到上面方框中的 6 个多项式.
同样地, 我们称置换 $\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3, \sigma_4, \sigma_5, \sigma_6$ 为多项式 $x_1 x_2 x_3$ 的对称变换.

> 一般地, 设一个多项式的脚标组成的集合为 $\{1,2, \cdots, n\}, \sigma$ 是 $n$ 元对称群 $S_n$ 中的一个置换, 若对多项式中字母的脚标施行置换 $\sigma$ 后, 得到的多项式仍与原来的多项式相等, 我们就称置换 $\sigma$ 为这个多项式的对称变换.

按照这个定义, $S_2$ 中的任意置换都是多项式 $x_1+x_2$ 的对称变换; $S_3$ 中的任意置换都是多项式 $x_1 x_2 x_3$ 的对称变换. 方框 (2) 说明多项式 $x_1 x_2 x_3^2$ 的对称变换只有恒等置换 $\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3\end{array}\right)$ 和置换 $\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3\end{array}\right)$; 方框 (3) 说明多项式 $x_1 x_2^2 x_3^3$ 的对称变换只在恒等置换 $\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3\end{array}\right)$.

**如果一个 $n$ 次多项式的对称变换是 $S_n$ 中的全部变换, 这样的多项式就称为对称多项式**

我们来看两个例子. 设 $x_1, x_2$ 是给定的一元二次方程

$$
x^2-c_1 x+c_2=0
$$

的两个根, 那么它们与系数有下列关系项式.

$$
\left\{\begin{array}{l}
c_1=x_1+x_2, \\
c_2=x_1 \cdot x_2 .
\end{array}\right.
$$

类似地, 设 $x_1, x_2, x_3$ 是一元三次方程 $x^3-c_1 x^2+c_2 x-c_3=0$ 的根, 那么有下列关系

$$
\left\{\begin{array}{l}
c_1=x_1+x_2+x_3, \\
c_2=x_1 x_2+x_1 x_3+x_2 x_3, \\
c_3=x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 .
\end{array}\right.
$$

上面这2个方程，都展现了根的对称美。

请同学们自己验证, $S_3$ 中的任意置换都是 $x_1+x_2+x_3, x_1 x_2+x_1 x_3+x_2 x_3$ 和 $x_1 \cdot x_2 \cdot x_3$的对称变换. 因此这几个多项式也都是对称多项式.

为了更好理解多项式的对称性，下一节将再次重温平面几何的对称性。

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