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数列极限存在定理

前面在引进数列极限的定义时, 所考虑的许多数列的极限都是已经知道的,然后再用数列极限的定义来验证，如果数列极限的概念仅能给出这样的认识，即一些已知数能够用另一些已知数的某些数列来逼近，那么我们从极限概念所得到的东西太少了。但是数列的一个最为重要的应用在于，有些问题所要确定的数值往往不能用别的方法直接得知或表示，却能用数列极限方式来表示。例如我们用有理数逼近无理数，又在上一节用圆内接正多边形的面积来逼近圆面积，求出 $\pi$ 的数值等, 这样的例子就是数列极限重要应用的典型例子. 因此我们构造的数列是否收玫就成为第一位重要问题了. 对于一个数列 $\left\{a_n\right\}$ 的极限，事实上应该分成两个层次来讨论。
1. 存在性. 即数列 $\left\{a_n\right\}$ 是否有极限存在?
2. 求值问题. 假如已经确定了给定数列 $\left\{a_n\right\}$ 的极限存在, 我们再设法求它的极限值, 其实只要确定了 $\left\{a_n\right\}$ 的极限存在, 那么这个极限值就是一个实数, 而数列 $\left\{a_n\right\}$ 就是它的逐次逼近的近似数值, 要点是去了解数列的性质，总之求值问题是个比较次要的问题了.

下面给出一个比较简单的极限存在定理.
定理
递增有上界的数列 $\left\{a_n\right\}$ 极限存在（同样递减，有下界数列 $\left\{a_n\right\}$ 的极限也存在）。

例如：数列 $\left\{\frac{n^2-1}{n^2}\right\}$ 符合定理的条件，因为 $0, \frac{3}{4}, \frac{8}{9}, \frac{15}{16}, \frac{24}{25}, \ldots$ 显然是递增的，同时 $a_n=\frac{n^2-1}{n^2}=1-\frac{1}{n^2}<1 ， 也$ 就是说，它是有界的，而且容易看出数列的极限值是 1 , 事实上

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^2-1}{n^2}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=1-0=1
$$

下面的证明可以说是将二分逼近和实数完备性配合运用的典型例子，在这儿是初次用到，往后还会遇到相似的配合用法。其实，只要能基本上理解命题意义和证明大意，就可以先去学习它的应用，往往用了几次后再回头看第二遍，也就更加明白了.
证明: 一个使得 $a_n \leq K$ 恒成立的常数 $K$ 叫做 $\left\{a_n\right\}$ 的一个 上界. 下面我们将用二分逼近法和完备性来说明 $\left\{a_n\right\}$ 的极限等于它的最小上界（因为 $\left\{a_n\right\}$ 是递增的）。

令 $A_1=a_1, B_1=K$, 由假设 $A_1=a_1 \leq a_n \leq K=B_1$, 即所有 $a_n$ 都在线段 $\left[A_1, B_1\right]$ 之内, 将线段 $\left[A_1, B_1\right]$ 二等分, 假如分点 $\frac{1}{2}\left(A_1+B_1\right)$ 还是一个上界 (即 $a_n \leq \frac{A_1+B_1}{2}$ 恒成立), 则取前半段为 $\left[A_2, B_2\right]$, 不然则取后半段为 $\left[A_2, B_2\right]$. 这样逐次二等分, 每次当分点 $\f

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