最后更新: 2025-07-02 11:23 查看: 365 次反馈同步训练

三角形面积

## 三角形面积

三角形面积公式有多种，常见的如下：
1. **基本公式**：已知三角形底为$a$，高为$h$，则面积$S = \frac{1}{2}ah$。这是最常用的公式，可由两个全等三角形拼成平行四边形推导得出。
2. **海伦公式**：已知三角形三边分别为$a$、$b$、$c$，设半周长$s=\frac{a + b + c}{2}$，则面积$S=\sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$。
3. **正弦定理形式**：已知三角形两边为$a$、$b$，这两边夹角为$C$，则面积$S=\frac{1}{2}ab\sin C$。同理，若已知夹角$A$或$B$，也可表示为$S=\frac{1}{2}bc\sin A$或$S=\frac{1}{2}ac\sin B$。
4. **内切圆相关公式**：设三角形三边分别为$a$、$b$、$c$，内切圆半径为$r$，则三角形面积$S = \frac{1}{2}(a + b + c)r=sr$。
5. **外接圆相关公式**：设三角形三边分别为$a$、$b$、$c$，外接圆半径为$R$，则三角形面积$S=\frac{abc}{4R}$。
6. **行列式形式**：若三角形三个顶点坐标分别为$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，$C(x_3,y_3)$，则$S=\frac{1}{2}\begin{vmatrix}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\end{vmatrix}$的绝对值。
7. **向量形式**：若已知三角形中$\overrightarrow{AB}=\vec{a}$，$\overrightarrow{AC}=\vec{b}$，则三角形面积$S = \frac{1}{2}|\vec{a}\times\vec{b}|$，此公式也适用于空间三角形求面积。

## 等比三角形面积计算公式

等边三角形：$S = \frac{\sqrt{3}}{4} * a^2$

## 海伦公式
![图片](/uploads/2023-10/f8b925.svg){width=250px}

若已知三角形的边长 (上图 )，其面积可以用海伦公式计算

$$
A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},
$$

其中 $s=(a+b+c) / 2$ 。
证明：公式证明较为复杂，此处略，只要记住结论即可。

海伦公式给出了一个通过边长计算面积的方法，在古代有时候测量面积会比较麻烦，而测量边长很容易，因此通过测量变量就能很容易丈量土地的面积。

## 扩展阅读：三角形内切圆求三角形面积公式
 
 若已知三角形内切圆的相关信息，可根据公式$S = \frac{1}{2}lr$求三角形面积，其中$l$为三角形周长，$r$为内切圆半径。推导过程如下：
- 设$\triangle ABC$的三边长分别为$a$、$b$、$c$，内切圆半径为$r$，圆心为$O$。
- 连接$OA$、$OB$、$OC$，则$\triangle ABC$被分割为三个小三角形，即$\triangle AOB$、$\triangle B

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