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柯西 Cauchy 中值定理

## 7.1.4 Cauchy 中值定理
这又是一个中值定理，也很有用．如果说 Rolle 定理和 Lagrange 定理是对于一个函数的中值定理，则 Cauchy 中值定理是对于一对函数的中值定理．

定理 7.4 （Cauchy 中值定理）设 $f, g$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 上可微，且 $g(a) \neq g(b),\left[f^{\prime}(x)\right]^2+\left[g^{\prime}(x)\right]^2 \neq 0 \forall x \in(a, b)$ ，则存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得

$$
\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)}
$$

证 利用 $g(a) \neq g(b)$ ，令 $\lambda=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$ ，构造辅助函数

$$
F(x)=f(x)-\lambda[g(x)-g(a)],
$$

由于 $F$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 上可微，且 $F(a)=f(a), F(b)=f(b)-[f(b)-$ $f(a)]=f(a)=F(a)$ ，用 Rolle 定理可知存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $F^{\prime}(\xi)=0$ 。这就是

$$
f^{\prime}(\xi)=\lambda g^{\prime}(\xi)
$$

由此式可以肯定 $g^{\prime}(\xi) \neq 0$ ，否则又有 $f^{\prime}(\xi)=0$ ，从而违反 $\left[f^{\prime}(x)\right]^2+\left[g^{\prime}(x)\right]^2 \neq$ $0 \forall x \in(a, b)$ 的条件．两边除以 $g^{\prime}(\xi)$ 即得到所要的结论．

注 若其中 $g(x)=x$ ，就得到 Lagrange 中值定理，因此可以说 Cauchy 中值定理是 Lagrange 中值定理的推广。

关于 Cauchy 中值定理的几何意义可以从参数方程表示的曲线来理解。回顾 $\S 6.3 .4$ 一开始关于参数方程的说明，可以将 Cauchy 中值定理中的一对函数改写为描述曲线的参数方程：

$$
x=f(t), \quad y=g(t), \quad a \leqslant t \leqslant b
$$

条件 $\left[f^{\prime}(t)\right]^2+\left[g^{\prime}(t)\right]^2 \neq 0$ 在加强之后可保证（参见 $\S 6.3 .4$ 中参数方程的求导法则）在曲线的每点邻近或者可确定 $y$ 为 $x$ 的可微函数，或者可确定 $x$ 为 $y$ 的可微函数，其导数可以用 $\S 6.3 .4$ 中的参数方程求导法则写出。

如右边的图7．3所示，Cauchy 中值定理的结论表明，曲线的两个端点 $(f(a), g(b))$ 和 $(f(b), g(b))$ 的联线必定与曲线在参数 $\xi$ 对应的点 $(f(\xi), g(\xi))$ 处的切线平行．（定理中的条件 $g(a) \neq g(b)$ 使得曲线端点联线不会平行于 $y$ 轴，当然也可以将条件换为 $f(a) \neq f(b)$ 而写出对称的结论．）

![图片](/uploads/2025-02/5178a9.jpg)
  例题 7.4 设 $x_1, x_2>0$ ，证明：存在 $\xi \in\left(x_1, x_2\right)$ ，满足

$$
x_1 e^{x_2}-x_2 e^{x_1}=(1-\xi) e^{\xi}\left(x_1-x_2\right)
$$

解 将要证的等式右边的因子 $x_1-x_2$ 除到左边，并将左边改写为

$$
\frac{x_1 e^{x_2}-x_2 e^{x_1}}{x_1-x_2}=\frac{\frac{e^{x_2}}{x_2}-\frac{e^{x_1}}{x_1}}{\frac{1}{x_2}-\frac{1}{x_1}}
$$

然后对于函数 $f(x)=\frac{ e ^x}{x}$ 和 $g(x)=\frac{1}{x}$ 用 Cauchy 中值定理即可（注意验证定理条件成立）．

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