最后更新: 2025-11-08 15:00 查看: 139 次纠错评论(0) 课件开VIP

利用等值演算简化逻辑推理

等值演算还能帮助人们解决工作和生活中的判断问题．

## 王教授是哪里人？
`例`  在某次研讨会的中间休息时间， 3 名与会人员根据王教授的口音对他是哪个省市的人进行了判断．
甲说王教授不是苏州人，是上海人。
乙说王教授不是上海人，是苏州人。
丙说王教授既不是上海人，也不是杭州人。
听完以上 3 人的判断后，王教授笑着说，他们 3 人中有一人说的全对，有一人说对了一半，另一人说的全不对．试用逻辑演算法分析王教授到底是哪里人？

解 设命题为：
$p$ ：王教授是苏州人．
$q$ ：王教授是上海人．
$r$ ：王教授是杭州人。
$p 、 q 、 r$ 中必有一个真命题，两个假命题，要通过逻辑演算将真命题找出来．
设
甲的判断为 $A_1=\neg p \wedge q$ 。
乙的判断为 $A_2=p \wedge \neg q$ 。
丙的判断为 $A_3=\neg q \wedge \neg r$ 。
则

甲的判断全对为 $B_1=A_1=\neg p \wedge q$ 。
甲的判断对一半为 $B_2=((\neg p \wedge \neg q) \vee(p \wedge q))$ 。
甲的判断全错为 $B_3=p \wedge \neg q$ 。
乙的判断全对为 $C_1=A_2=p \wedge \neg q$ 。
乙的判断对一半为 $C_2=((p \wedge q) \vee(\neg p \wedge \neg q))$ ．

乙的判断全错为 $C_3=\neg p \wedge q$ 。
丙的判断全对为 $D_1=A_3=\neg q \wedge \neg r$ 。
丙的判断对一半为 $D_2=((q \wedge \neg r) \vee(\neg q \wedge r))$ ．
丙的判断全错为 $D_3=q \wedge r$ 。
由王教授所说：

$$
\begin{aligned}
E= & \left(B_1 \wedge C_2 \wedge D_3\right) \vee\left(B_1 \wedge C_3 \wedge D_2\right) \vee\left(B_2 \wedge C_1 \wedge D_3\right) \vee\left(B_2 \wedge C_3 \wedge D_1\right) \\
& \vee\left(B_3 \wedge C_1 \wedge D_2\right) \vee\left(B_3 \wedge C_2 \wedge D_1\right)
\end{aligned}
$$

为真命题．而

$$
\begin{aligned}
B_1 \wedge C_2 \wedge D_3 & =(\neg p \wedge q) \wedge((\neg p \wedge \neg q) \vee(p \wedge q)) \wedge(q \wedge r) \\
& \Leftrightarrow(\neg p \wedge q \wedge \neg q \wedge r) \vee(\neg p \wedge q \wedge p \wedge r) \\
& \Leftrightarrow 0 .
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
B_1 \wedge C_3 \wedge D_2 & =(\neg p \wedge q) \wedge(\neg p \wedge q) \wedge((q \wedge \neg r) \vee(\neg q \wedge r)) \\
& \Leftrightarrow(\neg p \wedge q \vee r) \vee(\neg p \wedge q \wedge \neg q \wedge r) \\
& \Leftrightarrow \neg p \wedge q \wedge \neg r .
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
B_2 \wedge C_1 \wedge D_3 & =((\neg p \wedge \neg q) \vee(p \wedge q)) \wedge(p \wedge \neg q) \wedge(q \wedge r) \\
& \Leftrightarrow(\neg p \wedge \neg q \wedge p \wedge \neg q \wedge q \wedge r) \vee(p \wedge q \wedge \neg q \wedge r) \\
& \Leftrightarrow 0 .
\end{aligned}
$$

类似可得：

$$
\begin{aligned}
& B_2 \wedge C_3 \wedge D_1 \Leftrightarrow 0 . \\
& B_3 \wedge C_1 \wedge D_2 \Leftrightarrow p \wedge \neg q \wedge r . \\
& B_3 \wedge C_2 \wedge D_1 \Leftrightarrow 0 .
\end{aligned}
$$

于是，由同一律可知，

$$
E \Leftrightarrow(\neg p \wedge q \wedge \neg r) \vee(p \wedge \neg q \wedge r) .
$$

但因为王教授不能既是上海人，又是杭州人，因而 $p 、 r$ 必有一个假命题，即 $p \wedge \neg q \wedge r \Leftrightarrow 0$ ，于是，

$$
E \Leftrightarrow \neg p \wedge q \wedge \neg r
$$

为真命题，因而必有 $p 、 r$ 为假命题，$q$ 为真命题，即王教授是上海人．甲说的全对，丙说对了一半，而乙全说错了．

## 库银被盗，哪两个人作案？

`例`有一仓库被盗，公安人员经侦察，怀疑甲，乙，丙和丁四人作案，又经细査，知道这四人中只有两人作案，在盗窃案发生的那段时间，可靠的线索有：
（1）甲，乙两人中有且只有一一个人去过仓库；
（2）乙和丁不会同时去仓库；
（3）丙若去仓库，丁必一同去；
（4）丁若没去仓库，则甲世没去．
试判断四人中哪两人去仓库作案？
此类问题，我们也可以用一种更规范的解法一一 化简范式去解决．
 
解：对于＂哪两个人作案＂的问题，设 $A, B, C, D$ 分别表示甲，乙，丙，丁去仓库作案．依题意，就有
（1）$A \bar{B}+\bar{A} B=1$ ；
（2）$B D=0$ ，即 $\bar{B}+\bar{D}=1$ ；
（3）$C \rightarrow D=1$ ，即 $\bar{C}+D=1$ ；
（4） $\bar{D} \rightarrow \bar{A}=1$ ，即 $D+\bar{A}=1$ ．
于是可得逻辑方程

$$
(A \bar{B}+\bar{A} B)(\bar{B}+\bar{D})(\bar{C}+D)(D+\bar{A})=1
$$

左边化简为＂与－或＂式为

$$
A \bar{B} D+\bar{A} B C \bar{D}=1
$$

而左边化简为最简的＂与－或＂范式为

$$
A \bar{B} C D+A \bar{B} \bar{C} D+\bar{A} B \bar{C} \bar{D}=1
$$

从而有三个解：$A \bar{B} C D=1$ 或 $A \bar{B} \bar{C} D=1$ 或 $\bar{A} B \bar{C} \bar{D}=1$ ，如
用命题的真假符号＂1＂，＂0＂表示就是：1011，1001，0100．但由题意只有两人作案．显然解是 1001 ，即作案者为甲和丁。

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