最后更新: 2025-08-01 07:43 查看: 34 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

傅里叶背景9:傅里叶变换的性质与常见函数

网上有很多科普傅里叶变换的文章，各种图形很炫，对外行人十分友好。可要想真正掌握和深刻理解傅里叶变换，只看科普文章是远远不够的，撸公式必不可少。尽管在[傅里叶变换本质](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=3166)这篇文章中已经推导出了傅里叶变换的公式，但是对其性质、以及常见函数的傅里叶变换还缺乏介绍。

做题是检验知识掌握程度的有力工具，下面先给出一道题：

> 一个实连续时间函数 $f(t)$ 的傅里叶变换的幅值满足关系： $\ln |F(j \omega)|=-|\omega|$ ，若已知 $f(t)$ 为时间的偶函数，求 $f(t)$ ．

文末会利用本文所介绍的知识，解答出本题．

本文仅介绍傅里叶变换的线性性、奇偶性、对称性这 3 种性质，即可解决所提问题。

## 线性性
若 $f_1(t) \leftrightarrow F_1(j \omega), \quad f_2(t) \leftrightarrow F_2(j \omega)$,
则 $a f_1(t)+b f_2(t) \leftrightarrow a F_1(j \omega)+b F_2(j \omega)$
证明直接代公式很简单，略。

## 奇偶性
把傅里叶变换 $F(j \omega)$ 和幅度谱 $|F(j \omega)|$ 、相位谱 $\varphi(\omega)$ 、实部 $R(\omega)$ 、虚部 $X(\omega)$ 写在一个等式中：

$$
F(j \omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j \omega t} d t=|F(j \omega)| e^{j \varphi(\omega)}=R(\omega)+j X(\omega)
$$

显然：

$$
\left\{\begin{array}{l}
|F(j \omega)|=\sqrt{R^2(\omega)+X^2(\omega)} \\
\varphi(\omega)=\arctan \left[\frac{X(\omega)}{R(\omega)}\right]
\end{array}\right.
$$

若 $f(t)$ 为实函数（非实函数的情况暂不讨论），则：

$$
F(j \omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j \omega t} d t=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cos (\omega t) d t-j \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \sin (\omega t) d t
$$

那么有：

$$
\left\{\begin{array}{l}
R(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cos (\omega t) d t \\
X(\omega)=-\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \sin (\omega t) d t
\end{array}\right.
$$

即：若 $f(t)$ 为实函数，频谱函数实部为偶函数，虚部为奇函数
进而得到：若 $f(t)$ 为实函数，频谱函数幅度为偶函数，相位为奇函数
若 $f(t)$ 为实偶函数，则：虚部 $X(\omega)=-\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \sin (\omega t) d t$ 恒为零，此时：频谱函数为实函数

结合上面的结论，有：若 $f(t)$ 为实偶函数，频谱函数为实偶函数
若 $f(t)$ 为实奇函数，则：实部 $R(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cos (\omega t) d t$ 恒为零，此时：频谱函数为虚函数

结合上面的结论，有：若 $f(t)$ 为实奇函数，频谱函数为虚奇函数

## 对称性
若 $f(t) \leftrightarrow F(j \omega)$ ，
则 $F(j t) \leftrightarrow 2 \pi f(-\omega)$
证明：

$$
f(t)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(j \omega) e^{j \omega t} d \omega
$$

令 $t \rightarrow \omega, \omega \rightarrow t$ ，可得：

$$
f(\omega)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(j t) e^{j \omega t} d t
$$

令 $\omega \rightarrow-\omega$ ，可得：

$$
\begin{gathered}
f(-\omega)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(j t) e^{-j \omega t} d t \\
\therefore F(j t) \leftrightarrow 2 \pi f(-\omega)
\end{gathered}
$$

## 1.单边指数

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