最后更新: 2025-06-22 20:21 查看: 185 次反馈同步训练

不等式组

## 一元一次不等式（组）
形如 $a x+b>0$ 或 $a x+b<0(a \neq 0)$ 的不等式, 称为一元一次不等式,其中 $a, b$ 是两个已知的实数, $x$ 是变数.
由于这第二种类型的一元一次不等式 $a x+b<0$ 的两端乘以 $(-1)$ 后, 总可以变成第一种类型的同解不等式 $-a x-b>0$ ，所以我们只讨论第一种类型的一元一次不等式的解集：
- 当 $a>0$ 时, 那么 $a x+b>0$ 的解集是: $\left\{x \left\lvert\, x>-\frac{b}{a}\right.\right\}$, 解集是数轴上不含点 $-\frac{b}{a}$ 的正向射线.
- 当 $a<0$ 时, 那么 $a x+b>0$ 的解集是: $\left\{x \left\lvert\, x<-\frac{b}{a}\right.\right\}$, 解集是数轴上不含点 $-\frac{b}{a}$ 的负向射线.

`例`解不等式 $\frac{x-1}{6}-\frac{2 x+1}{4}<\frac{2 x}{15}-1$
解：两边同乘以 60 , 得:

$$
\begin{aligned}
& 10(x-1)-15(2 x+1)   <8 x-60 \\
& -20 x-25   <8 x-60 \\
& -28 x   <-35
\end{aligned}
$$

因此: $x>\frac{5}{4}$, 所以它的解集是: $\left\{x \left\lvert\, x>\frac{5}{4}\right.\right\}$

`例` 解不等式: $3(x-5) \geq x^2-5 x+3-\left(x^2-8 x\right)$
解：有时我们可以采用另一种书写方式，即采用一系列相等的集合把原不等式的解集找出来。

原不等式的解集：

$$
\begin{aligned}
& \left\{x \mid 3(x-5) \geq x^2-5 x+3-\left(x^2-8 x\right)\right\} \\
= & \{x \mid 3 x-15 \geq 3 x+3\} \\
= & \{x \mid 0 x \geq 18\} \\
= & \emptyset
\end{aligned}
$$

"Ø"表示空集，这说明原不等式不能成立，即没有实数$x$能让原方程成立，因此方程无解，

## 不等式组
解不等式组就是先分别求不等式组中各个不等式的解集, 然后再求这些解集的**交集**。

`例` 解不等式组：

$$
\left\{\begin{array}{l}
3(x-2)+1<6(x+1) \\
7-4(x-3)>5 x-10
\end{array}\right.
$$
解: 先解第一个不等式, 化简得:

$$
\begin{aligned}
3 x-6+1 & <6 x+6 \\
3 x & >-11
\end{aligned}
$$

所以 $x>-\frac{11}{3}$.
再解第二个不等式，化简得

$$
\begin{gathered}
7-4 x+12>5 x-10 \\
9 x<29
\end{gathered}
$$

所以 $x<\frac{29}{9}$
最后求两个解集的公共部分 $-\frac{11}{3}<x<\frac{29}{9}$, 这就是不等式组的解 (图 3.5).
 ![图片](/uploads/2024-12/4161e4.jpg){width=400px}
 
  
 `例`解不等式组：

$$
\left\{\begin{array}{l}
5(x-3)>3(2 x-3) \\
5(x-2)<3(x-1)
\end{array}\right.
$$

$$
\begin{aligned}
&\text { 解: }\\
&\begin{aligned}
& \left\{x \left\

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