最后更新: 2026-01-29 21:30 查看: 381 次纠错评论(0) 课件开VIP

牛顿第二定律(加速度定律)★★★★★

## 加速度和力的关系实验

在如图４-2-1所示的气垫导轨上，固定着两个光电门，它们相隔一定距离并与数字计时器连接．将不带缺口的遮光条固定在滑块上，将滑块放置在光电门1 附近，并通过小桶及桶中的橡皮泥拉动它，使其由静止从光电门１处开始运动．观察并记录：
（１）在大小不同的外力（改变小桶中的橡皮泥质量）作用下，同一滑块经过两个光电门的时间．
（２）在大小相同的外力作用下，滑块上放有砝码和没放砝码时通过两个光电门的时间

![图片](/uploads/2026-01/9465ea.jpg)
 
 分析表明，同一滑块受到的外力越小，滑块运动得越慢，通过两个光电门的时间越长；受到的外力越大，滑块运动得越快，通过两个光电门的时间越短．在大小相同的外力作用下，滑块质量大的，运动得慢，通过两个光电门的时间长；质量小的，运动得快，通过两个光电门的时间短．

根据 $s=\frac{1}{2} a t^2$ ，可得 $a=\frac{2 s}{t^2}$ ．由于 $s$ 一定，所以 $t$ 越长，$a$ 越小，反之 $t$ 越短，$a$ 越大．因此，由上述实验结果可知，相同质量的物体，受到的外力越小，加速度越小；受到相同外力时，质量越小，加速度越大．物体的加速度 $a$ 既跟所受的外力 $F$ 有关，又跟物体本身的质量 $m$ 有关．

## 加速度与力、质量之间的定量关系
$a$ 与 $F$ 和 $m$ 有怎样的定量关系呢？我们借助气垫导轨（如图4-2-1所示），以滑块为研究对象，用装有橡皮泥的小桶拉动滑块，使其做匀加速直线运动．实验中需要测量三个物理量：物体的加速度、物体所受的力和物体的质量。物体的质量可以用天平测量，加速度和力如何测量呢？

我们用导轨旁边的刻度尺测出两光电门的距离 $s$ ，用刻度尺测出固定在滑块上的遮光条宽度 $\Delta s$ ，用数字计时器测出遮光条分别通过前后两个光电门所经历的时间 $\Delta t_1 、 \Delta t_2$ ．根据 $v_1=\frac{\Delta s}{\Delta t_1}$ 和 $v_2=\frac{\Delta s}{\Delta t_2}$ ，可计算出滑块经过两光电门时的瞬时速度，再由 $v_2{ }^2-v_1{ }^2=2 a s$ ，可计算出滑块的加速度．

在进行实验时，首要的工作是将气垫导轨调至水平，同时将装有橡皮泥的小桶的总重力 $m g$ 当作滑块（包括上面的遮光条和砝码）受到的拉力 $F$ 。在实验中，小桶做加速运动，重力大于拉力，但我们在实验中把小桶的总重力 $m g$ 看成是滑块受到的拉力 $F$ ，因此实验产生的误差有一部分就来源于此。控制这一误差的方法就是尽可能地使小桶与橡皮泥的质量远小于滑块与砝码的质量。

下面我们通过实验定量地研究加速度 $a$ 与作用力 $F$ 和质量 $m$ 之间的关系．

### 实验结果

研究表明，在质量一定的情况下，物体的加速度 $a$ 与作用力 $F$ 成正比．用数学式子表示为

$$
a \propto F
$$

或者

$$
\frac{F_1}{a_1}=\frac{F_2}{a_2}
$$

在作用力一定的情况下，物体的加速度 $a$ 与其质量 $m$ 成反比．用数学式子表示为

$$
a \propto \frac{1}{m}
$$

或者

$$
m_1 a_1=m_2 a_2
$$
 
## 牛顿第二定律

**物体加速度的大小跟它受到的作用力成正比, 跟它的质量成反比, 加速度的方向跟作用力的方向相同。这就是牛顿第二定律 (Newton's second law)**。

牛顿第二定律可表述为

$$
a \propto \frac{F}{m}
$$

也可以写成等式

$$
\boxed {
F=k m a
}
$$

其中 $k$ 是比例系数。

国际上规定，使质量为 1 kg 的物体获得 $1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ 的加速度的力为 1 N．即

$$
1 \mathrm{~N}=1 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{~m} \cdot \mathrm{~s}^{-2}
$$

如果都使用国际单位制，即取力的单位为 N ，质量的单位为 kg ，加速度的单位为 $\mathrm{m} / \mathrm{s}^2$ ，则比例系数 $k=1$ ．简化后，得到牛顿第二定律的数学表达式为

$$
F=m a
$$

由于物体所受的作用力往往不止一个，因此，式中的 $F$ 常指物体所受的合力。

牛顿第二定律表示力的**瞬时**作用规律，描述的是力的瞬时作用效果——产生加速度．物体在某一时刻加速度的大小和方向，取决于该物体在这一时刻所受到的合力的大小和方向．当物体所受到的合力发生变化时，它的加速度随之也要发生变化，$F=m a$ 对运动过程的每一瞬间都成立，加速度与力是同一时刻的对应量，即同时产生、同时变化、同时消失．这就是**牛顿第二定律的瞬时性**．

> 牛顿第二定律不仅阐述了力、质量和加速度三者数量间的关系, 还明确了加速度的方向与力的方向一致。

`例`  一辆质量为 $1.0 \times 10^3 \mathrm{~kg}$ 的汽车，经过 10 s 由静止沿直线匀加速到 $30 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ ．求汽车所受的合力。

分析：汽车在合力 $F$ 作用下经时间 $t$ 由静止匀加速到某一速度 $v_t$ ，要求出汽车受到的合力 $F$ ，可以通过公式 $v_t=v_0+a t$ 求得加速度 $a$ ，再根据牛顿第二定律 $F=m a$ 求出合力 $F$ ．

解：由运动学公式 $v_t=v_0+a t$ ，
牛顿第二定律 $F=m a$ ，
联立并代人数据，得

$$
F=m \frac{v_t-v_0}{t}=1.0 \times 10^3 \times \frac{30-0}{10} \mathrm{~N}=3.0 \times 10^3 \mathrm{~N} .
$$

即汽车所受的合力为 $3.0 \times 10^3 \mathrm{~N}$ ．

`例`某同学用如图 4–15 所示的装置来重现伽利略的斜面实验，他将一个质量为 m 的小球从斜面 AB 的某一高度处由静止释放，小球经 t1 时间到达水平面，接着以速度 $v_0$ 滚上右侧斜面 CD，经 t2 时间到达最大高度。若斜面 AB 与水平面的夹角为 α，斜面 CD 与 水平面的夹角为 β，则小球在斜面 CD 上所受的合力为多大？

解：分析：分析小球在斜面 CD 上的运动。由于斜面的粗糙程度未知，仅根据斜面的倾角无法确定小球在斜面上所受的合力。所以要根据运动学规律得到小球的加速度的大小和方向；再运用牛顿第二定律求得小球所受的合力。

解：以小球为研究对象，取 v0 方向为正方向，小球在斜面 CD 上做加速度为 a 的匀减速直线运动，由运动学公式

![图片](/uploads/2025-04/063ebb.jpg){width=300px}

得

$$
\begin{aligned}
& v=v_0+a t \\
& a=\frac{v-v_0}{t}
\end{aligned}
$$

由于小球以 $v_0$ 初速度沿斜面 $C D$ 向上到达最高点时速度为 0 ，所需时间为 $t_2$ ，所以

$$
a=\frac{0-v_0}{t_2}=\frac{-v_0}{t_2}
$$

式中负号表示加速度 $a$ 的方向与 $v_0$ 的方向相反，沿斜面 $C D$ 向下。
由牛顿第二定律，小球在斜面 $C D$ 上所受合力

$$
F_{\text {合 }}=m a=-\frac{m v_0}{t_2}
$$

合力为负，表示其方向沿斜面 $C D$ 向下。

## 本章小结
### 判断

1.内容：物体加速度的大小跟它受到的作用力成正比，跟它的质量成反比，加速度的方向跟作用力的方向相同　　　.
2.表达式： F=ma

1.物体加速度的方向一定与合外力方向相同.(　对　)
2.由m＝ F/a 可知，物体的质量与其所受合外力成正比，与其运动的加速度成反比.(　错　)
3.可以利用牛顿第二定律确定高速电子的运动情况.(　错　)

### 提升

1.对牛顿第二定律的理解
 ![图片](/uploads/2024-12/f6ff0c.jpg)
 
 2.力和运动之间的关系
(1)不管速度是大是小，或是零，只要合力不为零，物体就有加速度。
(2) $a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$ 是加速度的定义式， $a$ 与 $\Delta v 、 \Delta t$ 无必然联系； $a=\frac{F}{m}$ 是加速度的决定式， $a \propto F, a \propto \frac{1}{m}$.
(3)合力与速度同向时，物体做加速直线运动；合力与速度反向时，物体做减速直线运动.

--- 
`例`(多选)下列说法正确的是
A.对静止在光滑水平面上的物体施加一个水平力，当力刚作用瞬间，物体立即获得加速度
B.物体由于做加速运动，所以才受合外力作用
C.F＝ma是矢量式，a的方向与F的方向相同，与速度方向无关
D.物体所受合外力减小，加速度一定减小，而速度不一定减小
解：由于物体的加速度和合外力是瞬时对应关系，由此可知当力作用瞬间，物体会立即产生加速度，选项A正确；
根据因果关系，合外力是产生加速度的原因，即物体由于受合外力作用，才会产生加速度，选项B错误；
F＝ma是矢量式，a的方向与F的方向相同，与速度方向无关，选项C正确；
由牛顿第二定律可知物体所受合外力减小，加速度一定减小，如果物体做加速运动，其速度会增大，如果物体做减速运动，速度会减小，选项D正确.

`例`某型号战斗机在某次起飞中，由静止开始加速，当加速度a不断减小至零时，飞机刚好起飞.关于起飞过程，下列说法正确的是
A.飞机所受合力不变，速度增加得越来越慢
B.飞机所受合力减小，速度增加得越来越快
C.速度方向与加速度方向相同，速度增加得越来越快
D.速度方向与加速度方向相同，速度增加得越来越慢
解：根据牛顿第二定律可知，当合力逐渐减小至零时加速度a不断减小到零；飞机做加速运动，加速度方向与速度方向相同，加速度减小，即速度增加得越来越慢，故A、B、C项错误，D项正确.

`例` 2021年10月16日0时23分，“神舟十三号”成功发射，顺利将三名航天员送入太空并进驻空间站.在空间站中，如需测量一个物体的质量，需要运用一些特殊方法：如图所示，先对质量为m1＝1.0 kg的标准物体P施加一水平恒力F，测得其在1 s内的速度变化量大小是10 m/s，然后将标准物体与待测物体Q紧靠在一起，施加同一水平恒力F，测得它们1 s内速度变化量大小是2 m/s.则待测物体Q的质量m2为
A.3.0 kg  				B.4.0 kg
C.5.0 kg  				D.6.0 kg
 ![图片](/uploads/2024-12/a43490.jpg)
 解：对 $P$ 施加 $F$ 时, 根据牛顿第二定律有 $a_1=\frac{F}{m_1}=\frac{\Delta v_1}{\Delta t}=10 m / s ^2$, 对 $P$ 和 $Q$ 整体施加 $F$ 时, 根据牛顿第二定律有 $a_2=\frac{F}{m_1+m_2}=\frac{\Delta v_2}{\Delta t}=2 m / s ^2$,联立解得 $m_2=4.0 kg$, 故选 B.
 
 
 
`例` 如图，一不可伸长轻绳两端各连接一质量为m的小球，初始时整个系统静置于光滑水平桌面上，两球间的距离等于绳长L.一大小为F的水平恒力作用在轻绳的中点，方向与两球连线垂直.当两球运动至二者相距   L时，它们加速度的大小均为
 ![图片](/uploads/2025-04/8fea4c.jpg)
 A. $\frac{5 F}{8 m}$
B. $\frac{2 F}{5 m}$
C. $\frac{3 F}{8 m}$
D. $\frac{3 F}{10 m}$
 
 解：答案A
  ![图片](/uploads/2025-04/0b0a8b.jpg)
  
 当两球运动至二者相距 $\frac{3}{5} L$ 时，如图所示，
由几何关系可知 $\sin \theta=\frac{\frac{3 L}{\frac{10}{L}}}{\frac{L}{2}}=\frac{3}{5}$ ，
设绳子拉力为 $F_{ T }$ ，水平方向有 $2 F_{ T } \cos \theta=F$ ，解得 $F_{ T }=\frac{5}{8} F$ ，
对任意小球由牛顿第二定律有 $F_{ T }=m a$ ，解得 $a=\frac{5 F}{8 m}$ ，故 A 正确，B， C，D 错误．
 
 
  
 
 
## 利用牛顿第二定律解题的思路
(1)选取研究对象进行受力分析；
(2)应用平行四边形定则或正交分解法求合力；
(3)根据F合＝ma求物体的加速度a.

`例` (多选)如图甲所示，一坚直放置的足够长的固定玻璃管中装满某种液体，一半径为 $r$ 、质量为 $m$ 的金属小球，从 $t=0$ 时刻起，由液面静止释放，小球在液体中下落，其加速度 $\alpha$ 随速度 $v$ 的变化规律如图乙所示.已知小球在液体中受到的阻力 $F_{ f }=6 \pi \eta v r$ ，式中 $r$ 是小球的半径， $v$ 是小球的速度， $\eta$ 是常数.忽略小球在液体中受到的浮力，重力加速度为 $g$ ，下列说法正确的是
A.小球的最大加速度为 $g$
B.小球的速度从 0 增加到 $v_0$ 的过程中，做匀变速运动
C.小球先做加速度减小的变加速运动，后做匀速运动
D. 小球的最大速度为 $\frac{m g}{6 \pi \eta r}$

解：当 $t=0$ 时，小球所受的阻力 $F_{ f }=0$ ，此时加速度
为 $g$ ，A正确；
随着小球速度的增加，加速度减小，小球的速度从 0 增加到 $v_0$ 的过程中，加速度减小，做变加速运动，B错误；
根据牛顿第二定律有 $m g-F_{ f }=m a$, 解得 $a=g-\frac{6 \pi \eta v r}{m}$, 当 $a=0$ 时,速度最大, 为 $v_0$, 此后小球做匀速运动, 最大速度 $v_0=\frac{m g}{6 \pi \eta r}, C 、 D$正确.
 ![图片](/uploads/2024-12/4f58a1.jpg)
 
 
 `例` 某同学使用轻弹簧、直尺、钢球等制作了一个“竖直加速度测量仪”.如图所示，弹簧上端固定，在弹簧旁沿弹簧长度方向固定一直尺.不挂钢球时，弹簧下端指针位于直尺20 cm刻度处；下端悬挂钢球，静止时指针位于直尺40 cm刻度处.将直尺不同刻度对应的加速度标在直尺上，就可用此装置直接测量竖直方向的加速度.取竖直向上为正方向，重力加速度大小为g.下列说法正确的是
A.30 cm刻度对应的加速度为－0.5g
B.40 cm刻度对应的加速度为g
C.50 cm刻度对应的加速度为2g
D.各刻度对应加速度的值是不均匀的
 ![图片](/uploads/2024-12/3bb73f.jpg)
 解：在 40 cm 刻度处，有 $m g=F_{\text {弹，则 } 40 cm \text { 刻度对应的加速度为 }}$ 0 ，B错误；
由分析可知，在 30 cm 刻度处，有 $F_{\text {弹 }}-m g=m a$ ，有 $a=-0.5 g$ ，
A正确；
由分析可知，在 50 cm 刻度处，有 $F_{\text {弹 }}-m g=m a$ ，代入数据有 $a=0.5 g$ ，C错误；
设某刻度对应值为 $x$ ，结合分析可知 $\frac{\frac{m g}{0.2 m} \cdot \Delta x-m g}{m}=a, \Delta x$ $=x-0.2 m$ (取坚直向上为正方向)，经过计算有 $a=5 g x$ $2 g\left(m / s ^2\right)(x \geqslant 0.2 m)$ 或 $a=-5 g x\left(m / s ^2\right)(x<0.2 m)$ ，根据以上分析，加速度 $a$ 与刻度对应值 $x$ 成线性关系，则各刻度对应加速度的值是均匀的，D错误。

## 提高
`例` 如图甲、乙所示，两车都在光滑的水平面上，小车的质量都是M，人的质量都是m，甲图人推车、乙图人拉绳(绳与轮的质量和摩擦均不计)的力都是F，对于甲、乙两图中车的加速度大小说法正确的是
 ![图片](/uploads/2026-01/704c15.jpg)
A．甲图中车的加速度大小为 $\frac{F}{M}$
B．甲图中车的加速度大小为 $\frac{F}{M+m}$
C．乙图中车的加速度大小为 $\frac{2 F}{M+m}$
D．乙图中车的加速度大小为 $\frac{F}{M}$
解析：选 C．对甲图以车和人为研究对象，系统不受外力作用，故甲图中车的加速度为零， $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B}$ 错误；乙图中人和车受绳子的拉力作用，以人和车为研究对象，受力大小为 $2 F$ ，所以乙图中车的加速度 $a=\frac{2 F}{M+m}, \mathrm{C}$ 正确，D 错误．

`例` 如图所示，质量为m的小球用水平轻弹簧系住，并用倾角为30°的光滑木板AB托住，小球恰好处于静止状态．当木板AB突然向下撤离的瞬间，小球的加速度大小为

![图片](/uploads/2026-01/7510e2.jpg)
 
 解：如图
  ![图片](/uploads/2026-01/5b9890.jpg)
  
   开始小球处于平衡态，受重力 $m g$ 、支持力 $F_{\mathrm{N}}$ 、弹簧拉力 $F$ 三个力作用，受力分析如图所示，由平衡条件可得 $F_{\mathrm{N}}=m g \cos 30^{\circ}+F \sin 30^{\circ}, F \cos 30^{\circ}=m g \sin 30^{\circ}$ ， 
解得 $F_{\mathrm{N}}=\frac{2 \sqrt{3}}{3} m g$ ，重力 $m g$ 、弹簧拉力 $F$ 的合力的大小等于支持力 $F_{\mathrm{N}}$ ，当木板 $A B$ 突然向下撤离的瞬间，小球受力不再平衡，此时的合力与 $F_{\mathrm{N}}$ 等大反向，由牛顿第二定律得此时小球的加速度大小为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3} g$ ，B 正确．

`例`一质量为 $m=2 \mathrm{~kg}$ 的滑块能在倾角为 $\theta=30^{\circ}$ 的足够长的斜面上以 $a=2.5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ 匀加速下滑．如右图所示，若用一水平向右的恒力 $F$ 作用于滑块，使之由静止开始在 $t=2$ s 内能沿斜面运动位移 $x=4 \mathrm{~m}$ ．求(g取10m/s2)：
（1）滑块和斜面之间的动摩擦因数 $\mu$ ；
（2）恒力 $F$ 的大小．
 ![图片](/uploads/2026-01/61a7ba.jpg)
 
解析：（1）以物块为研究对象受力分析如图甲所示，根据牛顿第二定律可得：

![图片](/uploads/2026-01/af54b7.jpg)
  
  $m g \sin 30^{\circ}-\mu m g \cos 30^{\circ}=m a$
解得：$\mu=\frac{\sqrt{3}}{6}$ ．
（2）使滑块沿斜面做匀加速直线运动，有加速度向上和向下两种可能。当加速度沿斜面向上时，受力分析如图乙所示，$F \cos 30^{\circ}-m g \sin 30^{\circ}-\mu\left(F \sin 30^{\circ}+m g \cos 30^{\circ}\right)=m a_1$ ，根据题意可得 $a_1=2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ ，

代入数据得：$F=\frac{76 \sqrt{3}}{5} \mathrm{~N}$
当加速度沿斜面向下时（如图丙）：
$m g \sin 30^{\circ}-F \cos 30^{\circ}-\mu\left(F \sin \quad 30^{\circ}+m g \cos 30^{\circ}\right)=m a_1$
代入数据得：$F=\frac{4 \sqrt{3}}{7} \mathrm{~N}$ ．

![图片](/uploads/2026-01/b5435d.jpg)

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：牛顿第一定律(惯性定律)

下一篇：牛顿第三定律(作用力和反作用力定律)

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)