最后更新: 2025-02-13 08:23 查看: 155 次反馈同步训练

数列计算-不动点法

## 不动点法
  不动点法 目的是将递推数列转化为等比 (差) 数列的方法   
不动点的定义: 函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$, 若存在 $f(x) x_0 \in D$, 使 $f\left(x_0\right)=x_0$ 成立,则称 $x_0$ 为 $f(x)$ 的不动点或称 $\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 为函数 $f(x)$ 的不动点。
分析: 由 $f(x)=x$ 求出不动点 $x_0$, 在递推公式两边同时减去 $x_0$, 在变形求解。   
        
 类型一 : 形如 $a_{n+1}=q a_n+d$    
              
 例 已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 中, $a_1=1, a_n=2 a_{n-1}+1(n \geq 2)$, 求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式。   
   解:    递推关系是对应得递归函数为 $f(x)=2 x+1$, 由 $f(x)=x$ 得, 不动点为 -1   
$$
\therefore a_{n+1}+1=2\left(a_n+1\right) \text {, }
$$

类型二:    形如 $a_{n+1}=\frac{a \cdot a_n+b}{c \cdot a_n+d}$   
分析: 递归函数为 $f(x)=\frac{a \cdot x+b}{c \cdot x+d}$   
(1) 若有两个相异的不动点 $p, q$ 时, 将递归关系式两边分别减去不动点 $p, q$, 再将两式相除得 $\frac{a_{n+1}-p}{a_{n+1}-q}=k \cdot \frac{a_n-p}{a_n-q}$, 其中 $k=\frac{a-p c}{a-q c}, \therefore a_n=\frac{\left(a_1 q-p q\right) k^{n-1}-\left(a_1 p-p q\right)}{\left(a_1-p\right) k^{n-1}-\left(a_1-q\right)}$   
(2) 若有两个相同的不动点 $p$, 则将递归关系式两边减去不动点 $p$, 然后用 1 除, 得 $\frac{1}{a_{n+1}-p}=\frac{1}{a_n-p}+k$, 其中 $k=\frac{2 c}{a+d}$ 。

例1. 设数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=2, a_{n+1}=\frac{5 a_n+4}{2 a_n+7}$, 求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式.           
分析：此类问题常用参数法化等比数列求解.           
解: 对等式两端同时加参数 $t$, 得:           
$$
a_{n+1}+t=\frac{5 a_n+4}{2 a_n+7}+t=\frac{(2 t+5) a_n+7 t}{2 a_n+7}=(2 t+5) \frac{a_n+\frac{7 t+4}{2 t+5}}{2 a_n+7},
$$
                   
令 $t=\frac{7 t+4}{2 t+5}$, 解之

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