最后更新: 2025-11-10 10:53 查看: 316 次纠错评论(0) 课件开VIP

数列的上极限与下极限

> 研究级数的敛散性常常需要借助于某些数列，但这些数列本身却不一定收敛，因而有必要引进比＂极限存在＂稍弱一些、并在一定程度上反映其变化规律的新概念．Bolzano－Weierstrass 定理告诉我们，有界数列中必有收敛子列。这启示我们，对不存在极限的数列，或许可以用它的子列的极限情况来刻画它本身的变化情况．

## 上极限和下极限
一个数列不一定收敛，即不一定有极限，但是一定有上极限和下极限．

**特别是以下几点：有界数列必有收敛子列；若点 $\xi$ 的每一个邻域中都含有 $\left\{x_n\right\}$ 中的无限多项，则 $\xi$ 必是该数列的某个收敛子列的极限；它的反面也成立．**

### 上极限和下极限的定义
若数列 $\left\{x_n\right\}$ 发散，则一定存在子列 $\left\{x_{n_k}\right\}$ ，使得 $\lim _{k \rightarrow \infty} x_{n_k}$ 有意义．实际上，若 $\left\{x_n\right\}$ 有界，则可用凝聚定理知道存在收敛的子列．若 $\left\{x_n\right\}$ 无上界，则存在发散于 $+\infty$ 的子列，若 $\left\{x_n\right\}$ 无下界，则存在发散于 $-\infty$ 的子列。今后，称所有这些情况的 $\lim _{k \rightarrow \infty} x_{n_k}=a$ 为数列 $\left\{x_n\right\}$ 的极限点，其中 $a$ 可以是有限数，也可以是 $+\infty$ 和 $-\infty$ ．为区别起见，称 $a$ 为有限数的情况为正常极限点，而将 $a= \pm \infty$ 称为非正常极限点．

在需要比较包括 $\pm \infty$ 在内的极限点的大小时，我们约定：$+\infty$ 大于任何有限数，$-\infty$ 小于任何有限数．

`例` 举几个例子．
（1）数列 $\left\{(-1)^n\right\}$ 的收敛子列虽有无限多个，但极限点只有两个：-1 与 1 ；
（2）数列 $\left\{n(-1)^n\right\}$ 的极限点也只有两个：$-\infty$ 与 $+\infty$ ；
（3）数列 $\left\{n^{(-1)^n}\right\}$ 的极限点是 0 和 $+\infty$ ；

**定义**  $E$ 的最大值 $H=\max E$ 称为数列 $\left\{x_n\right\}$ 的上极限，记为

$$
H=\varlimsup_{n \rightarrow \infty} x_n \text {; }
$$

$E$ 的最小值 $h=\min E$ 称为数列 $\left\{x_n\right\}$ 的下极限，记为

$$
h=\underline{\lim }_{n \rightarrow \infty} x_n .
$$

**定理**  设 $\left\{x_n\right\}$ 是有界数列，则 $\left\{x_n\right\}$ 收敛的充分必要条件是

$$
\varlimsup_{n \rightarrow \infty} x_n=\underline{\lim }_{n \rightarrow \infty} x_n
$$
证明：略

数列的上极限和下极限一定存在且惟一。即

$\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在（有限数、 $+\infty$ 或 $-\infty$ ）的充分必要条件是

$$
\varlimsup_{n \rightarrow \infty} x_n=\underline{\lim }_{n \rightarrow \infty} x_n .
$$

`例` 求数列 $\left\{x_n=\cos \frac{2 n \pi}{5}\right\}$ 的上极限与下极限．
解 因为 $x_{S_{n-4}}=x_{S_{n-1}}=\cos \frac{2 \pi}{5}, x_{S_{n-3}}=x_{S_{n-2}}=-\cos \frac{\pi}{5}, x_{S_n}=1$ ，所以 $\left\{x_n\right\}$ 的最大极限点是 1 ，最小极限点是 $-\cos \frac{\pi}{5}$ ，即

$$
\varlimsup_{n \rightarrow \infty} x_n=1, \quad \underline{\lim }_{n \rightarrow \infty} x_n=-\cos \frac{\pi}{5} .
$$

`例`求数列 $\left\{x_n=n^{(-1)^n}\right\}$ 的上极限与下极限．
解 此数列为

$$
1,2, \frac{1}{3}, 4, \frac{1}{5}, 6, \frac{1}{7}, 8, \cdots,
$$

它没有上界，因而 $\varlimsup_{n \rightarrow \infty} x_n=+\infty$ ．
又由 $x_n>0$ 且 $\left\{x_{2 n-1}\right\}$ 的极限为 0 ，即知

$$
\underline{\lim }_{n \rightarrow \infty} x_n=0 .
$$

`例`求数列 $\left\{x_n=-n\right\}$ 的上极限与下极限．
解 由于 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=-\infty$ ，因而

$$
\varlimsup_{n \rightarrow \infty} x_n=\underline{\lim }_{n \rightarrow \infty} x_n=\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=-\infty .
$$

## 疑难解答1：有界数列为什么包含无穷

数学家为了严谨，使用了以下定义：对于数列  $ \{a_n\}  $，
-  $ \lim_{n \to \infty} a_n = +\infty  $ 当且仅当：**对于任意  $ M > 0  $（无论多大），都存在一个正整数  $ N  $，使得当  $ n > N  $ 时，恒有  $ a_n > M  $。**
-  $ \lim_{n \to \infty} a_n = -\infty  $ 当且仅当：**对于任意  $ M < 0  $（无论多小），都存在一个正整数  $ N  $，使得当  $ n > N  $ 时，恒有  $ a_n < M  $。**

并不是所有不收敛的数列（发散数列）都一样。有些数列的行为是混乱的（比如在1和-1之间震荡的数列  $ (-1)^n  $），而极限为无穷大的数列，其发散行为是非常有规律和明确的：

- **极限为正无穷（ $ \lim_{n \to \infty} a_n = +\infty  $）**： 意味着无论你设定一个多么大的正数  $ M  $（比如一百万，一亿），这个数列总会在某一项之后，**所有后续的项**都比  $ M  $ 还要大。它朝着一个明确的方向（越来越大）无限地增长下去。
    - **例子**：数列  $ a_n = n  $,  $ a_n = n^2  $,  $ a_n = 2^n  $。无论你设定  $ M  $ 多大，总有一个  $ N  $，使得当  $ n > N  $ 时，所有的  $ a_n > M  $。

- **极限为负无穷（ $ \lim_{n \to \infty} a_n = -\infty  $）**： 同理，意味着无论你设定一个多么小的负数  $ M  $（比如负一百万，负一亿），这个数列总会在某一项之后，**所有后续的项**都比  $ M  $ 还要小。它朝着负方向无限地减小下去。
    - **例子**：数列  $ a_n = -n  $,  $ a_n = -n^3  $。
   
对于有界数理，例如$y=n^3$ 我们称呼他是有界的，只是界限无穷大，而$y=-n^3$ 也是有界的，只是界限无穷小。
一个比较难理解的概念是：既然是无穷大，为什么还说他是有界的，有界不是一个确定的数吗？

**极限为无穷大的意义（分为正无穷与负无穷），在于它精确地描述了一种“单向的、无界的”增长或减少趋势。它赋予了“发散”一种明确的结构和方向，是数学分析中用来刻画函数和序列渐近行为的一个强大而基本的工具。他是一种抽象思维**

## 疑难解答2：有界数列必包含一个收敛子列
 在有界数列 $\left\{x_n\right\}$ 中，若存在它的一个子列 $\left\{x_{n_k}\right\}$ 使得
$$
\lim _{k \rightarrow \infty} x_{n_k}=\xi,
$$
则称 $\xi$ 为数列 $\left\{x_n\right\}$ 的一个极限点．
显然，＂$\xi$ 是数列 $\left\{x_n\right\}$ 的极限点＂也可以等价地表述为：＂对于任意给定的 $\varepsilon>0$ ，存在 $\left\{x_n\right\}$ 中的无穷多个项属于 $\xi$ 的 $\varepsilon$ 邻域＂。

记

$$
E=\left\{\xi \mid \xi \text { 是 }\left\{x_n\right\} \text { 的极限点 }\right\} \text {, }
$$

则 $E$ 显然是非空的有界集合，因此，$E$ 的上确界 $H=\sup E$ 和下确界 $h=\inf E$ 存在。

### 如何理解这个定义？

让我们用之前的例子来理解：
- 数列本身：  $ a_n = (-1)^n = 1, -1, 1, -1, 1, -1, \ldots  $
  这个数列本身是发散的，它在1和-1之间来回震荡，不趋向于任何一个值。 但是，它是有界的（所有项都在-1和1之间）。 根据定理，我们可以找到收敛的子列：
    - **子列1**：取所有奇数项  $ a_1, a_3, a_5, \ldots = 1, 1, 1, \ldots  $。这个子列收敛于  $ 1  $。
    - **子列2**：取所有偶数项  $ a_2, a_4, a_6, \ldots = -1, -1, -1, \ldots  $。这个子列收敛于  $ -1  $。

这个例子说明，即使“母数列”不收敛，它内部也“隐藏”着收敛的“线索”（即收敛的子列）。

`例`考虑数列  
 $$
x_n = (-1)^n + \frac{1}{n}
 $$
即：
 $$
x_1 = -1 + 1 = 0, \quad x_2 = 1 + \frac12 = 1.5, \quad x_3 = -1 + \frac13 \approx -0.667, \quad x_4 = 1 + \frac14 = 1.25, \dots
 $$

这个数列在区间 $[-1, 1.5]$ 内，所以是有界的。  
但显然它不收敛，因为它在 $-1$ 和 $1$ 附近来回振荡（加上一个趋于 0 的项 $1/n$）。
 
### 构造一个收敛子列

我们可以取 **偶数项** 的子列：
 $$
x_{2n} = 1 + \frac{1}{2n}
 $$
这个子列收敛到 $1$。

也可以取 **奇数项** 的子列：
 $$
x_{2n-1} = -1 + \frac{1}{2n-1}
 $$
这个子列收敛到 $-1$。

也就是原数列不收敛，但是我们总可以找到他的一个子数列收敛。

因此，原数列 $x_n$ 有界，并且我们找到了两个收敛到不同极限的子列，这正好符合波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理的结论。

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