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单调有界数列收敛定理

## 2.3.1 单调有界数列收敛定理
首先给出数列为单调和严格单调的定义．

**定义2.8** 设数列 $\left\{x_n\right\}$ 对每个 $n$ 满足不等式 $x_n \leqslant x_{n+1}\left(x_n \geqslant x_{n+1}\right)$ ，则称 $\left\{x_n\right\}$ 为单调增加数列（单调减少数列），可记为 $x_n \uparrow\left(x_n \downarrow\right.$ ）．单调增加数列和单调减少数列统称为单调数列．又设数列 $\left\{x_n\right\}$ 对每个 $n$ 满足严格的不等式 $x_n<x_{n+1}$ $\left(x_n>x_{n+1}\right)$ ，则称 $\left\{x_n\right\}$ 为严格单调增加数列（严格单调减少数列），严格单调增加数列和严格单调减少数列统称为严格单调数列．

注 在讨论数列极限问题时，在单调数列条件下成立的结论可以推广到从某个下标 $n_0$ 开始满足单调条件的数列．这是因为数列的玫散性以及在收玫情况的极限值与某个下标之前的项无关（参见 $\S 2.1$ 的练习题 $4(3)$ ）。

对于单调数列来说，存在判定其收玫或发散的简单方法，这就是下面要介绍的单调有界数列收玫定理．

> **定理 2.15 (单调有界数列收敛定理)**  单调有界数列一定收敛．

证 只写出对于单调增加情况的证明．对于单调减少情况可以用相同的方法给出证明，也可以将数列乘以 -1 而转化为单调增加情况。

这里的工具是确界存在定理（即定理 1．5）。
设有 $x_n \uparrow$ ，且有界．这时有
$$
x_1 \leqslant x_2 \leqslant \cdots \leqslant x_n \leqslant \cdots,
$$

由此可见单调增加数列一定有下界（ $x_1$ 就是数列的最大下界，即下确界），因此＂单调增加数列有界＂等价于＂单调增加数列有上界＂。

利用确界存在定理，数列 $\left\{x_n\right\}$ 有上界则必有上确界，将它记为 $\beta$ ．
从上确界的定义1．5（以及定义1．6）知道，一方面有

$$
x_n \leqslant \beta \forall n,
$$

即 $\beta$ 是数列的上界，另一方面，$\forall \varepsilon>0, \beta-\varepsilon$ 不可能是数列的上界，从而数列中一定存在某一项大于 $\beta-\varepsilon$ ，将这一项记为 $x_N$ ，这样就有 $\beta-\varepsilon<x_N$ ．
再利用 $x_n \uparrow$ ，当 $n \geqslant N$ 时，便有（参见图 2．5）

$$
\beta-\varepsilon<x_N \leqslant x_n \leqslant \beta,
$$

从而当 $n \geqslant N$ 时成立

$$
\left|x_n-\beta\right|<\varepsilon,
$$

这样就证明了 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=\beta$ ．
 ![图片](/uploads/2025-01/33d51f.jpg)
 
 在上述定理的基础上得到下列推论，它完全解决了单调数列的玫散性问题．
 
## 推论 
推论 若 $\left\{x_n\right\}$ 为单调数列，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 一定有意义．特别当 $\left\{x_n\right\}$ 单调增加无上界时， $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=+\infty$ ；当 $\left\{x_n\right\}$ 单调减少无下界时， $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=-\infty$ ．

证 只写出 $x_n \uparrow$ 且无上界情况的证明。
由于 $\left\{x_n\right\}$ 无上界，因此 $\forall G>0$ ，数列中必有某一项大于 $G$ ，将它记为 $x_N$ ，则 $\forall n \geqslant N$ ，就有 $x_n \geqslant x_N>G$ ，这样就得到 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=+\infty$（也可记为 $x_n \uparrow+\infty$ ）．

下面举一个例题，它已见于 $\S 2.1$ 的练习题 14 ，用以说明前两节中的许多问题可以用单调有界数列收玫定理得到新的解法．

**例题2.25** 求 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^{\varepsilon}}{a^n}$ ，其中 $a>1, \varepsilon>0$ ．
解 记 $x_n=\frac{n^{\varepsilon}}{a^n}$ ，则有

$$
x_{n+1}=x_n \cdot \frac{1}{a} \cdot\left(\frac{n+1}{n}\right)^{\varepsilon}=x_n \cdot \frac{1}{a} \cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)^{\varepsilon} .
$$

由于右边最后一个因子的极限为 1 ，而 $a>1$ ，因此可见当 $n$ 充分大时，$x_{n+1}<x_n$ ．由于数列的极限只是 $n$ 充分大时的性质，而且数列的每一项大于 0 ，数 0 就是它的下界，因此对这个数列仍然可以应用单调有界数列收玫定理，从而知道极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在．将这个极限记为 $b$ ，并在 $(2.11)$ 两边令 $n \rightarrow \infty$ ，即取极限，就得到

$$
b=b \cdot \frac{1}{a}
$$

由于 $a>1$ ，只能有 $b=0$ ．
例题 2.25 中的方法可以抽象成为求极限的一种工具来使用．

**例题2.26** 若对于数列 $\left\{x_n\right\}$ 存在常数 $c, 0<c<1$ ，使得对于充分大的 $n$ 成立不等式

$$
\left|\frac{x_{n+1}}{x_n}\right| \leqslant c
$$

证明： $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=0$ ．
解 由条件知道数列 $\left\{\left|x_n\right|\right\}$ 为单调减少数列，又以 0 为下界，因此存在极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left|x_n\right|$ ．将这个极限记为 $a \geqslant 0$ ，并在等式 $\left|x_{n+1}\right| \leqslant c\left|x_n\right|$ 两边令 $n \rightarrow \infty$ ，就

得到 $0 \leqslant a \leqslant c a$ ．由于 $0<c<1$ ，就得到 $a=0$ ．从 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left|x_n\right|=0$ 可见就有 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=0$ ．

注 以上两个例题中的方法有一个共同点，这就是观察一个数列的后项与前项之比（或取了绝对值后的后项与前项之比），其目的就是为了研究数列（或取了绝对值之后的数列）是否具有某种单调性．此外，观察后项与前项之差是研究数列单调性的另一种重要方法（例如回顾定理 2．7）．

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