最后更新: 2026-01-14 13:35 查看: 191 次纠错评论(0) 课件开VIP

依测度收敛

## 依测度收敛
**定义3.3** 设函数 $f$ 及 $f_k(k=1,2, \cdots)$ 在 $E \subset R ^n$ 上可测且几乎处处有限．若对任意的 $\varepsilon>0$ 有

$$
\left.\lim _{k \rightarrow \infty} m\left(|x \in E| 1 f_k(x)-f(x) \mid \geqslant \varepsilon\right\}\right)=0
$$

则称函数列 $\left\{f_k\right\}$ 在 $E$ 依测度收敛于 $f$ ．
依测度收敛的几何意义如图 3．1．对于任意的 $\varepsilon>0$ ，函数 $y=f_k(x)(x \in E \subset$ $\left.R ^1\right)$ 的图形落在带子 $\{(x, y) \mid x \in E, f(x)-\varepsilon<y<f(x)+\varepsilon\}$ 之外的点的横坐标 $x$ 所组成的集合

$$
A_k=\left\{x \in E| | f_k(x)-f(x) \mid \geqslant \varepsilon\right\}
$$

![图片](/uploads/2025-11/3cb88b.jpg){width=400px}
 
 当 $k \rightarrow \infty$ 时其测度 $m A_k \rightarrow 0$ ．值得指出的是，当 $k$ 变化时，集合 $A_k$ 的位置可以在 $E$内变动．$\left\{f_k\right\}$ 依测度收敛是说，只要相应的测度 $m A_k \rightarrow 0$ ，而不管 $A_k$ 的位置如何变动．可见这种收敛不由 $f_k$ 在每个点的性态决定，而是由 $f_k$ 在整个 $E$ 的性态决定的．这一点读者在后面还会进一步理解．

显然，若 $\left\{f_k\right\}$ 在 $E$ 一致收敛于 $f$ ，它必定在 $E$ 依测度收敛于 $f$ ．这是因为，对任意 $\varepsilon>0$ ，只要 $k$ 充分大就有

$$
\left\{x \in E\left|\left|f_k(x)-f(x)\right| \geqslant \varepsilon\right\}=\varnothing .\right.
$$

因此依测度收敛比一致收敛弱．下面的定理给出依测度收敛与几乎处处收敛的一种关系，它说明依测度收敛甚至比几乎处处收敛还弱。

**定理3.10** 若 $f$ 和 $f_k(k=1,2, \cdots)$ 是在 $E$ 上几乎处处有限的可测函数，$m E$ $<\infty$ ，并且 $f_k(x) \rightarrow f(x)$ a．e．于 $E$ ，则在 $E$ 上 $\left\{f_k(x)\right\}$ 依测度收敛于 $f$ ．
证明 对任意给定的 $\delta>0$ ，由 Egorov 定理存在 $E$ 的子集 $E_\delta$ ，使得 $m E_\delta<\delta$且 $\left\{f_k(x)\right\}$ 在 $E \backslash E_\delta$ 上一致收敛．于是对于任意固定的正数 $\varepsilon$ ，根据在本定理前的说明，当 $k$ 充分大时有，

$$
\left\{x \in E \backslash E_\delta| | f_k(x)-f(x) \mid \geqslant \varepsilon\right\}=\varnothing
$$

从而 $\left\{x \in E\left|\left|f_k(x)-f(x)\right| \geqslant \varepsilon\right\} \subset E_\delta\right.$ ，相应的测度满足

$$
\left.m|x \in E|\left|f_k(x)-f(x)\right| \geqslant \varepsilon\right\} \leqslant m E_\delta<\delta
$$

由于 $\delta$ 的任意性可知，$m\left\{x \in E\left|\left|f_k(x)-f(x)\right| \geqslant \varepsilon\right\} \rightarrow 0(k \rightarrow \infty)\right.$ ，即在 $E$ 上 $\left\{f_k\right\}$依测度收敛于 $f$ 。 $\square$
注意定理 3.10 的条件 $m E<\infty$ 是必不可少的，前面例 5 的 $\left\{f_k\right\}\left(f_k(x)=\right.$ $\left.\chi_{(0, k)}(x)\right)$ 就可以说明这一点．这个 $\left\{f_k\right\}$ 在 $(0, \infty)$ 上处处收敛于 1 ，但是

$$
\left\{x \in(0, \infty)\left|\left|\chi_{(0, k)}(x)-1\right| \geqslant \frac{1}{2}\right\}=[k, \infty)\right.
$$

其测度为 $\infty$ ，因此这个函数列在 $(0, \infty)$ 不是依测度收敛的．
读者可能会问，定理 3.10 的逆是否也成立？回答是否定的．下面根据依测度收敛的几何意义举出一个反例．

`例6` 在 $[0,1]$ 上定义下面的函数列：

$$
\begin{aligned}
& f_1(x)= \begin{cases}1, & \text { 当 } 0 \leqslant x \leqslant \frac{1}{2}, \\
0, & \text { 当 } \frac{1}{2}<x \leqslant 1 ;\end{cases} \\
& f_2(x)= \begin{cases}1, & \text { 当 } \frac{1}{2} \leqslant x \leqslant 1, \\
0, & \text { 当 } 0 \leqslant x<\frac{1}{2} ;\end{cases} \\
& f_3(x)= \begin{cases}1, & \text { 当 } 0 \leqslant x \leqslant \frac{1}{4}, \\
0, & \text { 当 } \frac{1}{4}<x \leqslant 1 ;\end{cases} \\
& f_4(x)= \begin{cases}1, & \text { 当 } \frac{1}{4} \leqslant x \leqslant \frac{1}{2}, \\
0, & \text { 其他; }\end{cases} \\
& f_5(x)= \begin{cases}1, & \text { 当 } \frac{1}{2} \leqslant x \leqslant \frac{3}{4}, \\
0, & \text { 其他 } ;\end{cases}
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
& f_6(x)=\left\{\begin{array}{lc}
1, & \text { 当 } \frac{3}{4} \leqslant x \leqslant 1, \\
0, & \text { 其他; }
\end{array}\right. \\
& f_7(x)=\left\{\begin{array}{lc}
1, & \text { 当 } 0 \leqslant x \leqslant \frac{1}{8}, \\
0, & \text { 其他. }
\end{array}\right.
\end{aligned}
$$

一般地，将任意的自然数 $m$ 写成 $m=2^k+i\left(0 \leqslant i<2^k\right)$ ，则

$$
f_m(x)=\left\{\begin{array}{lc}
1, & \text { 当 } \frac{i}{2^k} \leqslant x \leqslant \frac{i+1}{2^k}, \\
0, & \text { 其他. }
\end{array}\right.
$$

这时 $\left\{f_m\right\}$ 在 $(0,1)$ 依测度收敛于 $f(x) \equiv 0$ ，这是因为（不妨假定 $\varepsilon<1$ ）

$$
\left\{x \in[0,1]\left|\left|f_m(x)-f(x)\right| \geqslant \varepsilon\right\}=\left[\frac{i}{2^k}, \quad \frac{i+1}{2^k}\right]\right.
$$

从而当 $m \rightarrow \infty$ 时（这时 $k \rightarrow \infty$ ），

$$
m\left(\left\{x \in[0,1]\left|\left|f_m(x)-f(x)\right| \geqslant \varepsilon\right\}\right)=\frac{1}{2^k} \rightarrow 0\right.
$$

但 $\left\{f_m\right\}$ 在 $[0,1]$ 的任一点都设有极限，因为它包含了两个子序列 $0,0, \cdots \cdots$ 和 1 ， $1, \cdots \cdots$ 。

从这个例子我们进一步看出，依测度收敛与几乎处处收敛完全不同，前者不管在每一点 $x_0,\left\{f_k\left(x_0\right)\right\}$ 是否收敛到 $f\left(x_0\right)$（不管它是否有极限，如本例），而是从整体上看，使 $f_k(x)$ 与 $f(x)$ 相差大于一定程度的点是否具有很小的测度．依测度收敛反映的是函数列在点集上的整体性质，而逐点收敛反映的是函数列在点集内各点的局部性质．

## 通俗解释依测度收敛

### 核心思想：不看个别点，看整体表现

想象一下，你是一个城市的交通管理员，你的任务是评估晚高峰时城市各条道路的拥堵情况。你有两种评估方法：

1.  **方法一（处处收敛）**：你派了成千上万个观察员，守在城市的每一个十字路口。你的目标是，在晚上7点整这一刻，要求**每一条路都必须畅通**。只要有一条路上还有一个观察员报告“拥堵”，就算失败。
    *   **特点**：这是一个非常严格、近乎完美的要求。它关注的是**每一个点**在那一刻的状态。

2.  **方法二（依测度收敛）**：你不再关心每个具体的路口，而是看大数据。你关注的是“拥堵道路的总长度占全市道路的百分比”。你的目标是，这个百分比要变得越来越小。比如，昨天拥堵道路占比是10%，今天是5%，你希望这个比例最终能无限接近0%。
    *   **特点**：这是一个更宏观、更实际的要求。它允许个别路段一直很堵，只要这些“顽固拥堵点”的总长度微不足道就行。

在数学上：
*   **“道路”就是定义域（比如一个区间 [0, 1]）。**
*   **“拥堵”就是函数值 {f_n(x)} 和极限函数 f(x) 的差距比较大。**
*   **“道路的长度”就是测度（可以简单理解为长度、面积、体积的推广）。**

---

### 正式但不那么通俗的定义

有一列函数$ f_1(x), f_2(x), f_3(x), ...$ 和一个目标函数$ f(x)$。我们说$ f_n(x)$ **依测度收敛** 到$ f(x)$，如果对于任意给定的一个小正数$ \epsilon > 0$，满足以下条件的点$ x$ 的集合的“长度”（测度）会随着$ n$ 增大而趋向于零：

$$
\{ x \mid |f_n(x) - f(x)| \ge \epsilon \}
$$

换句话说，随着$ n$ 越来越大，函数列$ f_n$ 和极限函数$ f$ 的差距超过某个标准 ($\epsilon$) 的那些“不听话”的点，它们所占的“地盘”会越来越小，最终小到可以忽略不计。

### 生动的例子：“移动的火苗”

这是理解依测度收敛最经典的例子。

*   **场景**：想象一根长度为1的导火索，代表区间 [0, 1]。
*   **函数列**：我们定义一列函数 $ f_n(x) $。
    *   $ f_1(x) $ 是长度为1的火苗，在 [0, 1] 上燃烧。
    *   $ f_2(x) $ 是长度为1/2的火苗。先在第一段 [0, 1/2] 上燃烧，然后在第二段 [1/2, 1] 上燃烧。
    *   $ f_3(x) $ 是长度为1/3的火苗。它在三段 [0,1/3], [1/3,2/3], [2/3,1] 上依次燃烧。
    *   以此类推…… $ f_n(x) $ 就是一段长度为 $ 1/n $ 的火苗，在区间 [0, 1] 上从左到右依次扫过。

**更精确的数学定义**：
对于每个 $ n $，将区间 [0,1] 分成 n 等份。定义函数 $ f_n(x) $ 在第 k 个小区间 $ [\frac{k-1}{n}, \frac{k}{n}] $ 上值为 1，在其他地方值为 0。这个值为1的“脉冲”会随着 n 的增大，从左到右扫过整个区间。

**现在我们来分析它的收敛性：**

1.  **它在每一点上收敛吗？（处处收敛吗？）**
    *   **不收敛！** 你固定看任何一个点，比如 x=0.5。
    *   当火苗扫过0.5时，$ f_n(0.5) = 1 $。
    *   当火苗在其他位置时，$ f_n(0.5) = 0 $。
    *   所以随着 n 增大，在 x=0.5 这一点，函数值永远在 1 和 0 之间无限次地来回振荡，它没有一个稳定的极限。**在每一点都是这样！**
    *   因此，这列函数 **不是处处收敛** 的。

2.  **它依测度收敛吗？**
    *   **是的！** 我们的极限函数 $ f(x) $ 是什么？很自然地，我们可以认为是恒为0的函数，因为火苗最终会“消失”在微观尺度里。
    *   我们来看那些“不听话”的点，即 $ |f_n(x) - 0| \ge \epsilon $ 的点。因为 $ f_n(x) $ 只能是 0 或 1，所以只要取 $ \epsilon < 1 $（比如 0.5），这些“不听话”的点就是那些 $ f_n(x) = 1 $ 的点。
    *   这些点构成的集合是哪个？就是那一小段正在燃烧的导火索，它的长度是 $ 1/n $。
    *   当 $ n \to \infty $ 时，这段“不听话”的导火索的长度 $ 1/n \to 0 $。
    *   **结论**：尽管在每一个具体的点，函数值都在疯狂跳动，但从宏观（整个区间）来看，函数值为1（不听话）的区域所占的比例越来越小，最终趋于零。所以，$ f_n $ **依测度收敛** 于 0。

### 总结

在实变函数中，引入“依测度收敛”非常重要，因为它比“处处收敛”的要求更宽松，并且与积分等操作有非常好的兼容性（比如控制收敛定理的某些形式）。它告诉我们，在分析函数列时，有时“大局观”比“斤斤计较于每一个点”更重要也更有效。

## 引申：依概率收敛
**依概率收敛的通俗解释** 假设随机扔一枚硬币，要判断正面向上的概率，我们很容易知道他的概率为$\frac{1}{2}$，也就是$c=50\%$

但是，当你真的进行实验时。
第一次：扔10次，可能正面的概率为 49%, 和真实的误差是$1\%$
第二次：扔100次，可能正面的概率为 50.8%, 和真实的误差是$0.8\%$
第三次：扔1000次，可能正面的概率为 49.5%, 和真实的误差是$0.5\%$
第四次：扔10000次，可能正面的概率为 49.9%, 和真实的误差是$0.1\%$
第五次：扔10000次，可能正面的概率为50.1%, 和真实的误差是$0.1\%$
第六次：扔100000次，可能正面的概率为50.001%,和真实的误差是$0.001\%$
...
可以看到，随着你扔硬币的次数越来越多，出现的概率越来越接近理论上的真实值。

如何定义“越来越接近”呢？ 我们就把高等《高等数学》里极限那套理论搬过来使用：以上面数据为例，当你给定一个数，
①比如要求误差小于$\varepsilon=0.01$，那我只要扔超过100次就可以了。 
②如果要求误差小于$\varepsilon=0.0005$，那我只要扔超过1000次就可以了。
总之，不论你给我的$\varepsilon$有多小，我扔的次数超过N，就能满足你的苛刻的要求。此时，我们就说他是依概率收敛。
详见 [概率论](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=559)

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