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数学分析
第二篇 极限论
单调有界数列收敛定理
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2025-03-14 11:51
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单调有界数列收敛定理
## 2.3.1 单调有界数列收敛定理 首先给出数列为单调和严格单调的定义. **定义2.8** 设数列 $\left\{x_n\right\}$ 对每个 $n$ 满足不等式 $x_n \leqslant x_{n+1}\left(x_n \geqslant x_{n+1}\right)$ ,则称 $\left\{x_n\right\}$ 为单调增加数列(单调减少数列),可记为 $x_n \uparrow\left(x_n \downarrow\right.$ ).单调增加数列和单调减少数列统称为单调数列.又设数列 $\left\{x_n\right\}$ 对每个 $n$ 满足严格的不等式 $x_n<x_{n+1}$ $\left(x_n>x_{n+1}\right)$ ,则称 $\left\{x_n\right\}$ 为严格单调增加数列(严格单调减少数列),严格单调增加数列和严格单调减少数列统称为严格单调数列. 注 在讨论数列极限问题时,在单调数列条件下成立的结论可以推广到从某个下标 $n_0$ 开始满足单调条件的数列.这是因为数列的玫散性以及在收玫情况的极限值与某个下标之前的项无关(参见 $\S 2.1$ 的练习题 $4(3)$ )。 对于单调数列来说,存在判定其收玫或发散的简单方法,这就是下面要介绍的单调有界数列收玫定理. > **定理 2.15 (单调有界数列收敛定理)** 单调有界数列一定收敛. 证 只写出对于单调增加情况的证明.对于单调减少情况可以用相同的方法给出证明,也可以将数列乘以 -1 而转化为单调增加情况。 这里的工具是确界存在定理(即定理 1.5)。 设有 $x_n \uparrow$ ,且有界.这时有 $$ x_1 \leqslant x_2 \leqslant \cdots \leqslant x_n \leqslant \cdots, $$ 由此可见单调增加数列一定有下界( $x_1$ 就是数列的最大下界,即下确界),因此"单调增加数列有界"等价于"单调增加数列有上界"。 利用确界存在定理,数列 $\left\{x_n\right\}$ 有上界则必有上确界,将它记为 $\beta$ . 从上确界的定义1.5(以及定义1.6)知道,一方面有 $$ x_n \leqslant \beta \forall n
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