最后更新: 2025-08-01 08:14 查看: 363 次纠错评论(0) 课件开VIP

卷积与卷积定理

## 卷积

卷积有什么作用？我想这个问题比卷积的定义更令人感兴趣。其实卷积的本质是信号的分解，类似加减乘除运算，卷积是一种计算规则，之所以给这个计算规则起个名字，是因为这种计算经常能用到。因为卷积的本质是信号的分解，所以最好先了解一下信号的分解。

## 从吃汉堡理解卷积
 
首先设定一个常见：人的消化系统是一个线性消化系统，他有自己的消化曲线。输入为每个小时吃的汉堡，系统为消化系统，输出为某个时刻我们肚子里剩的汉堡。

我们不妨设置消化系统系数为每小时变化一次，例如，我们设置消化系数为$[0.9，0.8，0.7]$，这就代表着我们吃下去一个汉堡，在1个小时后，肚子里还有0.9个汉堡；在2个小时以后，肚子里还有0.8个汉堡；在三个小时以后，肚子里还有0.7个汉堡。

这里注意一下，我们每一次吃的汉堡都是分批次消化。意思就是六点吃的汉堡和七点吃的汉堡没什么关系，消化系统会把他们**分批次计算**。

**吃一次汉堡很容易理解**，比如在六点的时候，我们吃了 10 个汉堡，那么在七点，肚子里还剩 9个汉堡，在八点，我们的肚子里就还剩 8 个汉堡。

那么吃两次呢？我们没吃饱，在七点钟的时候又吃了 3 个汉堡。那么在八点钟的时候：
**第一次吃的汉堡**（6： 00 吃的，现在8： 00 ）过了两个小时还剩 $(10 \times 0.8=8)$ 个汉堡

**第二次吃的汉堡**（7：00吃的，现在8：00）过了一个小时还剩 $(3 \times 0.9=2.7)$ 个汉堡
所以在八点钟时候，我们的肚子里还剩 $(8+2.7=10.7)$ 个汉堡，即 $y(1)=9, ~ y(2)$ $=10.7$ 。

那么吃三次，六个小时后我们肚子里的汉堡还剩多少呢？
那么吃四次，四个小时后我们肚子里的汉堡还剩多少呢？
那么吃无数次， n 小时后我们肚子里的汉堡还剩多少呢？

按照上面的规律，可以得到如下一个函数

$$
g(n)=f(n) * h(n)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} f(k) \cdot h(n-k)
$$
其中，
$g(n)$ 一输出，某时刻肚子里的汉堡留存。
$h(n)$ 一输入，每时刻吃的汉堡。
$f(n)$ 一系统，消化系数。

现在看懂这个公式了吗？这就是卷积。

**卷**是因为第一批吃的汉堡一定是最先开始被消化的。**积**是因为他们是相乘的。

### 连续型
假设我们在每个时刻吃不定量的汉堡，消化系统在以一个稳定的速率消化汉堡，最终的输出就是我们吃过的每个批次的汉堡在某个时刻肚子里的总存量。这其实是一个很简单的小学问题，经典的排水问题——水池在加水的同时放水，问某个时刻水池里还有多少水。只不过这个小学案例的放水加水是恒定的速度，卷积有加权系数罢了，如果我们每个时刻吃3个汉堡，消化1个汉堡，那么这就是妥妥的水池问题了。

顺带一提，这里的吃汉堡是离散输入，连续输入是一样的，你可以理解为持续不断的吃汉堡（准确的说，每批次之间有很小的时间间隔Δt，Δt趋向0）。或者干脆考虑水池进水出水问题，水龙头和出水口一直开着，每时刻的进水速度在变，出水有稳定的系数函数——这是非常标准的连续输入输出。上面公式就变成

$$
g(x)=f(x) * h(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(\tau) \cdot h(t-\tau) d t
$$

### 为什么信号处理经常使用卷积
信号可以理解为波，想象一下河边里的水波，波浪一波接着一波冲击海岸，选定一个质点，当一个波浪作用在质点上还未结束，下一个波浪又开始到来，因此在信号处理里，大量使用卷积。 详见[傅里叶变换8-卷积](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=914)

## 卷积的概念与运算性质
定义 设函数 $f_1(t)$ 与 $f_2(t)$ 在区间 $(-\infty,+\infty)$ 上有定义，如果广义积分 $\int_{-\infty}^{+\infty} f_1(\tau) f_2(t-\tau) d \tau$ 对任何实数 $t$ 都收敛，则它在 $(-\infty,+\infty)$ 上定义了一个自变量为 $t$ 的函数，称此函数为 $f_1(t)$ 与 $f_2(t)$ 的卷积，记为 $f_1(t) * f_2(t)$ ，即

$$
f_1(t) * f_2(t)=\int_{-\infty}^{+\infty} f_1(\tau) f_2(t-\tau) d \tau
$$

二，卷积与卷积定理
1．卷积的概念与运算性质
性质（1）交换律

$$
f_1(t) * f_2(t)=f_2(t) * f_1(t)
$$

（2）结合律

$$
f_1(t) *\left[f_2(t) * f_3(t)\right]=\left[f_1(t) * f_2(t)\right] * f_3(t)
$$

（3）分配律

$$
f_1(t) *\left[f_2(t)+f_3(t)\right]=f_1(t) * f_2(t)+f_1(t) * f_3(t)
$$

`例`设 $f(t)= e ^{-\alpha t} u(t), g(t)= e ^{-\beta t} u (t)$ ，其中，$\alpha>0, \beta>0$ ，且 $\alpha \neq \beta$ ，求函数 $f(t)$ 和 $g(t)$ 的卷积。

解 $f(t) * g(t)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(\tau) g(t-\tau) d \tau$ ，
（1）当 $t \leq 0$ 时，$f(t) * g(t)=0$ ．
（2）当 $t>0$ 时，

$$
\begin{aligned}
f(t) * g(t) & =\int_0^t f(\tau) g(t-\tau) d \tau \\
& =\int_0^t e^{-\alpha \tau} e ^{-\beta(t-\tau)} d \tau \\
& =\frac{ e ^{-\beta \tau}- e ^{-\alpha t}}{\alpha-\beta}
\end{aligned}
$$
 ![图片](/uploads/2025-01/a21552.jpg)
 
  从上面的例子可以看出 
（1）在计算一些分段函数的卷积时，如何确定积分限是解题的关键。如果采用图形方式则比较容易确定积分限。
（2）卷积由反褶，平移，相乘，积分四个部分组成。即首先将函数 $g(\tau)$ 反褶并平移到 $t$ ，得到 $g(t-\tau)=g(-(\tau-t))$ ，再与函数 $f(t)$ 相乘后求积分，得到卷积 $f(t) * g(t)$ ．因此，卷积又称为褶积或卷乘。
－另外，利用卷积满足交换律这一性质，适当地选择两个函数的卷积次序，还可以使积分限的确定更直观一些。

`例`求函数 $f(t)$ 和 $g(t)$ 的卷积，其中，

$$
f(t)=t^2 u(t), \quad g(t)=\left\{\begin{array}{cc}
2, & 1 \leq t \leq 2, \\
0, & \text { 其它. }
\end{array}\right.
$$

解 由卷积的定义及性质有

$$
\begin{aligned}
f(t) * g(t) & =\int_{-\infty}^{+\infty} f(\tau) g(t-\tau) d \tau \\
& =\int_{-\infty}^{+\infty} g(\tau) f(t-\tau) d \tau
\end{aligned}
$$

![图片](/uploads/2025-01/737ac9.jpg)
 
（1）当 $t \leq 1$ 时，

$$
f(t) * g(t)=0
$$

由卷积的定义及性质有

$$
\begin{aligned}
f(t) * g(t) & =\int_{-\infty}^{+\infty} f(\tau) g(t-\tau) d \tau \\
& =\int_{-\infty}^{+\infty} g(\tau) f(t-\tau) d \tau
\end{aligned}
$$

（2）当 $1<t<2$ 时，

$$
\begin{aligned}
f(t) * g(t) & =\int_1^t 2 \cdot(t-\tau)^2 d \tau \\
& =\frac{2}{3}(t-1)^3
\end{aligned}
$$
 ![图片](/uploads/2025-01/d8bfe2.jpg)
 
 
$$
\begin{aligned}
&\text { (3) 当 } t \geq 2 \text { 时, }\\
&\begin{aligned}
f(t) * g(t) & =\int_1^2 2 \cdot(t-\tau)^2 d \tau \\
& =\frac{2}{3}\left[(t-1)^3-(t-2)^3\right]
\end{aligned}
\end{aligned}
$$
 ![图片](/uploads/2025-01/07851a.jpg)

综上
$$
f(t) * g(t)= \begin{cases}0, & t \leq 1, \\ 2(t-1)^3 / 3, & 1<t<2, \\ 2\left[(t-1)^3-(t-2)^3\right] / 3, & t \geq 2 .\end{cases}
$$

## 卷积定理
定理 设 $F \left[f_1(t)\right]=F_1(\omega), F \left[f_2(t)\right]=F_2(\omega)$ ，则有

$$
\begin{aligned}
& F \left[f_1(t) * f_2(t)\right]=F_1(\omega) \cdot F_2(\omega) ...(A) \\
& F ^{-1}\left[F_1(\omega) * F_2(\omega)\right]=2 \pi f_1(t) \cdot f_2(t) . ...(B)
\end{aligned}
$$

证明 $H \left[f_1(t) * f_2(t)\right]=\int_{-\infty}^{+\infty} f_1(t) * f_2(t) e ^{-j \omega t} d t$

$$
\begin{aligned}
& =\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\int_{-\infty}^{+\infty} f_1(\tau) f_2(t-\tau) d \tau\right] e^{-j \omega t} d t \\
& =\int_{-\infty}^{+\infty} f_1(\tau) e^{-j \omega \tau}\left[\underline{\left.\int_{-\infty}^{+\infty} f_2(t-\tau) e^{-j \omega(t-\tau)} d t\right] d \tau=F_1(\omega) \cdot F_2(\omega)}\right.
\end{aligned}
$$

同理可证 $(B)$ 式。

3．卷积的物理意义
背景（1）如何从收到的实际信号中分离出＂想要＂的某个频带内的信号。
（2）如何从收到的实际信号中消除在传输过程中加入的高频干扰噪声。

问题 设有某信号为 $f(t)$ ，试将该信号的低频成份完全保留，而高频成份完全去掉，即对其进行理想低通滤波。

方法 方法一 在频率域中实现
（1）求出信号 $f(t)$ 频谱函数 $F(\omega)$ ．
（2）令 $H(\omega)= \begin{cases}1, & |\omega| \leq a, \\ 0, & |\omega|>a .\end{cases}$
（理想低通滤波器）
（3）将 $F (\omega)$ 与 $H (\omega)$ 相乘，得到 $\widetilde{ F }(\omega)= F (\omega) \cdot H (\omega)$ ．
（4）对 $\widetilde{F}(\omega)$ 作 Fourier 逆变换，得到 $\widetilde{f}(t)= F ^{-1}[\widetilde{F}(\omega)]$ ．
－显然，新的信号 $\widetilde{f}(t)$ 中完全保留了原信号 $f(t)$ 中频率低于 $a$ 的频率成份，而去掉了频率高于 $a$ 的频率成份。

方法 方法二 在时间域中实现
（1）令 $H(\omega)=\left\{\begin{array}{ll}1, & |\omega| \leq a, \\ 0, & |\omega|>a .\end{array}\right.$（理想低通滤波器）
（2）求 $h(t)= F ^{-1}[H(\omega)]=\frac{\sin a t}{\pi t}$ ．（理想低通滤波因子）
（3）计算卷积 $\widetilde{f}(t)=f(t) * h(t)$ ．
－由卷积定理，信号 $\widetilde{f}(t)$ 与方法一中信号 $\widetilde{f}(t)$ 是一样的，这正是卷积的意义和价值。

注 $H(\omega)$ 与 $h(t)$ 分别又称为频率响应函数与冲激响应函数。

`例` 求函数 $h(t)$ 和 $\delta(t)$ 的卷积。
解 方法一 $h(t) * \delta(t)=\int_{-\infty}^{+\infty} h(\tau) \delta(t-\tau) d \tau=h(t)$ ．
方法二 已知 $\delta(t)$ 的 Fourier 变换为 $D(\omega)= F [\delta(t)]=1$ ，
令 $H (\omega)= F [ h (t)]$ ，根据卷积定理有

$$
\begin{aligned}
h(t) * \delta(t) & = F ^{-1}[H(\omega) \cdot D(\omega)] \\
& = F ^{-1}[H(\omega)]=h(t) .
\end{aligned}
$$

注 $(1)$ 一般地，有 $h(t) * \delta\left(t-t_0\right)=h\left(t-t_0\right)$ ．
（2）本例的结论被用来获取或者检测系统的冲激响应函数。

`例`设函数 $f(t)=\frac{\sin a t}{\pi t}, g(t)=\frac{\sin b t}{\pi t}$ ，其中，$a>0, b>0$ ，求函数 $f(t)$ 和 $g(t)$ 的卷积。

解 函数 $f(t)$ 和 $g(t)$ 均为抽样信号，其频谱分别为

$$
F(\omega)=\left\{\begin{array}{ll}
1, & |\omega| \leq a, \\
0, & |\omega|>a,
\end{array} \quad G(\omega)= \begin{cases}1, & |\omega| \leq b \\
0, & |\omega|>b\end{cases}\right.
$$

令 $c=\min (a, b)$ ，则 $F(\omega) \cdot G(\omega)= \begin{cases}1, & |\omega| \leq c, \\ 0, & |\omega|>c .\end{cases}$
根据卷积定理有

$$
f_1(t) * f_2(t)= F ^{-1}\left[F_1(\omega) \cdot F_2(\omega)\right]=\frac{\sin c t}{\pi t}
$$

`例`求 $f(t)= e ^{-a t} u(t) \cos b t(a>0)$ 的 Fourier 变换。
解 方法一 利用卷积定理求解
令 $g(t)= e ^{-a t} u(t), h(t)=\cos b t$,
则 $G(\omega)= F [g(t)]=\frac{1}{a+j \omega}$ ，

$$
\begin{aligned}
H(\omega)= & H [h(t)]=\pi[\delta(\omega+b)+\delta(\omega-b)] \\
F [f(t)] & = F [g(t) \cdot h(t)]=\frac{1}{2 \pi} G(\omega) * H(\omega) \\
& =\frac{\pi}{2 \pi}[G(\omega) * \delta(\omega+b)+G(\omega) * \delta(\omega-b)] \\
& =\frac{1}{2}\left[\frac{1}{a+j(\omega+b)}+\frac{1}{a+j(\omega-b)}\right]=\frac{a+j \omega}{(a+j \omega)^2+b^2} .
\end{aligned}
$$

方法二 利用频移性质求解
令 $g(t)= e ^{-a t} u(t)$ ，则 $G(\omega)= F [g(t)]=\frac{1}{a+j \omega}$,
又 $f(t)=\frac{1}{2}\left[g(t) e ^{-j b t}+g(t) e ^{j b t}\right]$,
根据频移性质有

$$
\begin{aligned}
H [f(t)] & =\frac{1}{2}[G(\omega+b)+G(\omega-b)] \\
& =\frac{1}{2}\left[\frac{1}{a+j(\omega+b)}+\frac{1}{a+j(\omega-b)}\right]=\frac{a+j \omega}{(a+j \omega)^2+b^2} .
\end{aligned}
$$

`例` 求下列函数的卷积

$$
f(t)=t^2 u(t), \quad g(t)=\left\{\begin{array}{ll}
2, & 1 \leqslant t \leqslant 2 \\
0, & \text { 其他 }
\end{array} .\right.
$$
解 如图 所示，由卷积的定义及性质有

$$
f(t) * g(t)=\int_{-\infty}^{-\infty} f(\tau) g(t-\tau) d \tau=\int_{-\infty}^{+\infty} g(\tau) f(t-\tau) d \tau
$$

![图片](/uploads/2025-08/15b8f1.jpg)

当 $t \leqslant 1$ 时

$$
f(t) * g(t)=0
$$

当 $1<t<2$ 时

$$
f(t) * g(t)=\int_1^t 2(t-\tau)^2 d \tau=\frac{2}{3}(t-1)^3
$$

当 $t \geqslant 2$ 时

综合可得

$$
\begin{aligned}
& f(t) * g(t)=\int_1^2 2(t-\tau)^2 d \tau=\frac{2}{3}\left[(t-1)^3-(t-2)^3\right] \\
& f(t) * g(t)= \begin{cases}0, & t \leqslant 1 \\
\frac{2}{3}(t-1)^3, & 1<t<2 \\
\frac{2}{3}\left[(t-1)^3-(t-2)^3\right], & t \geqslant 2\end{cases}
\end{aligned}
$$

![图片](/uploads/2025-07/1e41bb.jpg)

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