最后更新: 2026-04-09 13:55 查看: 233 次纠错评论(0) 课件开VIP

理解：为什么一个函数乘以e^jwt做旋转，然后积分，就达到分离频率的效果

## 为什么乘以 $\mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega t}$ 积分就达到频率分离效果？

傅里叶变化公式是：

$$
\boxed{
F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega t} \mathrm{~d} t ...(7.1.14)
}
$$

其实，直接乘$e^{jwt}$并不能提取频率，核心是积分。

考虑由“喇叭、笛子、大鼓”组成的一段优美的音乐，

![图片](/uploads/2026-04/fc60b9.jpg){width=400px}
 
 从时间的角度看，你是在$t$连续的时间域上，听到的是这三种乐器合起来的优美音乐，其函数曲线如下图：
 
 ![图片](/uploads/2026-04/d62709.jpg){width=300px}
 
 但是，如果我们对时间进行采样，比如每隔1s采样一次，在采样的那一瞬间，我们看到的其实就是 “喇叭、笛子、打鼓” 这三个的一个组合。
 
  ![图片](/uploads/2026-04/06003d.jpg){width=300px}

**请注意坐标系的标注，一个是$t-f(t)$，一个是$w-F(w)$**

>现在我们重新审视一下积分的定义：我们要抛弃高等数学里说的积分就是求面积的思想。积分是什么？
假设计算$y=x^2$ 在$[0,1]$的积分，我把区间分成10分，记$0.1,0.2,0.3...0.9$，在每一份里按照映射得到 $0.1^2,0.2^2,0.3^3...$ 然后把这些映射求和。这就是积分的本质，详见 [积分的意义](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=326)

这样，对 $\int_0^{+\infty} f(t)  d t$ 的积分可以理解为：我们在 $t=0$ 时刻开始听音乐，一直听下去，这就是音乐的积分。
而上面这个积分，可以换一个视角从频率的角度理解就是

$$
F(s)=\int_0^{+\infty} f(t) \mathrm{e}^{-s t} \mathrm{~d} t
$$

你可以理解为 $ f(t) \mathrm{e}^{-s t}$ 得到了频率（也就是喇叭、笛子、打鼓），然后对时间无限采样，然后累加得到了音乐。

下图展示了时域图和频域图的对比图。

![图片](/uploads/2026-04/528d87.jpg)
 
### 为什么 $f(t)$乘以 $e^{-st}$ 就从时域变成了频域

这个问题问到了拉普拉斯变换和傅里叶变换的核心。严格来说，**不是“乘以”这个因子就变成了频域，而是“对时间积分”这个操作配合这个因子，完成了域的转换。**

我们可以分三步来理解这个过程：

### 1. 核心动作是“投影”与“内积”
在数学上，把一个函数从“时域”变到“频域”，本质是在问：**这个信号里，含有多少频率为 $\omega$ 的成分？**

为了提取这个成分，需要将信号 $f(t)$ 与一个**标准的、纯的**频率信号进行**比较**。
这个比较动作就是 **积分**（求内积）：
$$
\int f(t) \cdot \text{【基函数】} \, dt
$$

### 2. $e^{-st}$ 就是那个“标尺”
这里的 **基函数** 就是 $e^{-st}$，其中 $s = \sigma + j\omega$。

- 如果只看 **$e^{-j\omega t}$**（纯虚指数）：它是傅里叶变换的核。它代表一个**等幅震荡、永不衰减**的正弦波。用它乘 $f(t)$ 再积分，就是在问：“f(t) 和这个永恒震荡的波长得像不像？(见下图)”
- 如果是 **$e^{-st}$**（实部+虚部）：它是拉普拉斯变换的核。实部 $e^{-\sigma t}$ 代表**衰减（或增长）的包络**。用它乘 $f(t)$ 再积分，就是在问：“f(t) 里有没有**一边震荡一边衰减**的成分？”

### 3. 为什么积分后就“变域”了？
关键在于积分变量是 **$t$**。

- **积分前**：$f(t) \cdot e^{-st}$ 依然是一个随时间 $t$ 变化的函数。此时你还停留在**时域**。
- **积分后**：$\int_{0}^{\infty} f(t) e^{-st} dt$，变量 $t$ 被积掉了（从0加到无穷大）。
- **结果**：表达式里**只剩下 $s$**（或者 $\omega$），不再包含 $t$。

**结论：**
不是乘法变域，而是**对时间 $t$ 的积分消灭了时间变量，剩下的自变量自然就是频率 $s$ 了。**

### 打个直观的比方：榨汁机
- **$f(t)$** 是一个苹果（时域物体）。
- **$e^{-st}$** 是榨汁机的刀片（特定的频率筛网）。
- **积分 $\int dt$** 是启动开关旋转榨汁的动作。

动作完成后，苹果（$t$）不见了，你得到的是**苹果汁的成分分析表**——比如含糖量（对应某频率的幅度），这就是频域（$s$ 域）。

### 附录：$e^{i \omega t}$ 
$e^{i \omega t}$ 代表按不同频率旋转的单位圆，那是在复平面来看的，想象力丰富的同学可以脑补一下，如果把时间轴也加上，$e^{i \omega t}$ 长什么样子呢？那就是螺旋曲线！如果是 $e^{-i \omega t}$ 表示顺时针旋转
 ![6.gif](/uploads/2025-07/25e5ef.gif)
 
 
  下面我们再来看看 $ e^{s t},(s=\sigma+i \omega) $长什么样子
 ![7.gif](/uploads/2025-07/a0df8f.gif)
 
 螺旋曲线和衰减函数的乘积：一个半径不断减小的螺旋曲线。从不同的平面看，就是不断衰减的正弦或者余弦曲线，从复平面来看，是一个半径不断减小的圆。
 
 
  ![图片](/uploads/2025-07/142059.jpg)
  
  总结一下：傅里叶变换是将函数分解到频率不同、幅值恒为1的单位圆上；拉普拉斯变换是将函数分解到频率幅值都在变化的圆上。因为拉普拉斯变换的基有两个变量，因此更灵活，适用范围更广。
  
 ### 类比理解
 
 我们都看过电影，对于“人”而言，你所看的电影就是在时间t上连续的影片播放。

但是，对应电机机器而言，他只是把每一帧给投放出来，对电影机本身而言，没有什么故事情节而言。

联系：由于人眼视觉暂留效果，如果美妙播放24帧，那么人眼看到的“一帧一帧”的断断续续的动画，就变成了“连续”的影视了。
 
  ![图片](/uploads/2026-04/dh.gif){width=400px}

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