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初中数学
第二章 方程与不等式
绝对值不等式
最后
更新:
2024-12-08 17:54
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绝对值不等式
有时我们还会遇到一种含有绝对值符号的不等式. 例如, 用车床加工一种底面直径为 10 cm 的圆柱形零件, 如果规定底面直径的绝对误差不超过 0.05 cm才算合格,那么合格零件底面直径 $x$ 可以是多少?这就是要解不等式: $$ |x-10| \leq 0.05 $$ 这类不等式称为含有绝对值符号的不等式,或简单地称为绝对值不等式. 我们先来考虑两个简单的绝对值不等式: $$ |x|<a, \quad|x|>a $$ 我们知道, $|x|$ 可以看作数轴上表示 $x$ 的点与原点的距离, 由此可知: 如果 $a>0$, 那么绝对值不等式 $|x|<a$ 的解就是 $-a<x<a$ 的解 (图 3.8 ); $|x|>a$ 的解就是 $x<-a$ 或 $x>a$ 的解 (图 3.9), 也就是: $$ \begin{aligned} & \{x||x|<a\}=\{x \mid-a<x<a\} \\ & \{x||x| \geq a\}=\{x \mid x<-a\} \cup\{x \mid x>a\} \end{aligned} $$  现在让我们转到要解的不等式 $|x-10| \leq 0.05$ 上来,其意义就是数轴上表示 $x$ 的点与坐标为 10 的点的距离不超过 0.05 . 根据上面的结论, 它和下面不等式同解: $$ -0.05 \leq x-10 \leq 0.05 $$ 也就是 $$ 9.95 \leq x \leq 10.05 $$ 例 3.28 解不等式 $|x+4|>9$ 。 解: $$ \begin{aligned} & \{x||x+4|>9\} \\ = & \{x \mid x+4>9\} \cup\{x \mid x+4<-9\} \\ = & \{x \mid x>5\} \cup\{x \mid x<-13\} \end{aligned} $$ 这个绝对值不等式,其意义就是数轴上表示 $x$ 的点与坐标为 -4 的点的距离大于 9 , 这些解点只能是以 5 为端点的右开射线, 和以 -13 为端点的左开射线 (图3.10). 方程
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