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初中数学
第六章 三角形
三角形中位线定理
最后
更新:
2025-01-15 09:19
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三角形中位线定理
## 中位线定理 定理 连结三角形任意两边中点的线段平行于第三边，且等于第三边的一半． `例`已知: $D 、 E$ 分别为 $\triangle A B C$ 的 $\overline{A B}$ 和 $\overline{A C}$ 边上的中点 (图 3.54) 求证: $\overline{D E} / / \overline{B C}, \overline{D E}=\frac{1}{2} \overline{B C}$.  证明: 在 $\overline{D E}$ 的延长线上, 截取 $\overline{E F}=\overline{D E}$, 由于 $\overline{A E}=\overline{E C}$, $\therefore$ 四边形 $A D C F$ 是平行四边形 (对角线互相平分的四边形是平行四边形). $\therefore C F / / A D$, 即 $C F / / B D$. 但, $\overline{C F}=\overline{A D}, \quad \overline{A D}=\overline{B D}$, $\therefore \overline{C F}=\overline{B D}$ (等量代换), $\therefore$ 四边形 $B C F D$ 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形). $\therefore \overline{D F} / / \overline{B C}$, 即 $\overline{D E} / / \overline{B C}$. 由于 $\overline{D E}=\frac{1}{2} \overline{D F}, \overline{D F}=\overline{B C}$ (平行四边形的对边相等), $\therefore \quad \overline{D E}=\frac{1}{2} \overline{B C}$. 连结三角形两边中点的线段，叫做**三角形的中位线**． 上面的定理又叫做三角形中位线定理
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