加法原理与乘法原理★★★★★

## 加法原理
**引例1** 假如我们要从甲地到乙地, 可以乘火车、轮船或公共汽车, 火车每天有两班, 轮船有两班, 公共汽车有六班, 问从甲地到乙地有多少种不同的方法?

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分析，因为从甲地到乙地, 乘火车有两种不同的方法, 乘轮船有两种不同的方法, 乘公共汽车有六种不同的方法. 而每种方法都可以由甲地到达乙地, 因为,从甲地到乙地共有 $2+2+6=10$ 种不同的方法.
 
**引例2** 某书架共有三层，第一层放有 3 本不同的数学书，第二层放有 2 本不同的语文书，第三层放有 2 本不同的英语书。从该书架上任取 1 本书，有多少种不同的取法？

分析 从该书架上任取1本书，结果可能是数学书，语文书或英语书．取到数学书，语文书或英语书时分别有 3 种， 2 种或 2 种不同的取法，所以一共有

$$
3+2+2=7
$$

种不同的取法．
一般地说, 有如下原理:

> **加法原理** 如果完成某件事有 $n$ 种方式, 在第一种方式中有 $m_1$ 种方法, 在第二种方式中有 $m_2$ 种方法 $\cdots \cdots$ ，在第 $n$ 种方式中有 $m_n$ 种方法. 那么完成这件事共有 $m_1+m_2+\cdots+m_n$ 种不同的方法.

`例` 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到， A ， B 两所大学专业如下表

![图片](/uploads/2025-12/a7b7b2.jpg){width=400px}

如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？

解：分析：要完成的事情是＂选一个专业＂．因为这名同学在 $A, B$ 两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又因为这两所大学没有共同的强项专业，所以符合分类加法计数原理的条件．

解：这名同学可以选择 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两所大学中的一所．在 A 大学中有 5 种专业选择方法，在 B 大学中有 4 种专业选择方法．因为没有共有的专业，所以根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择种数为

$$
N=5+4=9 .
$$

`例`某市的有线电视可以接收中央台 12 个频道，本地台 10 个频道和其他省市 46 个频道的节目．
（1）当这些频道播放的节目互不相同时，一台电视机共可以选看多少个不同的节目？
（2）如果有 3 个频道正在转播同一场球赛，其余频道正在播放互不相同的节目，一台电视机共可以选看多少个不同的节目？

解（1）当所有频道播放的节目互不相同时，一台电视机选看的节目可分为 3 类：

第一类，选看中央台频道的节目，有 12 个不同的节目；
第二类，选看本地台频道的节目，有 10 个不同的节目；
第三类，选看其他省市频道的节目，有 46 个不同的节目．
根据分类加法计数原理，一台电视机共可以选看

$$
12+10+46=68
$$

个不同的节目．
（2）因为有 3 个频道正在转播同一场球赛，即这 3 个频道转播的节目只有 1 个，而其余频道（共有 $(12+10+46-3)$ 个）正在播放互不相同的节目，所以，一台电视机共可以选看

$$
1+(12+10+46-3)=66
$$

个不同的节目．

**用分类加法计数原理解决计数问题时，首先要根据问题的特点确定一个适当的分类标准，然后根据这个分类标准进行分类。分类时还要注意两条基本原则：一是完成这件事的任何一种方法必须分入相应的类；二是不同类的方法必须是互不相同的．只有满足这两条基本原则才可以使计数不重不漏．**

## 乘法原理

**引例3** 从甲地到乙地，需从甲地乘汽车到丙地，再于次日从丙地乘火车到乙地，如果一天内有 4 趟汽车从甲地开往丙地，有 3 列火车从丙地开往乙地，那么两天内从甲地到达乙地有多少种不同的乘车选择？

分析 这个问题与问题1 不同。在问题 1 中，采用乘汽车或乘火车中的任何一种方式，都可以从甲地到乙地．而在这个问题中，必须经历先从甲地乘汽车到丙地，再从丙地乘火车到乙地这两个步骤，才能够从甲地到乙地．

假定从甲地到丙地的 4 趟汽车分别为 $a, b, c, d$ ，从丙地到乙地的三列火车分别为 $1,2,3$ ，则从甲地到乙地的不同路径为：

$a 1, a 2, a 3$
$b 1, b 2, b 3$
$c 1, c 2, c 3$
$d 1, d 2, d 3$

共有 $4 \times 3=12$（种）不同的乘车选择，如图

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