最后更新: 2026-01-14 13:35 查看: 118 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

依测度收敛

## 依测度收敛
**定义3.3** 设函数 $f$ 及 $f_k(k=1,2, \cdots)$ 在 $E \subset R ^n$ 上可测且几乎处处有限．若对任意的 $\varepsilon>0$ 有

$$
\left.\lim _{k \rightarrow \infty} m\left(|x \in E| 1 f_k(x)-f(x) \mid \geqslant \varepsilon\right\}\right)=0
$$

则称函数列 $\left\{f_k\right\}$ 在 $E$ 依测度收敛于 $f$ ．
依测度收敛的几何意义如图 3．1．对于任意的 $\varepsilon>0$ ，函数 $y=f_k(x)(x \in E \subset$ $\left.R ^1\right)$ 的图形落在带子 $\{(x, y) \mid x \in E, f(x)-\varepsilon<y<f(x)+\varepsilon\}$ 之外的点的横坐标 $x$ 所组成的集合

$$
A_k=\left\{x \in E| | f_k(x)-f(x) \mid \geqslant \varepsilon\right\}
$$

![图片](/uploads/2025-11/3cb88b.jpg){width=400px}
 
 当 $k \rightarrow \infty$ 时其测度 $m A_k \rightarrow 0$ ．值得指出的是，当 $k$ 变化时，集合 $A_k$ 的位置可以在 $E$内变动．$\left\{f_k\right\}$ 依测度收敛是说，只要相应的测度 $m A_k \rightarrow 0$ ，而不管 $A_k$ 的位置如何变动．可见这种收敛不由 $f_k$ 在每个点的性态决定，而是由 $f_k$ 在整个 $E$ 的性态决定的．这一点读者在后面还会进一步理解．

显然，若 $\left\{f_k\right\}$ 在 $E$ 一致收敛于 $f$ ，它必定在 $E$ 依测度收敛于 $f$ ．这是因为，对任意 $\varepsilon>0$ ，只要 $k$ 充分大就有

$$
\left\{x \in E\left|\left|f_k(x)-f(x)\right| \geqslant \varepsilon\right\}=\varnothing .\right.
$$

因此依测度收敛比一致收敛弱．下面的定理给出依测度收敛与几乎处处收敛的一种关系，它说明依测度收敛甚至比几乎处处收敛还弱。

**定理3.10** 若 $f$ 和 $f_k(k=1,2, \cdots)$ 是在 $E$ 上几乎处处有限的可测函数，$m E$ $<\infty$ ，并且 $f_k(x) \rightarrow f(x)$ a．e．于 $E$ ，则在 $E$ 上 $\left\{f_k(x)\right\}$ 依测度收敛于 $f$ ．
证明 对任意给定的 $\delta>0$ ，由 Egorov 定理存在 $E$ 的子集 $E_\delta$ ，使得 $m E_\delta<\delta$且 $\left\{f_k(x)\right\}$ 在 $E \backslash E_\delta$ 上一致收敛．于是对于任意固定的正数 $\varepsilon$ ，根据在本定理前的说明，当 $k$ 充分大时有，

$$
\left\{x \in E \backslash E_\delta| | f_k(x)-f(x) \mid \geqslant \varepsilon\right\}=\varnothing
$$

从而 $\left\{x \in E\left|\left|f_k(x)-f(x)\right| \geqslant \varepsilon\right\} \subset E_\delta\right.$ ，相应的测度满足

$$
\left.m|x \in E|\left|f_k(x)-f(x)\right| \geqslant \varepsilon\right\} \leqslant m E_\delta<\delta
$$

由于 $\delta$ 的任意性可知，$m\left\{x \in E\left|\left|f_k(x)-f(x)\right| \geqslant \varepsilon\right\} \rightarrow 0(k \rightarrow \infty)\right.$ ，即在 $E$ 上 $\left\{f_k\right\}$依测度收敛于 $f$ 。 $\square$
注意定理 3.10 的条件 $m E<\infty$ 是必不可少的，前面例 5 的 $\left\{f_k\right\}\left(f_k(x)=\right.$ $\left.\chi_{(0, k)}(x)\right)$ 就可以说明这一点．这个 $\left\{f_k\right\}$ 在 $(0, \infty)$ 上处处收敛于 1 ，但是

$$
\left\{x \in(0, \infty)\left|\left|\chi_{(0, k)}(x)-1\right| \geqslant \frac{1}{2}\right\}=[k, \infty)\right.

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