最后更新: 2025-11-26 09:31 查看: 111 次纠错评论(0) 课件开VIP

可测函数列的收敛

## 可测函数列的收敛
在分析数学中，常用较为简单的函数作逼近，去研究更复杂的函数，因此，经常要涉及函数列收敛的各种意义及其间关系．

在通常意义下，函数列 $\left\{f_k\right\}$ 在点集 $E$ 上收敛于 $f$ 是指，$\left\{f_k(x) \mid\right.$ 在 $E$ 上**处处收敛**（或称**逐点收敛**）于 $f(x)$ ，即对于任意的 $x_0 \in E$ ，数列 $\left\{f_k\left(x_0\right)\right\}$ 收敛到 $f\left(x_0\right)$ ．

函数列 $\left\{f_k\right\}$ 在 $E$ 上**几乎处处收敛**于 $f$是指，存在 $E$ 的零测子集 $E_0$ 使得 $\left\{f_k\right\}$ 在 $E \backslash E_0$ 上处处收敛到 $f$ .

$\left\{f_k\right\}$ 在 $E$ 上一致收敛于 $f$ 是指，$\left\{f_k\right\}$ 在 $E$ 上处处收敛于 $f$ ，并且收敛的快慢是＂一致＂的，即对于任意正数 $\varepsilon$ ，存在与 $E$ 中的点 $x$ 无关的正数 $N$ ，使得只要 $k>N$ ，对任意的 $x \in E$ ，都有 $\left|f_k(x)-f(x)\right|<\varepsilon$ 。这几种收敛都是我们已经熟悉的，其中最强的是一致收敛，其次是逐点收敛，最弱的是几乎处处收敛，即若 $\left\{f_k\right\}$ 在 $E$ 上一致收敛于 $f$ ，则它在 $E$ 上一定逐点收敛于 $f$ ；若 $\left\{f_k\right\}$ 逐点收敛于 $f$ ，则它在 $E$ 上几乎处处收敛于 $f$ ．读者可以自己举例来说明，反过来都是不对的．

在 $E$ 上几乎处处或者处处收敛到 $f$ 的函数列 $\left\{f_k\right\}$ ，一般不能保证它（在同一点集 $E$ 上）一致收敛到 $f$ ．但是在数学分析中我们看到，任意一个幂级数（的部分和序列）在比它的收敛域略小的闭区域上，却一定是一致收敛的．下面的叶戈罗夫（Egorov）定理告诉我们，关于幂级数的这一结论可以推广到很广的函数类与点集上．

## 理解：一致收敛 ➜ 逐点收敛 ➜ 几乎处处收敛
（从左到右，条件越来越弱）

### 直观比喻：士兵排队走向目的地

我们用一个比喻来理解这三种收敛模式。把函数列 $\{f_n\}$ 看作一队士兵，极限函数 $f$ 是目的地。

1.  **一致收敛 - 整齐划一的方阵**
    *   **描述**：存在一个时刻 $N$，在这个时刻之后，**全体**士兵都同时进入目的地的一个极小范围内，并且**保持**这种整齐的队形。
    *   **特点**：这是**最强**的收敛。它要求收敛的“步调”在整个定义域上都是**一致**的。它管的是**整个队伍的整体行为**。
    *   **数学核心**：$(\forall \epsilon>0)(\exists N)(\forall n>N)(\forall x) |f_n(x)-f(x)|<\epsilon$。$N$ 只依赖于 $\epsilon$，与 $x$ 无关。

2.  **逐点收敛 - 各自努力，终点集合**
    *   **描述**：对于**每一个**固定的士兵（点 $x_0$），他最终会走向目的地。但不同的士兵可能出发的时间（$N$）不同。跑得快的士兵可能很早就到位了，而跑得慢的可能需要很久。
    *   **特点**：比一致收敛**弱**。它只关心**每个个体**是否最终到达，不关心他们是否**同时**到达。它管的是**每一个点的行为**。
    *   **数学核心**：$(\forall \epsilon>0)(\forall x)(\exists N)(\forall n>N) |f_n(x)-f(x)|<\epsilon$。$N$ 可以依赖于 $x$ 和 $\epsilon$。

3.  **几乎处处收敛 - 允许极个别掉队**
    *   **描述**：**除了极少数“逃兵”**（一个零测集），其他所有士兵最终都会走向目的地。
    *   **特点**：这是**最弱**的收敛方式，也是实变函数中最重要的概念之一。它承认可能存在一些“坏点”，但只要这些坏点微不足道（测度为0），我们就认为函数列是收敛的。
    *   **数学核心**：存在一个零测集 $E$，使得函数列在定义域扣除 $E$ 后的集合上**逐点收敛**。可以理解为“几乎每一个点”都满足逐点收敛。

---

### 三者的关系总结

**关系链：**
**一致收敛 $\Rightarrow$ 逐点收敛 $\Rightarrow$ 几乎处处收敛**
（反之则不成立）

## 收敛的典型例子

下面例子来清晰地展示一致收敛、逐点收敛和几乎处处收敛的区别。这些例子都定义在区间 $[0, 1]$ 上。

---

### 1. 一致收敛的例子

**函数列：** $f_n(x) = \frac{x}{n}$

**极限函数：** $f(x) = 0$

**分析：**
对于任意给定的 $\epsilon > 0$，我们需要找到一个 $N$，使得当 $n > N$ 时，**对所有** $x \in [0,1]$，都有 $|f_n(x) - 0| = |\frac{x}{n}| < \epsilon$。

由于在 $[0,1]$ 上，$x$ 的最大值是 1，所以 $|\frac{x}{n}| \le \frac{1}{n}$。
因此，我们只需要让 $\frac{1}{n} < \epsilon$，即 $n > \frac{1}{\epsilon}$。
所以，取 $N = \lfloor \frac{1}{\epsilon} \rfloor + 1$，那么当 $n > N$ 时，对于**每一个** $x \in [0,1]$，都有 $|f_n(x)| < \epsilon$。

**结论：** 因为找到了一个**不依赖于** $x$ 的 $N$，所以 $\{f_n\}$ 在 $[0,1]$ 上**一致收敛**于 $0$。

**图像想象：** 函数 $y = \frac{x}{n}$ 的图像是一条过原点的直线，随着 $n$ 增大，这条线会越来越“平躺”在 $x$ 轴上，整个图形都均匀地靠近 $x$ 轴。

---

### 2. 逐点收敛但非一致收敛的例子

**函数列：** $f_n(x) = x^n$

**极限函数：**
$$
f(x) = \begin{cases}
0, & 0 \le x < 1 \\
1, & x = 1
\end{cases}
$$

**分析：**
*   **逐点收敛：**
    *   固定 $x_0 \in [0, 1)$。数列 $\{x_0^n\}$ 是一个等比数列，由于 $|x_0| < 1$，所以 $\lim_{n \to \infty} x_0^n = 0$。
    *   固定 $x_0 = 1$。$f_n(1) = 1^n = 1$，所以 $\lim_{n \to \infty} f_n(1) = 1$。
    *   因此，函数列在**每一点** $x \in [0,1]$ 都有极限，即**逐点收敛**。

*   **非一致收敛：**
    我们证明它不一致收敛到 $f(x)$。
    取 $\epsilon = \frac{1}{2}$。对于任意大的 $N$，我们总可以找到一个 $n > N$ 和一个点 $x$，使得 $|f_n(x) - f(x)| \ge \epsilon$。
    例如，取 $x_n = (1/2)^{1/n}$。这个点小于1但非常接近1。
    那么 $f_n(x_n) = ((1/2)^{1/n})^n = 1/2$。
    而在 $x_n$ 这点，极限值 $f(x_n) = 0$（因为 $x_n < 1$）。
    所以 $|f_n(x_n) - f(x_n)| = 1/2 = \epsilon$。
    这意味着，无论 $N$ 取多大，在 $n > N$ 时，总存在点（比如 $x_n$）使得函数值与极限值的差大于等于 $1/2$。所以收敛不是一致的。

**结论：** $\{f_n\}$ 在 $[0,1]$ 上**逐点收敛**但**非一致收敛**。

**图像想象：** $y=x^n$ 的图像在 $n$ 增大时，在 $[0,1)$ 区间上越来越贴近 $x$ 轴，但在 $x=1$ 这个点始终固定在 $y=1$。图像的变化像一个“尾巴”逐渐抬高的曲线，无法均匀地贴近极限函数（一条在 $[0,1)$ 为0，在 $x=1$ 处跳到1的折线）。

---

### 3. 几乎处处收敛但非逐点收敛的例子

这个例子需要更巧妙一些，它展示了实变函数的精髓。

**函数列：** 我们使用经典的“移动脉冲”或“游动点”的例子。
定义一列函数 $\{f_n\}$ 在 $[0,1]$ 上：
*   将区间 $[0,1]$ 等分，让一个高度为 $1$、宽度为区间宽度的“脉冲”依次扫过整个区间。
*   更形式化地，对于 $n=1,2,3,...$，将 $n$ 写成 $n = 2^k + j$，其中 $k \ge 0$，$0 \le j < 2^k$。
*   定义 $f_n(x) = 1$ 如果 $x \in [\frac{j}{2^k}, \frac{j+1}{2^k}]$，否则 $f_n(x) = 0$。

这个函数列看起来是这样的：
$f_1$: 脉冲在 $[0,1]$
$f_2$: 脉冲在 $[0, 1/2]$
$f_3$: 脉冲在 $[1/2, 1]$
$f_4$: 脉冲在 $[0, 1/4]$
$f_5$: 脉冲在 $[1/4, 2/4]$
$f_6$: 脉冲在 $[2/4, 3/4]$
$f_7$: 脉冲在 $[3/4, 1]$
... 以此类推，脉冲越来越窄。

**极限函数：** $f(x) = 0$

**分析：**
*   **非逐点收敛：**
    固定任意一点 $x_0 \in [0,1]$。随着 $n$ 增大，那个移动的、越来越窄的脉冲会**无限次**地扫过 $x_0$（此时 $f_n(x_0)=1$），也会**无限次**地离开 $x_0$（此时 $f_n(x_0)=0$）。
    因此，数列 $\{f_n(x_0)\}$ 由无限个 $1$ 和无限个 $0$ 构成，是**发散**的，不收敛于 $0$（也不收敛于任何值）。
    **所以，函数列在 $[0,1]$ 上每一点都不收敛！**

*   **几乎处处收敛：**
    “几乎处处”是实变函数的关键。虽然函数列在**每一点**都不收敛，但我们可以问：它是否在“除了一个零测集之外”的所有点上都收敛呢？
    答案是**是的**，它收敛于 $0$。
    **为什么？**
    让我们找出那些“不收敛”的点。一个点 $x_0$ 不收敛，是因为脉冲无限次经过它。但脉冲的宽度是在急剧变窄的（从1到1/2，到1/4...）。
    实际上，所有不收敛的点构成了一个**零测集**。在这个例子中，甚至**不存在**这样的点？不，存在，比如所有二进有理数点可能会被无限次经过，但有理数是可数的，可数集是零测集。
    更准确的理解是：这个函数列是**依测度收敛**于 $0$ 的经典例子。而根据**里斯定理**，任何依测度收敛的函数列，必然存在一个子列是几乎处处收敛的。事实上，如果我们“跳着”取这个函数列（例如取 $f_1, f_2, f_4, f_8, ...$，即脉冲宽度为 $1, 1/2, 1/4, 1/8...$ 的项），那么这个子列 $\{f_{2^k}\}$ 就是**几乎处处收敛**于 $0$ 的。
    （对于任意 $x_0$，如果它被这个子列中的脉冲命中了无限多次，那么这些脉冲的宽度之和是有限的，根据Borel-Cantelli引理，这样的 $x_0$ 构成一个零测集。）

**结论：** 我们构造的函数列 $\{f_n\}$ 本身是处处不收敛的。但它的一个子列 $\{f_{2^k}\}$ 在 $[0,1]$ 上**几乎处处收敛**于 $0$，但**并非逐点收敛**。

这个例子深刻地说明了 **“几乎处处收敛”弱于“逐点收敛”**。一个函数列可以几乎处处收敛，即使它在每一个具体的点上的行为都是发散的（只要这些发散的点“微不足道”，即测度为0）。

### 总结

| 收敛类型 | 例子 | 核心特征 |
| :--- | :--- | :--- |
| **一致收敛** | $f_n(x) = x/n \to 0$ | 存在统一的 $N$，**全局**同时逼近。 |
| **逐点收敛但非一致** | $f_n(x) = x^n \to f(x)$ | **每一点**都收敛，但收敛速度有快有慢。 |
| **几乎处处收敛但非逐点** | “游动脉冲”的子列 $f_{2^k} \to 0$ | 在**一个零测集外**收敛，允许在每一点都发散。 |

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：可测函数的逼近定理与几乎处处成立

下一篇： Egorov 叶戈罗夫定理

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)