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可测函数

## 勒贝格积分的思想
为了理解本文的内容需要理解勒贝格积分的思想。
一维黎曼积分的几何意义是曲线下曲边梯形的面积，新的积分在几何上也应该包含这一意义．黎曼积分与 Lebesgue 积分这两种积分的差别在于求面积的方法不同，Riemann 积分从自变量所在的区间 $[a, b]$ 的分法出发，Lebesgue 则从函数的值域的分法着手．

下图中，上图是黎曼积分的思想，下图是勒贝格积分的思想。
![img-text](/uploads/2024-09/623a78.jpg)

为简单起见，设 $y=f(x)$ 是在 $[a, b]$ 上定义的**非负有界函数**，即 $0 \leqslant m \leqslant f(x)<M$ ．对 $[m, M]$ 作任意的分法

$$
m=y_0<y_1<y_2<\cdots<y_n=M,
$$

考虑点集

$$
E_i=\left\{x \in[a, b] \mid y_{i-1} \leqslant f(x)<y_i\right\},
$$

![图片](/uploads/2025-11/e18f0f.jpg){width=300px}
 
（见上图）这时曲线上点的纵坐标在 $y_{i-1}$ 与 $y_i$ 之间的这一部分小＂曲边梯形＂的 面积应近似地等于底乘高．这时高可取作 $y_{i-1}$ ，底应是集合 $E_i$ 的＂长度＂．但一般说来，$E_i$ 不一定是区间（比如狄利克雷函数，在极小的有理数区间内含有无理数，在极小的无理数区间内又含有有理数），因此不见得有长度，故我们需要把＂长度＂的概念推广到 $E_i$ ，记为 $\operatorname{mes}\left(E_i\right)$（这就是 $E_i$ 的一维 Lebesgue 测度）．这样，小＂曲边梯形＂的面积就近似地为

$$
y_{i-1} \operatorname{mes}\left(E_i\right) .
$$

作和

$$
\sum_{i=1}^n y_{i-1} \operatorname{mes}\left(E_i\right),
$$

它便是 $y=f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的曲边梯形面积的近似值．令 $\delta=\max _{1 \leqslant i \leqslant n}\left(y_i-y_{i-1}\right) \rightarrow 0$ ，如果上述和的极限存在，便定义这极限值为 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的积分（Lebesgue积分）：

$$
(L) \int_{[a, b]} f(x) \mathrm{d} x=\lim _{\delta \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n y_{i-1} \operatorname{mes}\left(E_i\right) .
$$

### 要点解释1
**我们不妨假定一个函数总是非负的**，为啥？因为一个函数总可以写成 $f=f^{+}-f^{-}$。其中前者的定义域是 $\{x: f(x) \geq 0\}$ ，后者同理。

我们总希望在一个区间里面函数总要尽可能好，啥是好呢，比如这样，假设我们是个太阳，我们能看到的是什么呢？从东面看，如果以黄线的视角，每个极大值都能对应一个区间的左端点，但是如果使用黑线的视角，**每个极大值都能对应一个区间的右端点**，两个本质是一样的。在这个区间里面的函数值都小于极大值，除了左右端点，而且上去之后不许下来。Lebesgue微分定理就是这种思想。

![图片](/uploads/2025-11/e96eeb.jpg)

### 要点解释2
对于一个函数，例如更具体的 $y=x^2$，从y视角(以y为自变量)可以写成 $x=\sqrt{y}$，即$y=f(x)$可以转换为$x=f^{-1}(y)$ 的形式。

### 要点解释3
如果我们从$y$角度看，参考上图，当计算阴影部分面积时，$x$的取值可以是无穷大，但是只有带有斜纹的面积是有效面积，因此y其实是一个分段函数。

## 正文
在上面我们讲过，为了定义函数的积分，需要考虑形如

$$
\sum_{i=1}^n y_{i-1} \operatorname{mes} E_i
$$

的式子的某种极限，其中

$$
E_i=\left\{x \mid x \in[a, b], y_{i-1} \leqslant f(x)<y_i\right\}
$$

mes $E_i$ 表示 $E_i$ 的测度．因此 $E_i$ 可测便成为对函数 $f$ 的最低要求．由于 $E_i$ 又可表示成

$$
E_i=\left\{x \mid x \in[a, b], f(x) \geqslant y_{i-1}\right\} \cap\left\{x \mid x \in[a, b], f(x) \geqslant y_i\right\}^c
$$

而**任意点集与其余集可测性相同**，因此我们要求

$$
\left\{x \mid x \in[a, b], f(x) \geqslant y_i\right\}(i=0,1,2, \cdots, n)
$$

可测．如果是讨论任意点集上的积分，再注意 $y_i$ 可以是任意实数，对函数 $f$ 的要求就成了：对任意实数 $c$ ，函数 $f$ 应使得点集 $\{x \mid x \in E, f(x) \geqslant c\}$ 可测，或等价地，点集 $\{x \mid x \in E, f(x)>c\}$ 可测，当然这也包括点集 $E$ 本身应该可测．这样的函数 $f$ 就称为可测函数．本章集中讨论可测函数的概念与基本性质．从后面的讲述可见，可测函数类包括所有的连续函数与 Riemann 可积函数，它不仅对函数的四则运算封闭，特别还对函数列的极限运算封闭，是包含很广的一个函数类，能满足绪论中提出的积分完备化要求，从而成为实变函数论的基本研究对象．

## 可测函数的概念与基本性质
首先需要说明，为了讨论的方便与统一，在说到一个 $R ^n$ 上的函数而不进一步说明时，它可以是一元的（定义于 $R$ 上），也可以是多元的（定义于 $n>1$ 的 $R ^n$上）．此外，为了使所研究的函数类对极限运算封闭，还假定函数都是取广义实数值的．就是说函数值除了可以取（有限）实数外，还可以等于 $+\infty$ 或 $-\infty$ ．这里 $+\infty$ 和 $-\infty$ 表示两个确定的（广义实）数，$+\infty$（有时也如其他实数一样，写成 $\infty$ ）大于一切实数，$-\infty$ 小于一切实数，当然也有 $-\infty<+\infty$ ．有关 $+\infty$ 与 $-\infty$的运算规定如下：
绝对值：$\quad|+\infty|=|-\infty|=\infty=+\infty$ ；
$\pm \infty$ 与实数 $a$ 的运算：

$$
\begin{gathered}
a+( \pm \infty)=( \pm \infty)+a= \pm \infty ; \\
a-( \pm \infty)=(\mp \infty)+a=\mp \infty ; \\
( \pm \infty) \cdot a=a \cdot( \pm \infty)=\left\{\begin{array}{cc}
0, & a=0 \\
\pm \infty, & a>0, \\
\mp \infty, & a<0 ;
\end{array}\right. \\
a / \pm \infty=0 ; \\
\pm \infty / a= \pm \infty\left(\frac{1}{a}\right) \quad(a \neq 0) ;
\end{gathered}
$$

$+\infty$ 与 $-\infty$ 之间的运算：

$$
\begin{aligned}
(+\infty)+(+\infty) & =(+\infty)-(-\infty)=(+\infty) \cdot(+\infty) \\
& =(-\infty) \cdot(-\infty)=+\infty ; \\
(-\infty)+(-\infty) & =(-\infty)-(+\infty)=(+\infty) \cdot(-\infty) \\
& =(-\infty) \cdot(+\infty)=-\infty
\end{aligned}
$$

注意 $,( \pm \infty)+(\mp \infty),( \pm \infty)-( \pm \infty), \frac{ \pm \infty}{ \pm \infty}, \frac{ \pm \infty}{\mp \infty}$ 都没有意义，就像在实数的运算中， 0 不能做除数一样．

## 可测函数
**定义3.1** 设 $E \subset R ^n$ 可测，$f$ 是定义于 $E$ 上的广义实值函数．若对于任意实数 $a$ ，点集 $\{x \mid x \in E, f(x)>a\}$ 是 $R ^n$ 内的可测集，则 $f$ 称为 $E$ 上的 Lebesgue **可测函数**，简称 $f$ 是 $E$ 上的可测函数，或 $f$ 在 $E$ 上可测．

**通俗理解：你在函数图像上画一条水平线 y=a，那么函数值在这条线上方的所有点构成的集合，必须是个“有明确大小”（可测）的集合。**
 
 
 
注意，若函数 $f$ 在 $E$ 上可测，则 $f$ 的定义域 $E$ 必须是可测集．
定理3．1 设 $f$ 是可测集 $E$ 上的广义实值函数,即$E(f > a)$，则下列命题等价：
（i）$f$ 在 $E$ 上可测；
（ii）对任意实数 $a$ ，点集 $E(f \geqslant a)$ 可测；
（iii）对任意实数 $a$ ，点集 $E(f<a)$ 可测；
（iv）对任意实数 $a$ ，点集 $E(f \leqslant a)$ 可测；
证明 下

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