最后更新: 2025-05-14 21:20 查看: 93 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

附录1：复数漫谈与解析函数

## 复数漫谈
学习复变函数，离不开三位大数学家-欧拉、柯西和黎曼。

### 欧拉

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在介绍欧拉之前，我们先来了解一下复数一般的表示形式：

$$
z=x+i y=r e^{i \theta}=r(\cos \theta+i \sin \theta)
$$
 
式中 $r=\sqrt{x^2+y^2}$ 而其中的 $e^{i \theta}=(\cos \theta+i \sin \theta)$ 便是大名鼎鼎的欧拉公式 。

欧拉（1707～1783），瑞士数学家，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位；作为数学史上最多产的数学家之一，欧拉平均每年写出八百多页的论文。

如今我们广泛使用的复数单位 $ i$ 最早便是由欧拉提出并使用的，用来代表 $\sqrt{-1}$ 这一含义。法国数学家笛卡尔曾表示不可能用图形来表示"负数的平方根" 这一概念，因而称这种数是＂虚构的数＂（即imaginary number），而欧拉所采用的 $i$ 其实就是imaginary number（虚数 ）的首字母，以此来巧妙的表示 $\sqrt{-1}$ 。

说到这里，我们就再来谈一下 $i$ 这个单位的物理意义。在实数域中，我们知道加减可以看作左右平移变换，乘除可以看作长度伸缩变换，那么旋转该如何表示呢？没错，$i$ 其实就是代表旋转。

假设在复平面内有一条从原点出发在实轴上长度为 1 的线段 $l_1$ ，乘上 $i$ 以后就相当于逆时针旋转了 90 度变为 $l _2$ ，再乘上一个 $i$ ，其实就相当于初始的 $l_1$ 乘上 $i^2$ ，即逆时针旋转 180 度变为 $l_3$ 。基于此再次关注欧拉公式，其在复平面 内其实就是一个单位圆。

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 上图表示虚数乘法的意义

而当欧拉公式中的 $\theta$ 取 $\pi$ 时，就产生了被誉为＂世界上最美的数学式＂——欧拉恒等式，即：$e^{i \pi}+1=0$

这个等式将数学上十分重要的五个元素 $(0,1, e, \pi, i)$ 联系在一起，道尽了数学的美好

实际上，自然对数的底 $e$ 也是由欧拉定义的一个无理数 ，并以欧拉（Euler）首字母 $e$ 来表示 ，这个数学元素非常有意思，且有着特定的意义，我们这里顺便也对它进行简单说明。

现在假设小明一年内要投资一笔钱，本金为 1 元，活期利率为 $100 \%$（即 1 ），如果小明采取最省力的办法只在这一年开始的时候投一次然后到这一年结束的时候取出，那么他能取出的本利和为 $1 \cdot\left(1+\frac{1}{1}\right)^1=2$ ；那如果小明勤快一些，天天取一次然后再将当天的本利和重新投入，那么他一年的本利和就变成 $1 \cdot\left(1+\frac{1}{365}\right)^{365}=2.7146$ ；这时候小明就会思考如果我每时每刻都重复＂取出再投入＂这一过程，那岂不是就会获得最大收益，当然小明也只能是想想罢了 $\left({ }^{\prime} \omega^{\prime}\right)$ 但是在数学上，我们确实可以用极限的概念表示出这一过程，即 $\lim _{n \rightarrow \infty} 1 \cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$

这个式子体现出一种连续性（要注意极限与连续是密不可分的！）那么这个极限是否收敛呢？这时候天才欧拉便站出来证明了这个极限是收敛的，数值为 2.718 左右，并给了这个式子一个数学符号—e。e 本质上描述了一个连续变化的过程，我们可以简单理解为 $e$ 代表连续。知道这一点后，我们就可以对 $e^{i \theta}$ 有一个更深刻的理解，他不就是代表着连续旋转吗，其化成极限形式可以表示为：$e^{i \theta}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{i \theta}{n}\right)^n$ ；我们可以在MATLAB中更直观的感受一下它的魅力 ，柯西详细介绍参考 [此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=819)

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此外，关于欧拉我们还需要记住他推导出的两条三角函数重要公式：

$$
\cos z=\frac{e^{i z}+e^{-i z}}{2} ; \sin z=\frac{e^{i z}-e^{-i z}}{2 i}
$$

### 柯西
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柯西（Cauchy，1789－1857），法国数学家，其论著有 800 多篇，在数学史上是仅次于欧拉的多产数学家 。柯西年少的时候便一鸣惊人，与当时法国的著名数学家拉格朗日与拉普拉斯交往密切，并被二人预言日后必成大器，详细介绍参考 [此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=819)

### 黎曼
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黎曼 （Riemann，1826－1866），德国数学家。黎曼  一生虽然著作不多，但篇篇都是经典。他的伟大贡献之一在于提出了黎曼球面和黎曼积分 ，详细介绍参考 [此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=638)  
 
 
## 解析函数

> 对于没有接触过复数积分的同学来说，《复变函数》就是“复数的积分”，其实这种认知是错误的，这是因为，**大部分复函数性质都比较差**，很难积分，因此，《复变函数》只研究**性质比较好**的复数积分，我们称这种复函数为“解析函数”。因此 解析函数是复数函数很小的一个子集。

首先我们来讲讲什么是解析函数，解析函数其实就是可导函数的兄弟，在复变学科中比较常用，只是比可导函数多了一个限制条件：要求函数在一点以及这一点的邻域内可导。那么问题又来了，什么是邻域呢？

> **解析函数用大白话说就是：没有㓊的平滑曲面（下面会说明）。**

邻域其实就是以一点为圆心在其周围画一个圆所围

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