最后更新: 2025-11-09 11:14 查看: 96 次纠错评论(0) 课件开VIP

范式

## 范式
每种数字标准形都能提供很多信息，如代数式的因式分解可判断代数式根的情况．命题公式在等值演算下也有标准的形式，称为**范式**．范式有两种：析取范式和合取范式．公式的范式能表达真值表所能提供的一切信息，并能解决一些实际应用问题。

**定义1.12**（1）命题变项及其否定统称作**文字**。
（2）仅由有限个文字构成的析取式称作**简单析取式**．
（3）仅由有限个文字构成的合取式称作**简单合取式**．

例如 $p, \neg q$ 等为 1 个文字构成简单析取式；$p \vee \neg p, \neg p \vee q$ 等为 2 个文字构成的简单析取式；$\neg p \vee \neg q \vee r, p \vee \neg q \vee r$ 等为 3 个文字构成的简单析取式。 $\neg p, q$ 等为 1 个文字构成的简单合取式；$\neg p \wedge p, p \wedge \neg q$ 等为 2 个文字构成的简单合取式；$p \wedge q \wedge \neg r, \neg p \wedge p \wedge q$等为 3 个文字构成的简单合取式．应该注意： 1 个文字既是简单析取式，又是简单合取式．

**定理1.1** （1）一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含有某个命题变项及其否定式．
（2）一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含有某个命题变项及其否定式．

例如 $p \vee \neg p, p \vee \neg p \vee r$ 都是重言式．$\neg p \vee q, \neg p \vee \neg q \vee r$ 都不是重言式．$p \wedge \neg p, p \wedge \neg p \wedge r$ 都是矛盾式．$\neg p \wedge q, \neg p \wedge \neg q \wedge r$ 都不是矛盾式．

证明 留给读者思考完成。

**定义1.13**（1）由有限个简单合取式构成的析取式称为**析取范式**．
（2）由有限个简单析取式构成的合取式称为**合取范式**．
（3）析取范式与合取范式统称为**范式**．
设 $A_i(i=1,2, \cdots, s)$ 为简单合取式，则 $A \Leftrightarrow A_1 \vee A_2 \vee \cdots \vee A_s$ 为析取范式．例如，$A_1 \Leftrightarrow p \wedge \neg q, A_2 \Leftrightarrow \neg q \wedge \neg r, A_3 \Leftrightarrow p$ ，则由 $A_1, A_2, A_3$ 构成的析取范式为 $A \Leftrightarrow A_1 \vee A_2 \vee A_3 \Leftrightarrow(p \wedge \neg q) \vee(\neg q \wedge \neg r) \vee p$.

类似地，设 $A_i^{\prime}(i=1,2, \cdots, t)$ 为简单析取式，则 $A \Leftrightarrow A_1^{\prime} \wedge A_2^{\prime} \wedge \cdots \wedge A_t^{\prime}$ 为合取范式．例如，取 $A_1^{\prime} \Leftrightarrow p \vee q \vee r, A_2^{\prime} \Leftrightarrow \neg p \vee \neg q, A_3^{\prime} \Leftrightarrow r$ ，则由 $A_1^{\prime}, A_2^{\prime}, A_3^{\prime}$ 构成的合取范式为 $A \Leftrightarrow A_1^{\prime} \wedge A_2^{\prime} \wedge A_3^{\prime} \Leftrightarrow(p \vee q \vee r) \wedge(\neg p \vee \neg q) \wedge r$.

注意 形如 $\neg p \wedge q \wedge r$ 的公式既是由 1 个简单合取式构成的析取范式，又是由 3 个简单析取式构成的合取范式．类似地，形如 $p \vee \neg q \vee r$ 的公式既是含 3 个简单合取式的析取范式，又是由 1 个简单析取式构成的合取范式．

## 范式存在定理
定理1.2（1）一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合取式都是矛盾式。
（2）一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都是重言式．
（3）范式中只出现三种联结词 $\{\neg, \wedge, \vee\}$ ．

**定理 1.3 （范式存在定理)** 任一命题公式都存在着与之等值的析取范式与合取范式．
证明 首先，公式中若出现 $\{\neg, \wedge, \vee\}$ 以外的联结词 $\rightarrow$ 与 $\leftrightarrow$ ，则由蕴涵等值式与等价等值式，在等值的条件下，可以消去公式中的联结词 $\rightarrow$ 与 $\leftrightarrow$ 。

$$
A \rightarrow B \Leftrightarrow \neg A \bigvee B
$$

$$
(A \leftrightarrow B) \Leftrightarrow(\neg A \vee B) \wedge(A \vee \neg B) \Leftrightarrow(\neg A \wedge \neg B) \vee(A \wedge B)
$$

其次，在范式中不出现如下形式的公式 $\neg \neg A, \neg(A \wedge B), \neg(A \vee B)$ ．若出现的话，对其利用双重否定律和德•摩根律，从而消去多余的ᄀ，或将ᄀ 内移．

$$
\begin{gathered}
\neg \neg A \Leftrightarrow A \\
\neg(A \wedge B) \Leftrightarrow \neg A \vee \neg B \\
\neg(A \vee B) \Leftrightarrow \neg A \wedge \neg B
\end{gathered}
$$

最后，在析取范式中不出现如下形式的公式：$A \wedge(B \vee C)$ ，在合取范式中不出现如下形式的公式：$A \vee(B \wedge C)$ ，利用分配律，可得

$$
\begin{aligned}
& A \wedge(B \vee C) \Leftrightarrow(A \wedge B) \vee(A \wedge C) \\
& A \vee(B \wedge C) \Leftrightarrow(A \vee B) \wedge(A \vee C)
\end{aligned}
$$

由以上三步，可将任一公式化成与之等值的析取范式与合取范式．
据此定理，求公式的范式可采用如下步骤：

（1）消去联结词 $\rightarrow$ ，$\leftrightarrow$ 。
（2）否定词的消去（利用双重否定律）或内移（利用德•摩根律）．
（3）利用分配律：利用 $\wedge$ 对 $\vee$ 的分配律求析取范式，$\vee$ 对 $\wedge$ 的分配律求合取范式．

`例`求下列公式的析取范式与合取范式．
（1）$(p \rightarrow \neg q) \vee \neg r$ ．
（2）$(p \rightarrow q) \leftrightarrow r$ ．
解:
(1)
$$
\begin{aligned}
(p \rightarrow \neg q) \vee \neg r & \Leftrightarrow(\neg p \vee \neg q) \vee \neg r & & (\text { 蕴涵等值式, 消去 } \rightarrow) \\
& \Leftrightarrow \neg p \vee \neg q \vee \neg r & & (\text { 结合律 })
\end{aligned}
$$

（2）对公式 $(p \rightarrow q) \leftrightarrow r$ ．
先求合取范式

$$
\begin{aligned}
(p \rightarrow q) \leftrightarrow r & \Leftrightarrow(\neg(p \rightarrow q) \vee r) \wedge((p \rightarrow q) \vee \neg r) & & \text { (等价等值式, 消去↔) } \\
& \Leftrightarrow(\neg(\neg p \vee q) \vee r) \wedge((\neg p \vee q) \vee \neg r) & & \text { (蕴涵等值式, 消去 }) \\
& \Leftrightarrow((p \wedge \neg q) \vee r) \wedge(\neg p \vee q \vee \neg r) & & \text { (德•摩根律, } \neg \text { 内移) } \\
& \Leftrightarrow(p \vee r) \wedge(\neg q \vee r) \wedge(\neg p \vee q \vee \neg r) & & (\vee \text { 对 } \wedge \text { 的分配律) }
\end{aligned}
$$

再求析取范式

$$
\begin{aligned}
(p \rightarrow q) \leftrightarrow r & \Leftrightarrow(\neg(p \rightarrow q) \wedge \neg r) \vee((p \rightarrow q) \wedge r) & & \text { (等价等值式, 消去↔) } \\
& \Leftrightarrow(\neg(\neg p \vee q) \wedge \neg r) \vee((\neg p \vee q) \wedge r) & & \text { (蕴涵等值式, 消去 } \rightarrow \text { ) } \\
& \Leftrightarrow(p \wedge \neg q \wedge \neg r) \vee(\neg p \wedge r) \vee(q \wedge r) & & \text { (德•摩根律, } \neg \text { 内移) }
\end{aligned}
$$

一般地，命题公式的析取范式是不唯一的，同样合取范式也是不唯一的．为了使命题公式的范式唯一，可以进一步将其规范化，这就是下面要讲到的主范式，包括主析取范式和主合取范式。

`例`求下面公式的析取范式与合取范式：

$$
(p \rightarrow q) \leftrightarrow r
$$

解 为了清晰和无误，利用交换律使每个简单析取式和简单合取式中命题变项都按字典顺序出现．
（1）先求合取范式
 ![图片](/uploads/2025-11/dc6725.jpg)
 
 含 3 个简单析取式的合取范式．
（2）求析取范式
求析取范式与求合取范式的前两步是相同的，只是在利用分配律时有所不同，因而前 4 步与
（1）相同，接着使用 $\wedge$ 对 $\vee$ 的分配律．
 ![图片](/uploads/2025-11/f5d072.jpg)

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