最后更新: 2026-01-15 19:38 查看: 410 次纠错评论(0) 课件开VIP

弹力与胡克定律

## 形变
人坐在沙发上时，会观察到沙发有了形变；用力拉橡皮筋时，能看到橡皮筋发生了形变…… 物理学中，把物体发生形状或体积的变化称为**形变**

我们看到，用适当的力压弹簧，弹簧产生形变；停止用力，形变消失，弹簧恢复原状．用力压橡皮泥，橡皮泥产生形变；停止用力，形变保持，橡皮泥不能恢复原状

物体受力后发生的形变有两类：
第一类，停止用力后物体能完全恢复原状的形变叫作**弹性形变**．物体具有恢复原状的性质称为弹性．对于弹性形变，如果外力过大，撤去外力后，物体形状不能完全恢复，我们称这种现象为超过了物体的**弹性限度**，如图所示

![图片](/uploads/2026-01/7dae76.jpg){width=300px}
 形变超过弹性限度的弹簧不能恢复原
 
 第二类，停止用力后，物体不能恢复原状的形变叫作**范性形变**。

## 弹力
力作用在物体上，物体会发生形变，而发生弹性形变的物体，由于要恢复原状，会对与它接触的物体会产生力的作用，这种力称为**弹力**。
弹力也是生活中常见的力。我们通常说的绳子的拉力、桌面的支持力等具有相同的产生原因，都属于弹力。由生活经验可知，弹力与形变直接相关。

用绳子吊着一个物体，绳子会产生形变．为了恢复原状，绳子会对物体产生一个弹力，称为**拉力**．拉力的方向是沿绳子指向绳子收缩的方向。

## 弹力和形变有什么关系？
当撤去使物体发生形变的外力后，有的物体能恢复原状，如图 3–4 所示。我们把撤去力后能恢复原状的形变称为弹性形变，如弹簧的形变
 ![图片](/uploads/2025-04/d327b3.jpg){width=250px}
 
任何物体受力时都会产生形变，只是形变有时很明显，可以用肉眼直接观察；有时很微小，需要借助仪器将其“放大”才能观察。如图 3–5 所示，把一支激光笔 A 固定在支架上，激光束分别经过平面镜 B 和 C 的反射后射到天花板，形成一个光斑。现在桌面上放一重物 M，观察光斑 D 位置的变化。

![图片](/uploads/2025-04/c07714.svg){width=300px}

我们发现桌面放上重物后光斑会移动，而且重物越重，光斑移动的幅度越大。光斑之所以会移动，是因为重物对桌面的压力使桌面发生了微小形变，平面镜随之发生了微小的转动。通过光的多次反射将桌面的形变“放大”，从而观察到不易直接观察的微小形变。

**发生弹性形变的物体，由于要恢复原状，会对引起形变的物体施加力的作用，这种力称为弹力（elastic force）。**

弹力是由于弹性形变引起的，我们所熟悉的弹簧测力计测量物体所受重力的原理就是利用弹簧的形变进行测量的。弹簧测力计中的弹簧下端悬挂不同质量的重物时，弹簧的伸长量也不同。利用固定在弹簧上的指针，在标尺上显示出重物所受的重力大小。可用类似的方法来探究弹簧弹力与形变量的关系。

## 弹力的方向
弹力作用在物体与物体接触的点或面上，其作用点是相互作用的物体直接接触并发生弹性形变的位置，**弹力的方向总是指向发生弹性形变物体恢复原状的方向**。

如图 3–8 所示为两种典型的弹力的方向。图（a）中，弹性绳发生形变，产生弹力，作用于桶。弹力的作用点是 P，弹力的方向沿着弹性绳指向绳恢复原状的方向。同时，桶的提手也发生了形变，对绳子产生向下的弹力。图（b）中，地面发生形变，产生弹力，作用于车轮。弹力的作用点是 P，弹力的方向指向地面恢复原状的方向，垂直于接触面向上。同时，车轮也发生形变，对地面有向下的弹力。
 ![图片](/uploads/2025-04/49fba3.jpg){width=250px}
 
`例`  如图 3–9 所示，质量均匀分布的木棒一端被竖直的弹性绳悬吊，另一端搁在水平地面上。木棒除了受到重力外还受到几个弹力的作用？说说这些弹力的施力物体，并画出木棒所受弹力的示意图
 ![图片](/uploads/2025-04/3a7550.svg){width=250px}
 分析：木棒分别与弹性绳和地面接触，使绳被拉伸，同时使地面向下凹陷。木棒在这两处均受到弹力的作用，分别指向弹性绳和地面恢复原状的方向，都竖直向上。这两处向上的弹力就是绳子的拉力和地面的支持力。

解：如图 3–10 所示，木棒除了受到重力外还受到两个弹力 FT、FN 的作用。

FT 沿着绳子竖直向上，作用在棒的 A 端，施力物体是绳子。

FN 垂直于接触面向上，作用在棒的 B 端，施力物体是地面。

![图片](/uploads/2025-04/8e70b2.svg){width=250px}

`例`关于弹力的方向，下列说法中正确的是 
A．放在水平桌面上的物体所受弹力的方向是竖直向上的
B．放在斜面上的物体所受斜面的弹力的方向是竖直向上的
C．将物体用绳吊在天花板上，绳所受物体的弹力方向是竖直向上的
D．物体间相互挤压时，弹力的方向垂直接触面指向受力物体
解析：选AD.放在水平桌面上的物体所受弹力为支持力，其方向为垂直于桌面向上，故A正确；放在斜面上的物体所受斜面的支持力方向垂直于斜面向上，故B错误，D正确；绳子对物体的拉力总是沿绳子收缩的方向，而物体对绳子的弹力方向指向绳子伸长的方向，故C错误．

## 胡克定律
弹簧在形变时产生的弹力与弹簧的伸长量是有关系的。那么, 弹簧在弹性限度内, 弹力大小与其伸长量有什么关系呢?

![图片](/uploads/2024-01/image_20240110ef0aaf1.png)

实验结果表明, 弹簧发生弹性形变时, 弹力 $F$ 的大小跟弹簧伸长 (或缩短) 的长度 $x$ 成正比, 即

$$
\boxed{
F=k x ...(胡克定律)
}
$$

这个规律是由英国科学家胡克发现的, 叫作**胡克定律** (Hooke's law)。式中弹力 $F$ 、弹簧伸长 (或缩短) 的长度 $x$ 的单位分别是牛顿 ( $\mathrm{N})$ 、米 $(\mathrm{m}), k$ 叫作弹簧的**劲度系数** ( coefficient of stiffness), 单位是牛顿每米, 符号是 $\mathrm{N} / \mathrm{m}$ 。

> 注意：胡克定律里的$x$是弹簧的**形变量**，即是弹簧伸长（或压缩）后的长度与原长的差值， $ x = |l - l_0| $，单位为米（m）

生活中说有的弹簧 “硬” , 有的弹簧 “软” , 指的就是它们的劲度系数不同。

`例`  关于胡克定律，下列说法正确的是（ 
A．由 $F=k x$ 可知，在弹性限度内弹力 $F$ 的大小与弹簧形变量 $x$ 成正比
B．由 $k=\frac{F}{x}$ 可知，劲度系数 $k$ 与弹力 $F$ 成正比，与弹簧的长度改变量成反比
C．弹簧的劲度系数 $k$ 是由弹簧本身的性质决定的，与弹力 $F$ 的大小和弹簧形变量 $x$ 的大小无关

D．弹簧的劲度系数在数值上等于弹簧伸长（或缩短）单位长度时弹力的大小
解析：选 ACD．在弹性限度内，弹簧的弹力与形变量遵守胡克定律 $F=k x$ ，故 A 正确；弹簧的劲度系数是由弹簧本身的性质决定的，与弹力 $F$ 及 $x$ 无关，故 C 正确， B 错误；由胡克定律得 $k=\frac{F}{x}$ ，可理解为弹簧每伸长（或缩短）单位长度时受到的弹力的值与 $k$ 相等，故 D正确．

`例` 一根弹簧原长 $ l_0 = 10\ \text{cm} $，劲度系数 $ k = 200\ \text{N/m} $，当它被拉长到 $ l = 15\ \text{cm} $ 时，弹力多大？
    解：形变量 $ x = 15\ \text{cm} - 10\ \text{cm} = 5\ \text{cm} = 0.05\ \text{m} $
    由胡克定律得 $ F = kx = 200 \times 0.05 = 10\ \text{N} $

`例`（**易错题**）：若上述弹簧被压缩到 $ l = 8\ \text{cm} $，弹力多大？
    解：形变量 $ x = |8\ \text{cm} - 10\ \text{cm}| = 2\ \text{cm} = 0.02\ \text{m} $
    弹力 $ F = kx = 200 \times 0.02 = 4\ \text{N} $
    
易错点：题目说压缩到$8cm$，也就是变化量是$2cm$。

`例`两个劲度系数分别为 $k_1$ 和 $k_2$ 的轻质弹簧 $a 、 b$ 串接在一起， $a$ 弹簧的一端固定在墙上，如图所示，开始时弹簧均处于原长状态，现用水平力作用在 $b$ 弹簧的 $P$ 端向右拉动弹簧，当 $a$ 弹簧的伸长量为 $L$ 时
A. $b$ 弹簧的伸长量为 $\frac{k_2}{k_1} L$
B. $b$ 弹簧的伸长量也为 $L$
C. $P$ 端向右移动的距离为 $2 L$
D. $P$ 端向右移动的距离为 $\left(1+\frac{k_1}{k_2}\right) L$
 ![图片](/uploads/2024-12/50d26e.jpg)
 
 解：对于轻质弹簧，在缓慢拉伸或匀速运动时，**同一根弹簧上各点张力相等**，并且 **串联时两弹簧所受的拉力大小相等**。
设拉力大小为 $F$。

1. 弹簧 $a$ 的伸长与力的关系

对弹簧 $a$：  
$$
F = k_1 \cdot x_a
$$
已知 $x_a = L$，所以  
$$
F = k_1 L
$$

2. 弹簧 $b$ 的伸长

对弹簧 $b$：  
$$
F = k_2 \cdot x_b
$$
代入 $F = k_1 L$：  
$$
k_1 L = k_2 \cdot x_b
$$
$$
x_b = \frac{k_1}{k_2} L
$$
 
 故 $A 、 B$ 错误；

$P$ 端向右移动的距离等于两根弹簧伸长量之和，即为 $L+\frac{k_1}{k_2} L=\left(1+\frac{k_1}{k_2}\right) L$ ，故 C 错误， D 正确.

## 本节总结
 1.基本概念
(1)定义：发生**形变**的物体，要恢复原状，对与它接触的物体会产生的力的作用.
(2)产生条件:
①物体间直接接触;
②接触处发生**形变**.
(3)方向: 总是与施力物体形变的方向**相反**.

2.弹力有无的判断方法
 
 对于初学者，我们可以用更具体的场景来记忆弹力

### 方法一：接触面法（适用于面与面接触）
**口诀：垂直于接触面，指向被支持的物体。**

- **支持力**：比如书本放在桌面上，桌面被压得向下凹（形变），它要向上恢复原状，所以对书本的弹力（支持力）是**垂直向上**的。
- **压力**：反过来，书本对桌面也有一个弹力（压力），桌面被压向下凹，书本的形变是向上凸吗？不，我们换个角度：桌面给书本的支持力是向上的，那么根据牛顿第三定律，书本给桌面的压力必然是**垂直向下**的。
- **结论**：无论是支持力还是压力，只要是面与面接触，**弹力方向一定垂直于接触面**。并且：
    - 支持力：**垂直接触面，指向被支持的物体**（如桌面→书本）。
    - 压力：**垂直接触面，指向被压迫的物体**（如书本→桌面）。

**例子：**
- 斜面上的物体，支持力垂直于斜面向上。
- 墙壁上的挂画，墙对画的弹力垂直于墙面指向画。

### 方法二：绳/杆法（适用于绳、弹簧、轻杆等）

**1. 绳子的拉力：**
**口诀：沿着绳子，指向绳子收缩的方向。**
因为绳子只能被拉伸，形变是变长，所以它产生的弹力（拉力）总是试图把绳子拉回原来的长度，即沿着绳子指向绳子收缩的方向。

**2. 弹簧的弹力：**
**口诀：沿着弹簧轴线，指向弹簧恢复原长的方向。**
- 如果弹簧被压缩（变短），弹力方向是向外推，试图恢复原长。
- 如果弹簧被拉伸（变长），弹力方向是向内拉，试图恢复原长。

**3. 轻杆的弹力（需特别注意！）：**
轻杆的弹力方向比较灵活，因为它既可以产生拉力也可以产生推力，不一定沿杆方向。
- **常见情况：铰链连接或固定转动点**
    - 如果杆只在一端受力（另一端自由），且处于平衡状态，那么杆的弹力方向**通常沿着杆**。
    - 如果杆两端都受力，或者一端固定，另一端可动，则需要根据平衡条件或牛顿定律来判断，弹力方向**不一定沿杆**。这时就必须回归到最根本的 **“与形变方向相反”** 来判断。
    
下表给出常见的轻绳、轻杆、弹性绳和轻弹簧的比较

![图片](/uploads/2024-12/b852b3.jpg)

![图片](/uploads/2024-12/758a2b.jpg)

下表给出总结：

#### 典型例题

`例` 下列图中各物体均处于静止状态.图中画出了小球A所受弹力的情况，其中正确的是

![图片](/uploads/2024-12/6df4ad.jpg){width=500px}

解：
**选项A** 中小球只受重力和杆的弹力的作用，且处于静止状态，由二力平衡可得小球受到的弹力方向应坚直向上，故 A 错误；

![图片](/uploads/2026-01/2180ac.jpg){width=200px}

**选项B** ，因为右边的绳坚直向上，如果左边的绳有拉力，则坚直向上的那根绳就会发生倾斜，所以左边的绳没有拉力，故 B 错误; 
 ![图片](/uploads/2026-01/aa8591.jpg)

**选项C** 球与球接触处的弹力方向，垂直于过接触点的公切面(即在两球心的连线上），且指向受力物体，故 C正确；

**选项D** 球与面接触处的弹力方向，过接触点垂直于接触面（即在接触点与球心的连线上），即选项 D 中 $F_{ N 2}$ 的方向应该指向圆心。

![图片](/uploads/2026-01/f27083.jpg)

### 总结 
 通常，判断弹力可以使用下面两种方法：   
 ![图片](/uploads/2024-12/aad718.jpg)
 
 3.接触面上的弹力方向判断
 ![图片](/uploads/2024-12/528c42.jpg)
  
  
## 例题：弹力的有无及方向判断
  
`例`如图所示，小车内沿竖直方向的一根轻质弹簧和一条与竖直方向成α角的轻质细绳拴接一小球，此时小车与小球保持相对静止，一起在水平面上运动，下列说法正确的是
A.细绳一定对小球有拉力
B.轻弹簧一定对小球有弹力
C.细绳不一定对小球有拉力，但是轻弹簧一定对小球有弹力
D.细绳不一定对小球有拉力，轻弹簧也不一定对小球有弹力
 ![图片](/uploads/2024-12/69769d.jpg)
 解：当小车**匀速运动**时，弹簧弹力大小等于小球重力大小，此时细绳的拉力$F_拉=0$；或者反过来想一下，小车匀速运动可以当成静止状态，如果绳子有拉力，参考下图，可以看到 $F_2$会分解为一个水平的力，在垂直方向上受力平衡，但是在水平上，会单独受到一个里，物体就不可能静止。因此，要使得物体静止，就必须$F_2$为零。
 
  ![图片](/uploads/2026-01/455b26.jpg)

当小车和小球向右做**匀加速直线运动**时，根据牛顿第二定理，会产生向心力，绳的拉力不可能为零，弹簧弹力有可能为零，故D正确.

`例`如图所示为位于水平面上的小车，固定在小车上的支架的斜杆与坚直杆的夹角为 $\theta$ ，在斜杆下端固定有质量为 $m$ 的小球，重力加速度为 $g$ 。现使小车以加速度 $a(a \neq 0)$ 向右做匀加速直线运动，下列说法正确的是

![图片](/uploads/2024-12/5c0b4c.jpg){width=200px}
 
 
A. 杆对小球的弹力一定坚直向上
B. 杆对小球的弹力一定沿杆斜向上
C. 杆对小球的弹力大小为 $m g$
D. 杆对小球的弹力大小为 $\sqrt{(m g)^2+(m a)^2}$

解：对小球受力分析如图，由图可知，当 $a$ 大小不同时，杆上的弹力与坚直方向的夹角也不同，方向不一定沿杆，但一定是斜向上，且 $F>m g$ ，选项A、B、C错误；由几何关系可知， $F=\sqrt{(m g)^2+(m a)^2}$ ，选项D正确。

![图片](/uploads/2024-12/8ef178.jpg){width=200px}

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