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Egorov 叶戈罗夫定理

## Egorov 叶戈罗夫定理
**定理 3.9（Egorov 定理）** 设 $E \subset R ^n$ 可测且 $m E<\infty,\left\{f_k\right\}$ 是在 $E$ 上几乎处处有限又几乎处处收敛的可测函数列，并且它的极限函数 $f$ 在 $E$ 上也是几乎处处有限的．则对于任意正数 $\delta$ ，存在 $E$ 的可测子集 $E_\delta$ ，满足 $m E_\delta<\delta$ ，而在 $E \backslash E_\delta$上，$\left\{f_k\right\}$ 一致收敛于 $f$ ．

在给出定理的证明之前，先把它的条件简化一下，可设定理中的 $f$ 与每个 $f_k$在 $E$ 上是处处有限的，并且 $\left\{f_k\right\}$ 在 $E$ 上处处收敛于 $f$ ．因为，否则可以从点集 $E$中先去掉子集 $\left\{x \in E\left|\left|f_k(x)\right|=+\infty\right|\right.$ 和 $\left\{x \in E||f(x)|=+\infty\}\right.$ 以及 $\left\{f_k \mid\right.$ 不收敛于 $f$ 的点再进行证明，证完以后再把这些点并人 $E_\delta$ 。依照假设，这些点的集合只不过是零测集，先去掉和后来把它并人 $E_\delta$ 对于定理假设与结论的成立都没有影响．

现在来分析一下 Egorov 定理如何证明．假设 $\left\{f_k\right\}$ 的条件已经简化．如果 $\left\{f_k\right\}$在某个点集 $A \subset E$ 上一致收敛于 $f(x)$ ，我们看看应该如何来描述 $A$ ，然后根据这个描述，找出合适的 $A$ ，使 $m(E \backslash A)$ 很小．$\left\{f_k\right\}$ 在 $A$ 一致收敛到 $f$ ，是说当 $k$ 无限增大时，在 $A$ 内所有各点 $x, f_k(x)$ 按一个一致的速度趋近于 $f(x)$ ，或者说在各点有一个趋近于 $f(x)$ 的最低速度．如果用 $1 / l$（ $l$ 为正整数）作为判断 $f_k(x)$ 与 $f(x)$ 的差值大小的标准，考察点集

$$
A_{k l}=\left\{x \in E| | f_k(x)-f(x) \mid<1 / l\right\}, \quad k, l=1,2, \cdots, ...(1)
$$

则 $\left\{f_k\right\}$ 在 $A$ 上一致收敛于 $f(x)$ 就是指，对任意固定的 $l$ ，会有正整数 $k_i$ ，使得只要 $k \geqslant k_l$ ，对任意的 $x \in A$ 都满足 $\left|f_k(x)-f(x)\right|<1 / l$ ，这里 $k_l$ 的大小就表现了 $f_k(x)$ 趋近于 $f(x)$ 的＂一致速度＂．用点集 $A_{k l}$ 的运算把这个意思表示出来也就是，只要 $x \in A$ 就有 $x \in \bigcap_{k=k_l}^{\infty} A_{k l}$ ，因而 $A \subset \bigcap_{k=k_l}^{\infty} A_{k l}$ ，并且无论 $l=1,2, \cdots$ 都应该有这样的关系，故 $A \subset \bigcap_{i=1}^{\infty} \bigcap_{k=k_l}^{\infty} A_{k l}$ ．其实，$\bigcap_{i=1}^{\infty} \bigcap_{k=k_l}^{\infty} A_{k l}$ 也是一个使 $\left\{f_k\right\}$ 一致收敛的点集，

我们把这写成一个引理。
## 引理3.1
**引理3.1** 设 $E \subset R ^n$ 可测，$\left\{f_k\right\}$ 与 $\{f\}$ 是在 $E$ 几乎处处有限的可测函数列，则 $\left\{f_k\right\}$ 在 $A(\subset E)$ 一致收敛到 $f$ 的充分必要条件是存在自然数的递增列 $\left\{k_l\right\}$ ，使得

$$
A=\bigcap_{l=1}^{\infty} \bigcap_{k=k_l}^{\infty} A_{k l} ...(2)
$$

其中 $A_{k i}$ 是由（1）表示的集合．
证明 充分性．设 $A$ 已表成（2）式．对任意 $\varepsilon>0$ ，存在自然数 $l$ ，使得 $\frac{1}{l}<\varepsilon$ ，这时 $k_l$ 便确定．对任意 $x \in A$ ，则 $x \in \bigcap_{k=k_l}^{\infty} A_{k l}$ ，即当 $k \geqslant k_l$ 时，有 $\left|f_k(x)-f(x)\right|<1 /$ $l<\varepsilon$ ，这就是说，$\left\{f_k\right\}$ 在 $A$ 一致收敛到 $f$ ．

引理叙述前的一段分析便是必要性的证明．证毕。

现在回到 Egorov 定理 3.9 的证明．问题化成了对任意的 $\delta>0$ 以及自然数 $l$ ，是否存在合适的 $k_t$ ，使得对应于上面式（2）的集合 $A$ ，满足 $m(B)<\delta$ ，其中 $B=E \backslash$ A．由于

$$
B=E \backslash A=E \backslash \bigcap_{l=1}^{\infty} \bigcap_{k=k_l}^{\infty} A_{k l}=\bigcup_{l=1}^{\infty} \bigcup_{k=k_l}^{\infty} B_{k l}, ...(3)
$$

其中

$$
B_{k l}=E \backslash A_{k l}=\left\{x \in E| | f_k(x)-f(x) \left\lvert\, \geqslant \frac{1}{l}\right.\right\} .
$$

回忆第一章的例 8 ，根据定理 3.9 已作了简化的假设：$\left\{f_k\right\}$ 在 $E$ 处处收敛到 $f$ ，它等价于不收敛的点集是空集，即

$$
\bigcup_{l=1}^{\infty} \bigcap_{j=1}^{\infty} \bigcup_{k=j}^{\infty} B_{k l}=\varnothing, ...(4)
$$

因此定理的证明归结为，在（4）的条件下，能否断言存在 $k_l$ ，使得由（3）表示的 $B$ ，满足 $m(B)<\delta$ ．由于

$$
m(B) \leqslant \sum_{i=1}^{\infty} m\left(\bigcup_{k=k_l}^{\infty} B_{k l}\right)
$$

故问题的关键在于，对每个 $l$ 能否适当选取 $k_l$ ，使得 $m\left(\bigcup_{k=k_i}^{\infty} B_{k t}\right)$ 很小．这是可以做到的，因为由（4）不难证明 $\lim _{j \rightarrow \infty} m\left(\bigcup_{k=j}^{\infty} B_{k l}\right)=0$ ．我们把这个事实写成另一个引理．

## 引理3.2
**引理3．2** 设 $E \subset R ^n$ 可测且 $m E<\infty,\left\{f_k\right\}$ 是在 $E$ 上几乎处处有限又几乎处
处收敛的可测函数列，并且它的极限函数 $f$ 在 $E$ 上也是几乎处处有限的，则对于任意正整数 $l$ 有，

$$
\lim _{j \rightarrow \infty} m\left(\bigcup_{k=j}^{\infty} B_{k l}\right)=0,
$$

其中 $B_{k l}=\left\{x \in E| | f_k(x)-f(x) \mid \geqslant 1 / l\right\}$ ．
证明 设 $\left\{f_k\right\}$ 与 $f$ 的条件已经简化．由于 $\bigcup_{k=j}^{\infty} B_{k l}$ 是渐缩列，而且它们都包含在 $E$ 中，且 $m(E)<+\infty$ ，由上一章的定理 2.3 知

$$
\lim _{j \rightarrow \infty} m\left(\bigcup_{k=j}^{\infty} B_{k l}\right)=m\left(\lim _{j \rightarrow \infty} \bigcup_{k=j}^{\infty} B_{k l}\right)=m\left(\bigcap_{j=1}^{\infty} \bigcup_{k=j}^{\infty} B_{k l}\right) .
$$

由（4）知对任意 $l$ ，有

$$
\bigcap_{j=1}^{\infty} \bigcup_{k=j}^{\infty} B_{k l}=\varnothing \text {, }
$$

这就证明了引理 3．2．
下面就用引理 3.1 与引理 3.2 ，结合前面的分析，来证明 Egorov 定理．

## 定理3.9的证明 
**定理3.9的证明**  假设 $\left\{f_k\right\}$ 的条件已经简化．则对任意正整数 $l$ ，由引理
3．2， $\lim _{j \rightarrow \infty} m\left(\bigcup_{k=j}^{\infty} B_{k l}\right)=0$ ，故对任意 $\delta>0$ 存在 $k_l$ 使得

$$
m\left(\bigcup_{k=k_l}^{\infty}\left\{x \in E| | f_k(x)-f(x) \mid \geqslant 1 / l\right\}\right)<\frac{\delta}{2^l}
$$

令

$$
E_\delta=\bigcup_{l=1}^{\infty} \bigcup_{k=k_l}^{\infty}\left\{x \in E| | f_k(x)-f(x) \mid \geqslant 1 / l\right\}
$$

则

$$
m E_\delta \leqslant \sum_{l=1}^{\infty} m\left(\bigcup_{k=k_l}^{\infty}\left\{x \in E| | f_k(x)-f(x) \mid \geqslant 1 / l\right\}\right)<\sum_{i=1}^{\infty} \frac{\delta}{2^l}=\delta .
$$

根据引理 3．1，$\left\{f_k\right\}$ 在 $E \backslash E_\delta$ 上一致收敛到 $f$ ．
注意，若在 Egorov 定理中取消限制 $m E<\infty$ ，它的结论可能不成立，请看下面的例子．

`例5` 在 $(0,+\infty)$ 内令

$$
\begin{gathered}
f_k(x)=\chi_{(0, k)}(x)= \begin{cases}1, & x \in(0, k) \\
0, & x \in[k,+\infty) \\
(k=1,2, \cdots)\end{cases} \\
\end{gathered}
$$

对任意 $x \in(0,+\infty)$ ，当 $k>x$ 时，$f_k(x)=1$ ．因此当 $k \rightarrow \infty$ 显然有

$$
f_k(x) \rightarrow f(x)=\chi_{(0,+\infty)}(x) \equiv 1
$$

但若有点集 $E_\delta \subset(0, \infty)$ ，使得 $\left\{f_k\right\}$ 在 $(0,+\infty) \backslash E_\delta$ 上一致收敛，则对于 $\varepsilon_0=1 / 2$ ，有正整数 $k_0$ 使得 $k \geqslant k_0$ 时，所有 $x \in(0,+\infty) \backslash E_\delta$ 都满足 $\left|f_k(x)-f(x)\right|<\varepsilon_0=$ $1 / 2$ ，而 $\left|f_k(x)-f(x)\right|$ 只取值 $0(x<k$ 时）或 $1(x \geqslant k$ 时）．由此可知，必须对任意 $x$ $\in(0,+\infty) \backslash E_\delta$ 有 $k \geqslant k_0>x$ ，因此 $(0,+\infty) \backslash E_\delta \subset\left(0, k_0\right)$ ，从而 $E_\delta \supset\left[k_0, \infty\right)$ 。于是不论正数 $\delta$ 取什么值，都不可能有 $m E_\delta<\delta$ ，这说明 Egorov 定理的条件 $m E<\infty$是必不可少的。

把测度和可测函数列的极限结合起来，我们引进一种新的收敛概念．就是下节介绍的依测度收敛。

## 理解：叶戈罗夫定理

这个定理描述了**可测函数列“几乎处处收敛”与“近乎一致收敛”之间的关系**。

---

### 1. 定理的直观理解：用“牺牲”换“一致”

在开始形式化表述前，我们先理解它的核心思想。叶戈罗夫定理回答了一个问题：

> 如果一个函数列 $f_n$ 在一个测度有限的集合 $E$ 上“几乎处处”收敛于 $f$，那么这种收敛性在 $E$ 上能“一致”吗？

答案是：**不一定能完全一致，但我们可以通过牺牲一个任意小的集合，使得在剩余的大部分集合上，收敛是一致的。**

**一个经典的比喻：**

想象一个剧场里坐满了观众（对应集合 $E$，测度有限）。一个演员（函数列 $f_n$）在表演。开始时，观众们的反应（函数值 $f_n(x)$）各不相同，很混乱。

*   **几乎处处收敛**：意味着**除了极少数几个“挑剔”的观众**（一个零测集），最终所有观众都会为演员的表演鼓掌（收敛到极限函数 $f(x)$）。但不同的观众可能在不同时间点开始鼓掌（收敛速度不同）。
*   **一致收敛**：意味着存在一个**统一的时刻 $N$**，在这个时刻之后，**全场所有观众**（除了可能被请出去的）同时开始鼓掌，并且掌声一致。

叶戈罗夫定理说：虽然我们可能无法让**所有**观众都同时鼓掌（即在整个 $E$ 上一致收敛），但我们可以**请出去一小部分最“挑剔”、鼓掌最慢的观众**（牺牲一个小测度集 $\delta$），那么剩下的观众（在集合 $E \setminus \delta$ 上）就能实现同时鼓掌（一致收敛）。

我们通过牺牲一点点“完美性”（一个任意小的集合），换来了在主体部分“极好”的收敛性质（一致收敛）。

---

### 2. 定理的严格数学表述

> **叶戈罗夫定理**
>
> 设：
> *   $E$ 是一个**测度有限**的可测集，即 $m(E) < \infty$。
> *   $\{f_n\}$ 是一列在 $E$ 上**几乎处处有限**的可测函数。
> *   $\{f_n\}$ 在 $E$ 上**几乎处处收敛**于一个几乎处处有限的函数 $f$，即 $f_n \overset{a.e.}{\rightarrow} f$ on $E$。
>
> 则对**任意** $\delta > 0$，存在 $E$ 的一个可测子集 $E_\delta$，满足：
> 1.  $m(E \setminus E_\delta) < \delta$。（被牺牲的集合很小）
> 2.  在 $E_\delta$ 上，$\{f_n\}$ **一致收敛**于 $f$，即 $f_n \rightrightarrows f$ on $E_\delta$。

---

### 3. 关键点与注意事项

1.  **测度有限的条件 $m(E) < \infty$ 是至关重要的**。如果 $E$ 的测度是无限的，定理的结论可能不成立。
    *   **反例**：考虑 $E = \mathbb{R}$，定义 $f_n(x) = \chi_{[n, \infty)}(x)$。这个函数列处处收敛于 0，但不是一致收敛。更重要的是，你无法从 $E$ 中去掉一个有限测度集使得剩下的部分一致收敛。因为对于任意大的 $N$，在 $[N, \infty)$ 上，函数值始终为 1，不收敛到 0。

2.  **“近乎一致收敛”**：定理所描述的现象在数学上被称为“近乎一致收敛”。它的定义正是叶戈罗夫定理的结论：对任意 $\delta>0$，存在一个测度小于 $\delta$ 的例外集，在其补集上是一致收敛。所以叶戈罗夫定理可以简述为：**在有限测度集上，几乎处处收敛蕴含了近乎一致收敛。**

3.  **与“几乎处处收敛”的关系**：
    *   **一致收敛 ⇒ 几乎处处收敛**（显然成立）。
    *   **几乎处处收敛 ⇏ 一致收敛**（常见，如 $f_n(x) = x^n$ 在 [0,1) 上）。
    *   **叶戈罗夫定理**：在 $m(E)<\infty$ 的条件下，**几乎处处收敛 ⇒ 近乎一致收敛**。它是一致收敛和几乎处处收敛之间的一个完美的桥梁。

---

### 4. 一个简单的例子

考虑函数列 $f_n(x) = x^n$ 定义在区间 $E = [0, 1]$ 上。我们知道：
*   $m(E) = 1 < \infty$，满足条件。
*   极限函数 $f(x) = \begin{cases} 0, & 0 \le x < 1 \\ 1, & x = 1 \end{cases}$。
*   $f_n \overset{a.e.}{\rightarrow} f$ on $[0,1]$（因为在不收敛的点 $x=1$ 处，测度为0）。

显然，$f_n$ 在**整个** $[0,1]$ 上**不是**一致收敛的。因为对于 $\epsilon = 1/2$，无论 $N$ 多大，总能在 $x$ 接近1时找到 $n>N$ 使得 $x^n > 1/2$。

现在，应用**叶戈罗夫定理**。取 $\delta = 0.1$。
*   定理告诉我们，可以找到一个集合 $E_\delta \subset [0,1]$，使得 $m([0,1] \setminus E_\delta) < 0.1$，并且在 $E_\delta$ 上，$x^n \rightrightarrows f(x)$。
*   这个 $E_\delta$ 可以怎么取？比如，取 $E_\delta = [0, 0.9]$。那么：
    *   被牺牲的集合是 $(0.9, 1]$，其长度（勒贝格测度）为 $0.1$，满足条件。
    *   在 $[0, 0.9]$ 上，收敛是否一致？是的！因为函数列 $x^n$ 在 $[0, 0.9]$ 上的最大值是 $0.9^n$，当 $n \to \infty$ 时，$0.9^n \to 0$。所以对于给定的 $\epsilon>0$，存在 $N$，当 $n>N$ 时，对**所有** $x \in [0, 0.9]$，都有 $|x^n - 0| < \epsilon$。这就是一致收敛。

这个例子完美地诠释了叶戈罗夫定理：我们通过牺牲一个小的区间（尾巴），换来了在主体部分优秀的一致收敛性。

### 总结

叶戈罗夫定理是实变函数中沟通点态收敛和一致收敛的重要桥梁。它的价值在于：

*   **理论价值**：它表明，在有限测度集上，几乎处处收敛在某种“几乎”的意义下是非常强的（等价于一致收敛）。许多定理的证明可以利用它，先将几乎处处收敛加强为一致收敛（在一个“大部分”的集合上），从而简化证明。
*   **直观价值**：它提供了一个深刻的理解，即测度论中的“几乎处处”性质，可以通过舍弃一个任意小的测度集，提升为更强大的“整体”性质。这体现了勒贝格积分理论在处理“例外集”时的灵活性和威力。

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