最后更新: 2025-08-01 07:43 查看: 131 次纠错评论(0) 课件开VIP

傅里叶背景9:傅里叶变换的性质与常见函数

网上有很多科普傅里叶变换的文章，各种图形很炫，对外行人十分友好。可要想真正掌握和深刻理解傅里叶变换，只看科普文章是远远不够的，撸公式必不可少。尽管在[傅里叶变换本质](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=3166)这篇文章中已经推导出了傅里叶变换的公式，但是对其性质、以及常见函数的傅里叶变换还缺乏介绍。

做题是检验知识掌握程度的有力工具，下面先给出一道题：

> 一个实连续时间函数 $f(t)$ 的傅里叶变换的幅值满足关系： $\ln |F(j \omega)|=-|\omega|$ ，若已知 $f(t)$ 为时间的偶函数，求 $f(t)$ ．

文末会利用本文所介绍的知识，解答出本题．

本文仅介绍傅里叶变换的线性性、奇偶性、对称性这 3 种性质，即可解决所提问题。

## 线性性
若 $f_1(t) \leftrightarrow F_1(j \omega), \quad f_2(t) \leftrightarrow F_2(j \omega)$,
则 $a f_1(t)+b f_2(t) \leftrightarrow a F_1(j \omega)+b F_2(j \omega)$
证明直接代公式很简单，略。

## 奇偶性
把傅里叶变换 $F(j \omega)$ 和幅度谱 $|F(j \omega)|$ 、相位谱 $\varphi(\omega)$ 、实部 $R(\omega)$ 、虚部 $X(\omega)$ 写在一个等式中：

$$
F(j \omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j \omega t} d t=|F(j \omega)| e^{j \varphi(\omega)}=R(\omega)+j X(\omega)
$$

显然：

$$
\left\{\begin{array}{l}
|F(j \omega)|=\sqrt{R^2(\omega)+X^2(\omega)} \\
\varphi(\omega)=\arctan \left[\frac{X(\omega)}{R(\omega)}\right]
\end{array}\right.
$$

若 $f(t)$ 为实函数（非实函数的情况暂不讨论），则：

$$
F(j \omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j \omega t} d t=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cos (\omega t) d t-j \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \sin (\omega t) d t
$$

那么有：

$$
\left\{\begin{array}{l}
R(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cos (\omega t) d t \\
X(\omega)=-\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \sin (\omega t) d t
\end{array}\right.
$$

即：若 $f(t)$ 为实函数，频谱函数实部为偶函数，虚部为奇函数
进而得到：若 $f(t)$ 为实函数，频谱函数幅度为偶函数，相位为奇函数
若 $f(t)$ 为实偶函数，则：虚部 $X(\omega)=-\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \sin (\omega t) d t$ 恒为零，此时：频谱函数为实函数

结合上面的结论，有：若 $f(t)$ 为实偶函数，频谱函数为实偶函数
若 $f(t)$ 为实奇函数，则：实部 $R(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cos (\omega t) d t$ 恒为零，此时：频谱函数为虚函数

结合上面的结论，有：若 $f(t)$ 为实奇函数，频谱函数为虚奇函数

## 对称性
若 $f(t) \leftrightarrow F(j \omega)$ ，
则 $F(j t) \leftrightarrow 2 \pi f(-\omega)$
证明：

$$
f(t)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(j \omega) e^{j \omega t} d \omega
$$

令 $t \rightarrow \omega, \omega \rightarrow t$ ，可得：

$$
f(\omega)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(j t) e^{j \omega t} d t
$$

令 $\omega \rightarrow-\omega$ ，可得：

$$
\begin{gathered}
f(-\omega)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(j t) e^{-j \omega t} d t \\
\therefore F(j t) \leftrightarrow 2 \pi f(-\omega)
\end{gathered}
$$

## 1.单边指数函数
单边指数函数表达式及图形如下图所示：

$$
\boxed{
f(t)=e^{-\alpha t} \varepsilon(t)=\left\{\begin{array}{ll}
e^{-\alpha t} & t>0 \\
0 & t<0
\end{array} \quad \alpha>0\right.
}
$$

![图片](/uploads/2025-08/6c40b0.jpg)

直接代入公式求其傅里叶变换：
 $$
\begin{aligned}
F(j \omega) & =\int_0^{\infty} e^{-\alpha t} e^{-j \omega t} d t \\
& =-\left.\frac{1}{\alpha+j \omega} e^{-(\alpha+j \omega) t}\right|_0 ^{\infty} \\
& =-\frac{1}{\alpha+j \omega}\left[e^{-(\alpha+j \omega) \cdot \infty}-1\right] \\
& =\frac{1}{\alpha+j \omega}
\end{aligned}
$$

上式中，$e^{-(\alpha+j \omega) \cdot \infty}=e^{-\alpha \cdot \infty} \cdot e^{-j \omega \cdot \infty}=e^{-\alpha \cdot \infty} \cdot[\cos (j \omega \infty)-\sin (j \omega \infty)]$ 为无穷小量与有界变量的乘积，结果仍为无穷小量，所以得到上式的结果。

对上式进一步转换有：

$$
\begin{aligned}
F(j \omega) & =\frac{1}{\alpha+j \omega} \\
& =\frac{1}{\alpha+j \omega} \cdot \frac{\alpha-j \omega}{\alpha-j \omega} \\
& =\frac{\alpha-j \omega}{\alpha^2+\omega^2}
\end{aligned}
$$

进而求得幅度谱和相位谱如下图：

![图片](/uploads/2025-08/e3171c.jpg)
 
 
 
##  2.双边指数函数
双边指数函数表达式及图形如下图所示：

$$
f(t)=e^{-\alpha|t|}=\left\{\begin{array}{cc}
e^{-\alpha t} & t>0 \\
e^{\alpha t} & t<0
\end{array} \quad \alpha>0\right.
$$

![图片](/uploads/2025-08/95621d.jpg)
 
 
 求频谱，与上面的求法一致：

$$
\begin{aligned}
F(j \omega) & =\int_{-\infty}^0 e^{\alpha t} e^{-j \omega t} d t+\int_0^{\infty} e^{-\alpha t} e^{-j \omega t} d t \\
& =\frac{1}{\alpha-j \omega}+\frac{1}{\alpha+j \omega} \\
& =\frac{2 \alpha}{\alpha^2+\omega^2}
\end{aligned}
$$

结果肯定符合上面介绍的奇偶性，即 $f(t)$ 为实偶函数，频谱函数也为实偶函数。因为频谱图的值始终大于 0 ，所以频谱图和幅度谱是一致的，而相位谱与横坐标轴重合（所有频率处的相位值都为 0 ）。频谱图如下图所示：

![图片](/uploads/2025-08/3fbf0f.jpg){WIDTH=300PX}
 
 
 ## 3. 门函数
门函数表达式及图形如下图所示：

$$
g_\tau(t)= \begin{cases}1, & |t| \leq \frac{\tau}{2} \\ 0, & |t|>\frac{\tau}{2}\end{cases}
$$
  ![图片](/uploads/2025-08/2d0822.jpg)
  
  
 代入公式计算，得到结果：

$$
\begin{aligned}
F(j \omega) & =\int_{-\frac{\tau}{2}}^{\frac{\tau}{2}} e^{-j \omega t} d t \\
& =\frac{e^{-j \omega \frac{\tau}{2}}-e^{j \omega \frac{\tau}{2}}}{-j \omega} \\
& =\frac{2 \sin \left(\frac{\omega \tau}{2}\right)}{\omega} \\
& =\tau \operatorname{Sa}\left(\frac{\omega \tau}{2}\right)
\end{aligned}
$$

其频谱图、幅度谱、相位谱（笔者认为下图相位谱画成）周期脉冲函数更好，即函数取值仅为 0或 $\pi$ ，图片来源于网络）如下：

![图片](/uploads/2025-08/e0d39b.jpg)

## 4.冲激函数及冲激函数的导数
冲激函数回忆
冲激函数 $\delta(t)$ 的广义函数定义为：

$$
\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) \varphi(t) d t=\varphi(0)
$$

可推导出冲击函数的导数 $\delta^{\prime}(t)$（冲击偶）的定义为：

$$
\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta^{\prime}(t) d t=-f^{\prime}(0)
$$

冲击函数的 $n$ 阶导数 $\delta^{(n)}(t)$ ：

$$
\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta^{(n)}(t) d t=(-1)^n f^{(n)}(0)
$$
傅里叶变换推导

由以上性质，推出：

$$
\begin{gathered}
\delta(t) \longleftrightarrow F(j \omega)=\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) e^{-j \omega t} d t=1 \\
\delta^{\prime}(t) \longleftrightarrow F(j \omega)=\int_{-\infty}^{\infty} \delta^{\prime}(t) e^{-j \omega t} d t=\left.(-1)^1 \cdot\left(e^{-j \omega t}\right)^{\prime}\right|_{t=0}=j \omega \\
\delta^{(n)}(t) \longleftrightarrow F(j \omega)=\int_{-\infty}^{\infty} \delta^{(n)}(t) e^{-j \omega t} d t=\left.(-1)^{(n)} \cdot\left(e^{-j \omega t}\right)^{(n)}\right|_{t=0}=(j \omega)^n
\end{gathered}
$$

这更是验证奇偶性的绝佳案例

## 5.常数函数 1 的傅里叶变换
因为：

$$
\delta(t) \longleftrightarrow 1
$$

根据对称性：

$$
1 \leftrightarrow 2 \pi \delta(-\omega)=2 \pi \delta(\omega)
$$

## 6.符号函数
符号函数表达式及图形如下：

![图片](/uploads/2025-08/049ffb.jpg)

直接求符号函数的傅里叶变换不太好求，可以通过下面的方法来求，先构造函数（上图红色曲线）：

$$
f_\alpha(t)=e^{-\alpha|t|}=\left\{\begin{array}{ll}
-e^{\alpha t}, & t<0 \\
e^{-\alpha t}, & t>0
\end{array} \quad \alpha>0\right.
$$

当 $\alpha \rightarrow 0$ 时，有：

$$
\operatorname{sgn}(t)=\lim _{\alpha \rightarrow 0} f_\alpha(t)
$$

先对 $f_\alpha(t)$ 进行傅里叶变换：

$$
\begin{gathered}
F_\alpha(j \omega)=\int_{-\infty}^0-e^{\alpha t} e^{-j \omega t} d t+\int_0^{\infty} e^{-\alpha t} e^{-j \omega t} d t=\frac{1}{\alpha+j \omega}-\frac{1}{\alpha-j \omega}= \\
-\frac{j 2 \omega}{\alpha^2+\omega^2}
\end{gathered}
$$

则符号函数的傅里叶变换可通过求极限的方式得到：

$$
\operatorname{sgn}(t) \longleftrightarrow \lim _{\alpha \rightarrow 0} F_\alpha(j \omega)=\lim _{\alpha \rightarrow 0}\left(-\frac{j 2 \omega}{\alpha^2+\omega^2}\right)=\frac{2}{j \omega}
$$

## 7 阶跃函数 
根据线性性质直接求得：

$$
\varepsilon(t) \leftrightarrow \pi \delta(\omega)+\frac{1}{j \omega}
$$

求解过程：

![图片](/uploads/2025-07/6166db.jpg)

**问题解答**

问题
一个实连续时间函数 $f(t)$ 的傅里叶变换的幅值满足关系： $\ln |F(j \omega)|=-|\omega|$ ，若已知 $f(t)$ 为时间的偶函数，求 $f(t)$ ．

解
step1：因为 $\ln |F(j \omega)|=-|\omega|$ ，所以有：

$$
|F(j \omega)|=e^{-|\omega|}
$$

step2：因为 $f(t)$ 为实偶函数，所以 $F(j \omega)$ 为实偶函数，所以：

$$
\begin{gathered}
|F(j \omega)|=|R(\omega)|=e^{-|\omega|} \\
X(\omega)=0
\end{gathered}
$$

step3：开模，得：

$$
F(j \omega)= \pm e^{-|\omega|}
$$

本文已求得的双边指数函数的频谱为 $(\alpha>0)$ ：

$$
e^{-\alpha|t|} \longleftrightarrow \frac{2 \alpha}{\alpha^2+\omega^2}
$$

令 $\alpha=1$ ，得：

$$
e^{-|t|} \longleftrightarrow \frac{2}{\omega^2+1}
$$

根据对称性，有

$$
\frac{2}{t^2+1} \longleftrightarrow 2 \pi \cdot e^{-|\omega|}
$$

所以有：

$$
\frac{1}{\pi\left(t^2+1\right)} \longleftrightarrow e^{-|\omega|}
$$

step4：将上式结果和第step3对比，解得：

$f(t)= \pm \frac{1}{\pi\left(t^2+1\right)}$

https://zhuanlan.zhihu.com/p/571071557

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：卷积与卷积定理

下一篇：傅里叶变换的微分性质

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)