最后更新: 2025-11-26 08:56 查看: 179 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

Egorov 叶戈罗夫定理

## Egorov 叶戈罗夫定理
**定理 3.9（Egorov 定理）** 设 $E \subset R ^n$ 可测且 $m E<\infty,\left\{f_k\right\}$ 是在 $E$ 上几乎处处有限又几乎处处收敛的可测函数列，并且它的极限函数 $f$ 在 $E$ 上也是几乎处处有限的．则对于任意正数 $\delta$ ，存在 $E$ 的可测子集 $E_\delta$ ，满足 $m E_\delta<\delta$ ，而在 $E \backslash E_\delta$上，$\left\{f_k\right\}$ 一致收敛于 $f$ ．

在给出定理的证明之前，先把它的条件简化一下，可设定理中的 $f$ 与每个 $f_k$在 $E$ 上是处处有限的，并且 $\left\{f_k\right\}$ 在 $E$ 上处处收敛于 $f$ ．因为，否则可以从点集 $E$中先去掉子集 $\left\{x \in E\left|\left|f_k(x)\right|=+\infty\right|\right.$ 和 $\left\{x \in E||f(x)|=+\infty\}\right.$ 以及 $\left\{f_k \mid\right.$ 不收敛于 $f$ 的点再进行证明，证完以后再把这些点并人 $E_\delta$ 。依照假设，这些点的集合只不过是零测集，先去掉和后来把它并人 $E_\delta$ 对于定理假设与结论的成立都没有影响．

现在来分析一下 Egorov 定理如何证明．假设 $\left\{f_k\right\}$ 的条件已经简化．如果 $\left\{f_k\right\}$在某个点集 $A \subset E$ 上一致收敛于 $f(x)$ ，我们看看应该如何来描述 $A$ ，然后根据这个描述，找出合适的 $A$ ，使 $m(E \backslash A)$ 很小．$\left\{f_k\right\}$ 在 $A$ 一致收敛到 $f$ ，是说当 $k$ 无限增大时，在 $A$ 内所有各点 $x, f_k(x)$ 按一个一致的速度趋近于 $f(x)$ ，或者说在各点有一个趋近于 $f(x)$ 的最低速度．如果用 $1 / l$（ $l$ 为正整数）作为判断 $f_k(x)$ 与 $f(x)$ 的差值大小的标准，考察点集

$$
A_{k l}=\left\{x \in E| | f_k(x)-f(x) \mid<1 / l\right\}, \quad k, l=1,2, \cdots, ...(1)
$$

则 $\left\{f_k\right\}$ 在 $A$ 上一致收敛于 $f(x)$ 就是指，对任意固定的 $l$ ，会有正整数 $k_i$ ，使得只要 $k \geqslant k_l$ ，对任意的 $x \in A$ 都满足 $\left|f_k(x)-f(x)\right|<1 / l$ ，这里 $k_l$ 的大小就表现了 $f_k(x)$ 趋近于 $f(x)$ 的＂一致速度＂．用点集 $A_{k l}$ 的运算把这个意思表示出来也就是，只要 $x \in A$ 就有 $x \in \bigcap_{k=k_l}^{\infty} A_{k l}$ ，因而 $A \subset \bigcap_{k=k_l}^{\infty} A_{k l}$ ，并且无论 $l=1,2, \cdots$ 都应该有这样的关系，故 $A \subset \bigcap_{i=1}^{\infty} \bigcap_{k=k_l}^{\infty} A_{k l}$ ．其实，$\bigcap_{i=1}^{\infty} \bigcap_{k=k_l}^{\infty} A_{k l}$ 也是一个使 $\left\{f_k\right\}$ 一致收敛的点集，

我们把这写成一个引理。
## 引理3.1
**引理3.1** 设 $E \subset R ^n$ 可测，$\left\{f_k\right\}$ 与 $\{f\}$ 是在 $E$ 几乎处处有限的可测函数列，则 $\left\{f_k\right\}$ 在 $A(\subset E)$ 一致收敛到 $f$ 的充分必要条件是存在自然数的递增列 $\left\{k_l\right\}$ ，使得

$$
A=\bigcap_{l=1}^{\infty} \bigcap_{k=k_l}^{\infty} A_{k l} ...(2)
$$

其中 $A_{k i}$ 是由（1）表示的集合．
证明 充分性．设 $A$ 已表成（2）式．对任意 $\varepsilon>0$ ，存在自然数 $l$ ，使得 $\frac{1}{l}<\varepsilon$ ，这时 $k_l$ 便确定．对任意 $x \in A$ ，则 $x \in \bigcap_{k=k_l}^{\infty} A_{k l}$ ，即当 $k \geqslant k_l$ 时，有 $\left|f_k(x)-f(x)\right|<1 /$ $l<\varepsilon$ ，这就是说，$\left\{f_k\right\}$ 在 $A$ 一致收敛到 $f$ ．

引理叙述前的一段分析便是必要性的证明．证毕。

现在回到 Egorov 定理 3.9 的证明．问题化成了对任意的 $\delta>0$ 以及自然数 $l$ ，是否存在合适的 $k_t$ ，使得对应于上面式（2）的集合 $A$ ，满足 $m(B)<\delta$ ，其中 $B=E \backslash$ A．由于

$$
B=E \backslash A=E \backslash \bigcap_{l=1}^{\infty} \bigcap_{k=k_l}^{\infty} A_{k l}=\bigcup_{l=1}^{\infty} \bigcup_{k=k_l}^{\infty} B_{k l}, ...(3)
$$

其中

$$
B_{k l}=E \backslash A_{k l}=\left\{x \in E| | f_k(x)-f(x) \left\lvert\, \geqs

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