最后更新: 2025-08-01 07:52 查看: 66 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

傅里叶变换10-频移特性与解调制与解调

记得当时在学习齿轮的故障诊断时，文献中提及转频被啮合频率调制；在学习轴承的故障诊断时，常用的找到故障频率的方法是共振解调。什么是调制？怎么解调？调制与解调的原理到底是什么？对于这个问题，网上搜不到多少有用信息，很多回答者自己也是不求甚解，在进行系统地学习之后，我决定从原理上、从新手入门的角度来解释一下通信中的调制与解调。

## 1．预备知识
若要完全了解调制与解调的来龙去脉，必须要先知道傅里叶变换，傅里叶变换对于信号处理的重要性来说，就像是易筋经对于一个人练习武学的重要性，学习傅里叶变换的推导过程就像是在练内功，内功不深厚，去练习更高级的招式，最后容易走火入魔。如果不知道傅里叶变换的推导过程的话，建议在学习本文之前先掌握以下 4 篇（按顺序慢慢看，一定看得懂）：
- 1．不用傅里叶变换，提取某一频率的幅值和相位
- 2．信号的正交分解和广义傅里叶级数
- 3．傅里叶变换那点事
- 4．真正掌握傅里叶变换

在前面文章中，推导出了傅里叶变换的公式为：

$$
F(j \omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j \omega t} d t
$$

以及傅里叶逆变换的公式为：

$$
f(t)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(j \omega) e^{j \omega t} d \omega
$$

我们将 $f(t)$ 与 $F(j \omega)$ 称为**一对傅里叶变换**，可以用符号表示为：

$$
f(t) \longleftrightarrow F(j \omega)
$$

## 傅里叶变换的频移特性  
傅里叶变换的频移特性是通信理论中信号调制与解调的理论基础，该性质描述如下：
若 $f(t) \longleftrightarrow F(j \omega)$ ，则 $e^{\mp j \omega_0 t} f(t) \leftrightarrow F\left[j\left(\omega \pm \omega_0\right)\right], ~ \omega_0$ 为实常数．
其证明如下：

$$
\begin{aligned}
& F\left[e^{\mp j \omega_0 t} f(t)\right] \\
= & \int_{-\infty}^{\infty} e^{\mp j \omega_0 t} f(t) e^{-j \omega t} d t \\
= & \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\left(\omega \pm \omega_0\r

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