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可测函数的判定

## 可测函数的判定
**定理3.3** 若 $\left\{f_k\right\}$ 是点集 $E$ 上的可测函数列，则

$$
\sup _k f_k(x), \inf _k f_k(x), \lim _{k \rightarrow \infty} f_k(x), \varlimsup_{k \rightarrow \infty} f_k(x)
$$

都是 $E$ 上的可测函数．
证明 因为 $E\left(\sup _k f_k>a\right)=\bigcup_{k=1}^{\infty} E\left(f_k>a\right)$（这是由于 $\sup _k f_k(x)>a$ 时，必有某 $k_0$ 使得 $f_{k_0}(x)>a$ ，从而

$$
E\left(\sup _k f_k>a\right) \subset \bigcup_{k=1}^{\infty} E\left(f_k>a\right)
$$

又根据上确界的定义，反过来的包含关系是明显的），可见 $\sup _k f_k(x)$ 可测．而由 $\inf _k f_k(x)=-\sup _k\left\{-f_k(x)\right\}$ 可知， $\inf _k f_k(x)$ 可测．关于可测函数列的上，下极限的可测性，可由

$$
\lim _{k \rightarrow \infty} f_k(x)=\sup _k\left(\inf _{i \geqslant k} f_i(x)\right) \text { 与 } \varlimsup_{k \rightarrow \infty} f_k(x)=-\lim _{k \rightarrow \infty}\left\{-f_k(x)\right\}
$$

得到．

**推论1** 若 $f, g$ 都是 $E$ 上的可测函数，则$\max (f(x), g(x)) \text { 和 } \min (f(x), g(x))$ 在 $E$ 上可测。

证明 首先定义函数列 $\left\{f_k\right\}$ 如下：

$$
f_1(x)=f(x), f_2(x)=g(x), f_k(x)=-\infty \quad(k \geqslant 3, x \in E),
$$

这时 $\sup _k f_k(x)=\max (f(x), g(x))$ ．由于 $\left\{f_k\right\}$ 是可测函数列，因此 $\max (f(x)$ ， $g(x))$ 可测．而由

$$
\min (f(x), g(x))=-\max (-f(x),-g(x)),
$$
可知 $\min (f(x), g(g))$ 可测．

**推论2** 若 $\lim _{k \rightarrow \infty} f_k(x)$ 对于任意 $x \in E$ 有意义，则 $\lim _{k \rightarrow \infty} f_k(x)$ 为可测函数．

证明 因为这时 $\lim _{k \rightarrow \infty} f_k(x)=\varlimsup_{k \rightarrow \infty} f_k(x)=\lim _{k \rightarrow \infty} f_k(x)$ ．

> **推论2 表明，可测函数类对于函数列的极限运算是封闭的，因而它是一个包含范围很广的函数类，像连续函数类或 Riemann 可积函数类都没有这个性质**．

**定理3.4** 若 $f$ 是点集 $E$ 上的可测函数，$E_0$ 是 $E$ 的可测子集．则 $f$ 在点集 $E_0$上的限制是 $E_0$ 上的可测函数．

证明 $f$ 在点集 $E_0$ 上的限制是指，把 $f$ 的定义域限制为 $E_0$ ，但自变量与因变量取值的对应关系不变．由于 $E_0(f>a)=E_0 \cap E(f>a)$ ，易见结论正确． $\square$

**定理3.5** 设 $\left\{E_k\right\}$ 为可测集列，若函数 $f$ 在每个点集 $E_k$ 上可测，则 $f$ 在点集 $E=\bigcup_{k=1}^{\infty} E_k$ 上可测。

证明 由于 $E$ 总可表示成 $E_k(k=1,2, \cdots)$ 的某些互不相交的可测子集的并集（参见第二章定理 2.2 的证明），而 $f$ 在这些子集上仍然可测，因此不妨直接假设 $\left\{E_k\right\}$ 是互不相交的．再作 $E$ 上的可测函数列 $\left\{f_k\right\}$ 如下：$f_k(x)=f(x) \chi_{\varepsilon_k}(x)\left(\chi_{E_k}\right.$是 $E_k$ 的特征函数）．则 $f(x)=\sum_{k=1}^{\infty} f_k(x) \quad(x \in E)$ ，从而根据前面的定理 3.3 的推论 $2, f(x)=\lim _{m \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^m f_k(x)$ 在 $E=\bigcup_{k=1}^{\infty} E_k$ 上可测．

`例4` 闭区间上的连续函数是可测的．
证明 这是由于连续函数可以用阶梯函数（是可测函数）逼近，因此作为可测函数列的极限是可测的．

具体来说，设函数 $f$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，从而一致连续．对于 $\varepsilon_k=1 / k(k$ $=1,2, \cdots)$ ，存在 $\delta_k>0$ ，使得当 $x, x^{\prime} \in[a, b]$ 且 $\left|x-x^{\prime}\right|<\delta_k$ 时，$\left|f(x)-f\left(x^{\prime}\right)\right|<$ $\varepsilon_k$ ．现在对每个 $k$ 取正整数 $N_k$ 使得 $(b-a) / N_k<\delta_k$ ，并作阶梯函数 $\varphi_k(x)$ 如下：

$$
\varphi_k(x)=f\left(a+(j-1)(b-a) / N_k\right),
$$

（当 $\left.x \in\left[a+(j-1)(b-a) / N_k, a+j(b-a) / N_k\right], j=1,2, \cdots, N_k\right)$

$$
\varphi_k(b)=f(b)
$$

可见 $\left|\varphi_k(x)-f(x)\right|<1 / k$ ，从而由 $\lim _{k \rightarrow \infty} \varphi_k(x)=f(x)(x \in[a, b])$ 以及所有 $\varphi_k$ 可测，知 $f$ 可测．

其实，从第一章（定理1．25）我们已经知道，如果函数在 $E \subset R ^n$ 上连续，则对任意 $a \in R$ ，存在开集 $G_a$ ，使得 $E(f>a)=G_a \cap E$ 。所以只要 $E$ 可测，$E(f>a)$就可测．这就是说，可测集上的连续函数（无论是一元还是多元的）一定可测．但当 $E$ 是闭区间时，上面给出的是一个构造性的证明。

### 可测函数与简单函数的关系
下面的定理说明，一般的可测函数与简单函数的关系，类似于连续函数与阶梯函数之间的关系，这个结果在下一章有十分重要的作用．下面先对非负函数证明它，而对任意可测函数，则可以把它表示成两个非负可测函数之差来证明．为此，对于函数 $f$ ，令

$$
\begin{gathered}
f^{+}(x)=\max (f(x), 0)=\left\{\begin{array}{cc}
f(x), & f(x) \geqslant 0 \text { 时, } \\
0, & f(x)<0 \text { 时, }
\end{array}\right. \\
f^{-}(x)=\max (-f(x), 0)=\left\{\begin{array}{cc}
-f(x), & f(x) \leqslant 0 \\
0, & f(x)>0 \text { 时, }
\end{array}\right. \text { 时, }
\end{gathered}
$$

这两个非负函数分别称为 $f$ 的正部和负部，$f$ 与 $f^{+}, f^{-}$的关系是，

$$
\begin{aligned}
& f(x)=f^{+}(x)-f^{-}(x) \\
& |f(x)|=f^{+}(x)+f^{-}(x)
\end{aligned}
$$

由此可见，$f$ 可测的充分必要条件是，$f^{+}$与 $f^{-}$（与 $f$ 在同一点集上）都可测．$f$ 可测时，$|f|$ 也可测，但反过来就不一定对了．

## 狄利克雷函数是可测的吗？

**狄利克雷函数是可测函数**。

这是一个非常关键的例子，它完美地体现了勒贝格积分理论相对于黎曼积分理论的优越性。下面我来详细解释一下。

### 1. 回忆狄利克雷函数

狄利克雷函数 $D(x) $ 定义为：

$$
D(x) = \begin{cases}
1, & \text{如果 } x \in \mathbb{Q} \text{（x是有理数）} \\
0, & \text{如果 } x \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \text{（x是无理数）}
\end{cases}
$$

它的图像在 [0,1] 区间上是无法画出的，因为有理数和无理数都是稠密的。

### 2. 可测函数的定义（通俗版）

一个函数是可测的，如果对任意实数 $a $，满足 $f(x) > a $ 的那些点 $x $ 所构成的集合，是一个**可测集**。

（注：这个定义有不同的等价形式，比如用 $f(x) \ge a $, $f(x) < a $ 等，但它们都是等价的。）

### 3. 为什么狄利克雷函数是可测的？

我们来检验一下。考虑集合 $E_a = \{ x \in \mathbb{R} \mid D(x) > a \} $。我们需要看 $E_a $ 是否总是可测集。分情况讨论：

*   **情况一：$a \ge 1 $**
    *   函数 $D(x) $ 的值最大是 1。要使 $D(x) > a \ge 1 $，这是不可能的。
    *   所以 $E_a = \emptyset $（空集）。
    *   **空集是可测集**（其测度为0）。

*   **情况二：$0 \le a < 1 $**
    *   函数 $D(x) $ 哪些点的值大于 $a $（比如 a=0.5）？只有那些函数值为 1 的点，也就是**所有的有理数**。
    *   所以 $E_a = \mathbb{Q} $（全体有理数构成的集合）。
    *   **有理数集是可测的吗？** 是的！因为有理数集是一个**可数集**（我们可以把所有的有理数一个一个排列出来，比如用分子分母之和的顺序）。在实变函数中，一个基本而重要的结论是：**任何可数集的勒贝格测度都为 0**。测度为0的集合自然是可测集。

*   **情况三：$a < 0 $**
    *   函数 $D(x) $ 的值是 0 或 1，都大于任意一个负数。
    *   所以 $E_a = \mathbb{R} $（全体实数）。
    *   **实数集当然是可测集**。

**结论**：无论 $a $ 取什么值，集合 $E_a $ 要么是空集、有理数集、要么是实数集。这些集合都是勒贝格可测的。因此，根据定义，狄利克雷函数是一个**可测函数**。

### 重要意义：可测 vs 可积

理解狄利克雷函数的可测性，是理解勒贝格积分核心思想的关键一步。

1.  **黎曼不可积**：在黎曼积分的意义下，狄利克雷函数是**不可积**的典型例子。因为无论区间分得多细，每个小区间里既包含有理数也包含无理数，导致积分和无法趋于一个定值。

2.  **勒贝格可积**：在勒贝格积分的意义下，情况完全不同：
    *   我们已经证明了它是可测函数。
    *   它是一个**简单函数**（只取0和1两个值）。
    *   我们可以定义它的勒贝格积分。直观上，积分就是 “函数值 × 对应集合的测度” 的加权和。
        *   在值为 1 的区域（有理数集）上积分：$1 \times m(\mathbb{Q}) = 1 \times 0 = 0 $
        *   在值为 0 的区域（无理数集）上积分：$0 \times m(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}) = 0 \times 1 = 0 $（因为 [0,1] 区间测度为1，有理数集测度为0，所以无理数集测度为1）
    *   **所以，狄利克雷函数在 [0,1] 区间上的勒贝格积分是 $0 + 0 = 0 $。**

### 总结

| 性质 | 在黎曼积分理论中 | 在勒贝格积分理论中 |
| :--- | :--- | :--- |
| **可测性** | 没有这个概念 | **是可测函数** |
| **可积性** | **不可积** | **是可积的**，且积分值为 0 |

这个例子深刻地说明了勒贝格积分为何更强大：它只关心函数值在不同“级别”的集合上的分布，而不要求函数是连续的或者几乎没有间断点。只要那些“异常”的函数值（比如这里的 1）是出现在一个测度很小的集合（这里有理数集测度为0）上，那么它对积分的结果就几乎没有影响。

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