最后更新: 2026-04-23 15:13 查看: 339 次纠错评论(0) 课件开VIP

附录1：调和函数

## 调和函数
图 2-12 是一块由导热性能良好的铜块或者陶瓷制作的厚度均匀的导热平板，由于它的厚度是均匀的，所以它的上、下两个面都与 $x y$ 平面平行．假定板的表面是隔热的，在坚直方向没有热量流出．这样，板的均衡温度 $T$ 是一个关于 $x, y$ 的函数

$$
T=T(x, y) .
$$

![图片](/uploads/2026-02/02d4db.jpg){WIDTH=300PX}
 
 因为板的温度分布由热源以及置于边缘的绝热材料决定，考虑如图 2-13这种情况，在导热板右边放置火源，在导热板左边放置冰块，根据物理知识，那么导热板上将形成等温线．
 
 
  ![图片](/uploads/2026-02/739376.jpg){WIDTH=500PX}
  
板的温度一旦达到均衡状态，$T(x, y)$ 就是一个调和函数，即

$$
\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 T}{\partial y^2}=0 ...(1)
$$

![图片](/uploads/2026-02/7f065f.jpg){WIDTH=300PX}
 
 
 现在给出它在物理上的解释．如图 2-14 所示，对于厚板内的一个 （边长为 $s$ 的）小正方形，由热传导的傅里叶法则知，通过小正方形每一边的热流的比率与在热流方向上温度变化的比率成比例．因此通过 AB 与 CD 方向的热流与 $\partial T / \partial x$ 成比例，通过 BC 与 AD 方向的热流与 $\partial T / \partial y$ 成比例（实际上，因为热流是从热到冷流动的，所以与该正方形的截面积及材料有关的比例常数为负数．）．热流被描述为通过 AB 与 AD 进入正方形，通过 BC 与 CD 离开正方形．因此，热的净流出量与

$$
\left.\frac{\partial T}{\partial x}\right|_{C D}-\left.\frac{\partial T}{\partial x}\right|_{A B}+\left.\frac{\partial T}{\partial y}\right|_{B C}-\left.\frac{\partial T}{\partial y}\right|_{A D}
$$

成比例。

对于小尺度的 $s$ ，由于一阶导数的差可由二阶导数来近似，因此热的净流量又与

$$
\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} s+\frac{\partial^2 T}{\partial y^2} s ...(2)
$$

成比例．当温度达到均衡状态时，这个正方形材料不再变凉（或加热），所以热的净流量为 0 ．用 $s$ 除表达式（2），则 $T(x, y)$ 满足方程（1）。

温度分布中出现调和函数这一事实使我们对它们的数学中调和函数的性质产生了一些类比。 观察图 2-15 的等温线，它们显示＂热点＂位于板的内部．这种情况不会发生在衡温状态；因为热量总是从高向低流动，所以高温点的温度会降下来．

![图片](/uploads/2026-02/c58a1f.jpg){width=400px}
 
观察图 2-15 的等温线，它们显示＂热点＂位于板的内部．如果没有外界热源，这种情况不会发生；这是因为热量总是从高向低流动，所以高温点的温度会降下来，低温点的温度会升高，直到达到平衡状态。

当然，图中的情形可以通过在板的下面放置热源来维持，而由于我们假定热源只是放置在边缘上，从而已经排除了这种可能。可以断言，温度分布决不会出现这种内部最高．调和函数在这种情况的严格公式表示和一般化结论被称为模的**最大值原理**，即调和函数不可能在区域的内部达到最大值，除非它在区域内恒为常数．

![图片](/uploads/2026-02/f3cb89.jpg)
 
 
 另一个例子是下面的一个试验．如图 2-16 所示，通过外部电源使板的边缘保持固定的温度．把我们能够（通过某种温度调节炉）控制温度的某一小段边缘除外。

虽然从物理层面上讲，只要火炉的温度充分高，板上任意内点的温度都可以达到任意指定的值，但是我们不可能把整块板的内部各点的温度按照预先的设想去重复实验一遍．我们的期望是内部的温度完全由边缘的温度分布来控制。这确实是一个调和函数边值性质的一个例子，我们要研究的泊松（Poisson）公式，会明确表达这种函数的边值与内部值之间的关系．

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：附录 Γ函数、Φ函数、B函数与黎曼函数

下一篇：附录2：复数漫谈与解析函数

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)