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可测函数的逼近定理与几乎处处成立

## 可测函数的逼近定理
**定理3.6（可测函数的逼近定理）**
（i）若函数 $f$ 在 $E$ 非负可测，则存在非负简单函数的递增列

$$
\begin{gathered}
\left.\left\{\varphi_k\right\} \text { (即 } 0 \leqslant \varphi_k(x) \leqslant \varphi_{k+1}(x), k=1,2, \cdots\right) \text {, 使得 } \\
\lim _{k \rightarrow \infty} \varphi_k(x)=f(x), \quad x \in E ;
\end{gathered}
$$

（ii）若函数 $f$ 是在 $E$ 上的（变号的）可测函数，则存在简单函数列 $\left\{\varphi_k\right\}$ ，满足 $\left|\varphi_k(x)\right| \leqslant|f(x)|$ ，且使得

$$
\lim _{k \rightarrow \infty} \varphi_k(x)=f(x), \quad x \in E
$$

若 $f$ 还是有界的，则上述收敛是一致的．
证明（i）首先，因为

$$
E(c \leqslant f<d)=E(f \geqslant c) \cap E(f<d)
$$

所以对任意实数 $c, d$ ，点集 $E(c \leqslant f<d)$ 都是可测的．现在来构造收敛于 $f$ 的简单函数递增列 $\left\{\varphi_k\right\}$ ．为此先把 $f$ 的值域分为在 $[0, k)$ 内与在 $[k,+\infty$ ）内 $(k$ 为任意正整数）的两部分，再把 $[0, k)$ 分为 $k 2^k$ 等分．与此相应，$E$ 也就被分成 $k 2^k+1$ 个
子集．令

$$
\begin{gathered}
E_{k, j}=\left\{x \in E \mid j / 2^k \leqslant f(x)<(j+1) / 2^k\right\}=E\left(j / 2^k \leqslant f(x)<(j+1) / 2^k\right), \\
\left(j=0,1,2, \cdots, k 2^k-1\right) \\
E_{k, k 2^k}=\{x \in E \mid k \leqslant f(x)<+\infty\}=E(f \geqslant k)
\end{gathered}
$$

则当 $k$ 固定时，$E_{k, 0}, E_{k, 1}, \cdots, E_{k, k 2}$ 是互不相交的可测集，且 $E=\bigcup_{j=0}^{k 2^k} E_{k, j}$ ．现在定义 $\left\{\varphi_k\right\}$ 如下：$\varphi_k(x)=j / 2^k\left(\right.$ 当 $\left.x \in E_{k, j}, j=0,1,2, \cdots, k 2^k\right), k=1,2, \cdots$ ．显然所有 $\varphi_k$ 是非负的简单函数．

对任意 $k$ ，若 $x \in E$ 使得 $j / 2^k \leqslant f(x)<(j+1) / 2^k\left(1 \leqslant j \leqslant k 2^k-1\right)$ ，则 $\varphi_k(x)=$ $j / 2^k$ ，但这时也有

$$
2 j / 2^{k+1} \leqslant f(x)<(2 j+1) / 2^{k+1} \text { 或 }(2 j+1) / 2^{k+1} \leqslant f(x)<(2 j+2) / 2^{k+1} \text {, }
$$
因此 $\varphi_{k+1}(x)=2 j / 2^{k+1}$ 或 $\varphi_{k+1}(x)=(2 j+1) / 2^{k+1}$ ，从而 $\varphi_k(x) \leqslant \varphi_{k+1}(x)$ ；若 $f(x) \geqslant k$ ，同样的分析可知 $\varphi_k(x) \leqslant \varphi_{k+1}(x)$ ，故 $\left\{\varphi_k\right\}$ 是递增列．再由定义可以看出，若 $x \in E$ 有 $f(x)=+\infty$ ，则对任意 $k, x \in E_{k, 2^k}$ ，从而 $\varphi_k(x)=k \rightarrow \infty=f(x)$ $(k \rightarrow \infty)$ ；否则当 $k$ 充分大时 $x \in E_{k, j}\left(0 \leqslant j \leqslant k 2^k-1\right

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