最后更新: 2026-04-23 15:13 查看: 173 次纠错评论(0) 课件开VIP

附录2：复数漫谈与解析函数

## 复数漫谈
学习复变函数，离不开三位大数学家-欧拉、柯西和黎曼。

### 欧拉

![图片](/uploads/2023-10/4446c5.jpg){width=150px}

在介绍欧拉之前，我们先来了解一下复数一般的表示形式：

$$
z=x+i y=r e^{i \theta}=r(\cos \theta+i \sin \theta)
$$
 
式中 $r=\sqrt{x^2+y^2}$ 而其中的 $e^{i \theta}=(\cos \theta+i \sin \theta)$ 便是大名鼎鼎的欧拉公式 。

欧拉（1707～1783），瑞士数学家，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位；作为数学史上最多产的数学家之一，欧拉平均每年写出八百多页的论文。

如今我们广泛使用的复数单位 $ i$ 最早便是由欧拉提出并使用的，用来代表 $\sqrt{-1}$ 这一含义。法国数学家笛卡尔曾表示不可能用图形来表示"负数的平方根" 这一概念，因而称这种数是＂虚构的数＂（即imaginary number），而欧拉所采用的 $i$ 其实就是imaginary number（虚数 ）的首字母，以此来巧妙的表示 $\sqrt{-1}$ 。

说到这里，我们就再来谈一下 $i$ 这个单位的物理意义。在实数域中，我们知道加减可以看作左右平移变换，乘除可以看作长度伸缩变换，那么旋转该如何表示呢？没错，$i$ 其实就是代表旋转。

假设在复平面内有一条从原点出发在实轴上长度为 1 的线段 $l_1$ ，乘上 $i$ 以后就相当于逆时针旋转了 90 度变为 $l _2$ ，再乘上一个 $i$ ，其实就相当于初始的 $l_1$ 乘上 $i^2$ ，即逆时针旋转 180 度变为 $l_3$ 。基于此再次关注欧拉公式，其在复平面 内其实就是一个单位圆。

![图片](/uploads/2025-05/8602cb.jpg){WIDTH=300PX}
 上图表示虚数乘法的意义

而当欧拉公式中的 $\theta$ 取 $\pi$ 时，就产生了被誉为＂世界上最美的数学式＂——欧拉恒等式，即：$e^{i \pi}+1=0$

这个等式将数学上十分重要的五个元素 $(0,1, e, \pi, i)$ 联系在一起，道尽了数学的美好

实际上，自然对数的底 $e$ 也是由欧拉定义的一个无理数 ，并以欧拉（Euler）首字母 $e$ 来表示 ，这个数学元素非常有意思，且有着特定的意义，我们这里顺便也对它进行简单说明。

现在假设小明一年内要投资一笔钱，本金为 1 元，活期利率为 $100 \%$（即 1 ），如果小明采取最省力的办法只在这一年开始的时候投一次然后到这一年结束的时候取出，那么他能取出的本利和为 $1 \cdot\left(1+\frac{1}{1}\right)^1=2$ ；那如果小明勤快一些，天天取一次然后再将当天的本利和重新投入，那么他一年的本利和就变成 $1 \cdot\left(1+\frac{1}{365}\right)^{365}=2.7146$ ；这时候小明就会思考如果我每时每刻都重复＂取出再投入＂这一过程，那岂不是就会获得最大收益，当然小明也只能是想想罢了 $\left({ }^{\prime} \omega^{\prime}\right)$ 但是在数学上，我们确实可以用极限的概念表示出这一过程，即 $\lim _{n \rightarrow \infty} 1 \cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$

这个式子体现出一种连续性（要注意极限与连续是密不可分的！）那么这个极限是否收敛呢？这时候天才欧拉便站出来证明了这个极限是收敛的，数值为 2.718 左右，并给了这个式子一个数学符号—e。e 本质上描述了一个连续变化的过程，我们可以简单理解为 $e$ 代表连续。知道这一点后，我们就可以对 $e^{i \theta}$ 有一个更深刻的理解，他不就是代表着连续旋转吗，其化成极限形式可以表示为：$e^{i \theta}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{i \theta}{n}\right)^n$ ；我们可以在MATLAB中更直观的感受一下它的魅力 ，柯西详细介绍参考 [此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=819)

![图片](/uploads/2025-05/cd413f.jpg){WIDTH=500PX}
 
此外，关于欧拉我们还需要记住他推导出的两条三角函数重要公式：

$$
\cos z=\frac{e^{i z}+e^{-i z}}{2} ; \sin z=\frac{e^{i z}-e^{-i z}}{2 i}
$$

### 柯西
![图片](/uploads/2023-11/7b9e58.jpg){width=150px}
柯西（Cauchy，1789－1857），法国数学家，其论著有 800 多篇，在数学史上是仅次于欧拉的多产数学家 。柯西年少的时候便一鸣惊人，与当时法国的著名数学家拉格朗日与拉普拉斯交往密切，并被二人预言日后必成大器，详细介绍参考 [此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=819)

### 黎曼
![图片](/uploads/2023-10/448adb.jpg){width=200px}

黎曼 （Riemann，1826－1866），德国数学家。黎曼  一生虽然著作不多，但篇篇都是经典。他的伟大贡献之一在于提出了黎曼球面和黎曼积分 ，详细介绍参考 [此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=638)  
 
 
## 解析函数

> 对于没有接触过复数积分的同学来说，《复变函数》就是“复数的积分”，其实这种认知是错误的，这是因为，**大部分复函数性质都比较差**，很难积分，因此，《复变函数》只研究**性质比较好**的复数积分，我们称这种复函数为“解析函数”。因此 解析函数是复数函数很小的一个子集。

首先我们来讲讲什么是解析函数，解析函数其实就是可导函数的兄弟，在复变学科中比较常用，只是比可导函数多了一个限制条件：要求函数在一点以及这一点的邻域内可导。那么问题又来了，什么是邻域呢？

> **解析函数用大白话说就是：没有㓊的平滑曲面（下面会说明）。**

邻域其实就是以一点为圆心在其周围画一个圆所围成的区域，公式表述为 $\left|z-z_0\right|<\delta,(\delta>0)$ ，这个区域便叫作 $z_0$ 的邻域。接着我们再来回顾一下导数的定义：

$$
f\left(z_0^{\prime}\right)=\lim _{\Delta z_0 \rightarrow 0} \frac{f\left(z_0+\Delta z_0\right)-f\left(z_0\right)}{\Delta z_0}
$$

不难看出，因变量之差与自变量之差在自变量变化趋近于 0 时的比值就是导数，这便是单个点的可导性。当一个函数在这个点以及其邻域内都可导时，便可称函数在这个点解析。如果函数在这个点不解析，那么这个点就称作**奇点**。另外在复数域中，复变函数的可微和可导是等价的。

### 复数的导数
那么如何理解复数的导数呢？在实数里，比如$y=x^2$， 我们每取一个$x$，就有一个$y$和他对应，把$(x,y)$画在二维坐标里，就得到了$y=x^2$ 图像。

**很遗憾，复数的定义域和值域都是二维的，如果画出来需要四维，这显然是不可能的，所以，我们把定义域画在一个二维里，把值域画在另外一个二维里，观察两者之间的关系。** 把定义域叫做原像，值域叫做像（你可以类比照镜子。）

![图片](/uploads/2025-05/123895.jpg){width=400px}
 图2 f(z)在点z=z_0附近的映射
 
 如图2所示，左右两个图形分布在两个二维坐标里，我们观察 $f ( z )$ 的一个点 $z=z_0$ 及其映射之后的状况。蓝线和绿线分别是通过该点 $z_0$ 的直线，经过映射之后可能会变成曲线。

让这个邻域足够小，则经过这一点的光滑曲线可以近似为直线。自变量的微分 $\Delta z$ 就是从点 $z_0$ 往任意方向走一个微小距离对应的复数，相应地，应变量的微分 $\Delta f=f\left(z_0+\Delta z\right)-f\left(z_0\right)$ 是从点 $f\left(z_0\right)$ 往相应方向走一个相应距离对应的复数，如图 3所示：

![图片](/uploads/2025-05/f7bb01.jpg){width=400px}
 图3 Δz和Δf的可视化

整体来说，当原像改变时，镜像也跟着改变，我们称这两个量分别为转动角和伸缩率，如下图4所示：

![图片](/uploads/2025-05/7ce459.jpg)
 图4 转动角和伸缩率
 
 
 
图5是个展现函数 $f(z)=z^2$ 具有保角性的直观的动图：

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    <source src="/uploads/2025-05/b.mp4" type="video/mp4">
</video>
图5 保角性动图

也就是说，如果一个函数 $f(z)$ 在 $z$ 处可导且导数不为 0 ，那么 $z$ 附近的微小邻域在经过映射 $f$ 之后，大约会整体旋转 $\operatorname{Arg} f^{\prime}\left(z_0\right)$ 的角度，并放缩为原来的 $\left|f^{\prime}\left(z_0\right)\right|$ 倍。**这就是复变函数导数的几何意义**。

根据上述结论，如果函数 $f(z)$ 在某个区域解析，则这个区域中的任意两条直线（例如图2中的蓝线和绿线）在经过映射 f 之后会保持夹角不变（除导数为 0 的情况），我们称此时 $f ( z )$ 具有保角性。保角性加伸缩率不变性称为保形性。因此，复变函数在某个区域解析，则可推出其在这个区域具有保形性。

## 从二元实数理解解析函数

接下来我们换一个角度去看复变函数，将它表示为 $f(z)=u(x, y)+i v(x, y)$ 。相应的，就会有这样一个重要结论：设函数 $f(z)=u(x, y)+i v(x, y)$ 在区域D内有定义，则它在 D 内解析的充分必要条件是：$u(x, y)$ 与 $v(x, y)$ 在区域 $D$内可微，且在区域 D 内处处满足 $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}, ~ \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$ ，即柯西－黎曼方程，也可称为 $C - R$ 方程 。

有了上述结论以后，我们就可以判断一个函数在特定区域内是否解析了。反之，如果一个函数 $f(z)=u(x, y)+i v(x, y)$ 在区域D内解析，那么 $u(x, y)$ 与 $v(x, y)$ 在D内有二阶连续偏导数 ，且满足拉普拉斯方程 ${ }^{+} \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2}=0$ ；式中的 $\varphi$ 即为二元实函数 $ u(x, y)$与 $v(x, y)$ ，同时称它们为区域D内的调和函数。

## 从二元实数角度理解 柯西-黎曼方程的几何意义

假设你在山上，山上布满了密密麻麻的网格，这些网格你可以想想为$f(x,y)$生成的二维曲面。
所谓解析函数就是要求，这些网格没有“㓊”这是第一层意思，也是最直接的意思。

但是直接证明这些网格没有㓊比较困难，因此，我们就使用“**没有㓊**”的等价命题：你可以沿着网格到达山上的任何地方，这是等价命题的第二层意思。

再进一步，假设你指定山上一个点（如下图随机的一个红点），那么你从山上任何地方都可以到达这个红点，这是第三层意思。这三层意思虽然表述不同，但是可以发现他们本质是一样的。

![图片](/uploads/2024-12/ad1976.jpg){width=380px}
 
 那怎么把上面的“自然语言”转换为“数学语言”呢？既然沿着任意路径都能到达红点，那我们先取两个特殊的路径：X轴(实轴)和Y轴(虚轴)，自然沿着这2个路径一定能够到达红点。为此建立如下坐标系：
 
  ![图片](/uploads/2025-01/b0a71d.jpg){width=380px}

考虑两个变化量 $\Delta x$ 和 $\Delta y$ ，则

$$
\Delta z=\Delta x+i \Delta y
$$

写出对应的复变函数 $f$

$$
\Delta f=\Delta u+i \Delta v
$$

那么

$$
\dfrac{\Delta f}{\Delta z}=\dfrac{\Delta u+i \Delta v}{\Delta x+i \Delta y} ...(1)
$$

现在，我们考虑两种接近方法：

①先让 $\Delta y=0$ 让 $\Delta x \rightarrow 0$ ，则(1)式可得

$$
\lim _{\Delta z \rightarrow 0} \frac{\Delta f(z)}{\Delta z}=\lim _{\Delta y \rightarrow 0}\left(\frac{\Delta u}{\Delta x}+i \frac{\Delta v}{\Delta x}\right)=\frac{\partial u}{\partial x}+i \frac{\partial v}{\partial x} ...(2)
$$

②再让 $\Delta x=0, \Delta y \rightarrow 0$ ，则(1)式可得

$$
\lim _{\Delta z \rightarrow 0} \frac{\Delta f(z)}{\Delta z}=\lim _{\Delta y \rightarrow 0}\left(-i \frac{\Delta u}{\Delta y}+\frac{\Delta v}{\Delta y}\right)=-i \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial y} ...(3)
$$

**因为我们要求不管是从实轴接近红点还是从虚轴接近红点, 所得到的极限的值应该是相同的**, 所以(2)与(3) 应该实部与实部相等, 虚部与虚部相等可得到如下等式

$$
\dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{\partial v}{\partial y}, \dfrac{\partial u}{\partial y}=-\dfrac{\partial v}{\partial x}
$$

而这个就是柯西－黎曼条件，即用来判断一个复变函数是否可导的条件

反过来，如果一个复变函数满足柯西－黎曼条件，为什么就说微分 $\dfrac{df}{dz}$ 一定是解析的？

为了证明这个，我们可以写出

$$
\Delta f=\left(\frac{\partial u}{\partial x}+i \frac{\partial v}{\partial x}\right) \Delta x+\left(\frac{\partial u}{\partial y}+i \frac{\partial ء}{\partial y}\right) \Delta y
$$

利用柯西－黎曼条件 $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$ 进行代换，得到

$$
\begin{aligned}
\Delta f & =\left(\frac{\partial u}{\partial x}+i \frac{\partial v}{\partial x}\right) \Delta x+\left(-i \frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial x}\right) \Delta y \\
& =\left(\frac{\partial u}{\partial x}+i \frac{\partial v}{\partial x}\right)(\Delta x+i \Delta y)
\end{aligned}
$$

显然，将 $\Delta z=\Delta x+i \Delta y$ 代换然后再移项，便可以得到

$$
\frac{\Delta f}{\Delta z}=\frac{\partial u}{\partial x}+i \frac{\partial v}{\partial x}
$$

显然等式的右边是独立于 $\Delta z$ 的，得证。

上面是从数学角度证明，下面从几何角度进行解释:上面的问题等价于：如果一个向量沿着$x$轴能靠近红点，沿着$y$轴能靠近红点，为什么就一定能推导出，他沿着任意方向都能靠近红点？
这里有一个条件：必须是可微的。然后，根据向量的平行四边形法则，给定两个向量$\vec{e_1},\vec{e_2}$, 用他们作为基，他们一定可以合成任意一个向量$\vec{e}=(a\vec{e_1},b\vec{e_2})$, 这也就是说，任意一个向量$\vec{e}$ 都可以接近红点，所以，他是解析函数。
 ![图片](/uploads/2025-01/e9bb11.jpg)

### 理解柯西-黎曼方程的负号

**定理** 函数 $w=f(z)=u(x, y)+i v(x, y)$ 在点 $z=x+i y$ 处可导 的充要条件是: $u(x, y)$ 和 $v(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 处可微, 且满足柯西一黎曼 (Cauchy-Riemann ) 方程(简称C-R方程):

$$
\boxed{
\dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{\partial v}{\partial y}, \quad \dfrac{\partial u}{\partial y}=-\dfrac{\partial v}{\partial x} 
}
$$

> **对于初学复变函数的同学来说，这个方程有烦人的负号。其实，看到这个负号，我们应该想到[格林公式](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=430) (点击链接查看)，因为格林公式也有一个烦人的负号。**

格林公式有负号是因为要旋转，需要有差值，那里是实数的解释，这里解释一下C-R里为什么有负号。

**问：为什么C－R方程里面有个负号？为什么函数 $u$ 和 $v$ 不是对称的？**

直观上来说，C－R方程的基础是复变函数的保形性，其中包括旋转不变性。而旋转对称本身就不是关于 $x$ 和 $y$ 坐标对称的。旋转在复数中可用乘法来表示，任何一个复数乘以实数单位元 1 会停留在原处，而乘以虚数单位元测会绕原点正向旋转 $90^{\circ}$ ，这就是旋转关于坐标轴的不对称性的一个体现。

对于解析的复变函数而言，$u$ 是实部函数，而 $v$ 是虚部函数，因为 $x$ 和 $y$ 坐标旋转不对称，它们自然也不对称。

相对地，关于 x 和 y 坐标对称的变换，是关于直线 $y = x$ 轴对称的这种形式。

## 再看调和场
> 以下内容节选自 《高等数学》附录，完整内容请点击 [此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2690)

格林公式、高斯公式、斯托克斯公式是《高等数学》多元积分学的三大公式，这三大公式从本质上来说，就是**能量守恒**。让我们从水流说起，我们知道，速度是矢量，水流过一个曲面，为了研究的方便，我们可以对水流进行分解：沿曲线**切线方向**的速度和沿曲线**法线方向**的速度。

![图片](/uploads/2025-05/bc34cb.jpg){width=300px}
 
很容易发现，沿切线方向的流量使得曲线旋转，因此给他一个名字叫**旋度**，记做 $rot A$。沿着法线方向的流量是真正通过曲线的流量，用他可以判断到底是流出还是流入，因此给他一个名字：**散度**，记做$div M$。但是有时候为了方便，我们统一称呼为：流量。 整个多元微积分就是对曲线的切线和法线进行研究的。

如果 $rot A =0$ 处处为零，就表示水流没有旋转，叫做**无旋场**，否则叫做“有旋场”，有旋转就会有能量损失，有些物理公式就不能使用，这是后话。

如果 $div M=0$ 表示水没有流出也没流入，所以叫做**无源场**，如果$div M >0$ 表示水流从该点向外流出，此时称为**正源**。 如果$div M <0$ 表示水流从各处流入该点，此时称为**负源**，对于负源，我们通常称呼为**黑洞**，意味着他吸收能量。

如果 $rot A =0$ 并且 $div M=0$ 表示水流即没有旋转，也没有流入流出，我们称呼为 **调和场**。

最简单的调和场就是“水流均匀流过线圈”，很明显，此时既没有旋转，也没有“源”。 由调和场会引入 拉普拉斯方程。

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