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拉格朗日 Lagrange 中值定理

## 7.1.3 Lagrange 中值定理
Lagrange 中值定理与 Rolle 定理等价，然而有更多的用处，是微分学中的主要结果，经常称为**微分中值定理**．

定理 7.3 （Lagrange 中值定理）设函数 $f$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 上可微，则必定存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得成立

$$
f(b)-f(a)=f^{\prime}(\xi)(b-a) ...(7.2)
$$

在证明之前请先观察图7．2的左分图。从图中可见在点 $(\xi, f(\xi))$ 处曲线 $y=f(x)$ 的切线与连接点 $(a, f(a))$ 和 $(b, f(b))$ 的直线段平行．这就是等式 $(7.2)$ 的几何意义．图 7.2 的右分图则说明满足条件的点 $\xi$ 可以不惟一．
 ![图片](/uploads/2025-02/62cbbb.jpg)
 显然，如果 $f(a)=f(b)$ ，则就是 Rolle 定理．因此 Lagrange 定理是 Rolle 定理的推广，它们都是中值定理。
 
证明 Lagrange 定理的方法很多．对比图 7.2 与图 7.1 可以给我们一个提示，就是将曲线 $y=f(x)$ 减去连接点 $(a, f(a))$ 和 $(b, f(b))$ 的直线段，从而将问题归结为 Rolle 定理．这也可以说是第三章 $\S 3.2 .6$ 的图形合成法的一个理论应用．下面给出的证明并不完全如此，但实质相同．

Lagrange 中值定理的证明 设 $\lambda=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ ，构造辅助函数

$$
F(x)=f(x)-\lambda(x-a) .
$$

函数 $F$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 上可微，又可计算出有 $F(a)=F(b)=f(a)$ ，因此可以对 $F$ 用 Rolle 定理，知道存在 $\xi \in(a, b)$ ，满足 $F^{\prime}(\xi)=0$ ．这就是

$$
f^{\prime}(\xi)=\lambda
$$

它等价于 $f(b)-f(a)=f^{\prime}(\xi)(b-a)$ ．
注 由于 $a<\xi<b$ ，因此可以将 $\xi$ 表示为

$$
\xi=a+\theta(b-a) \text {, 其中 } 0<\theta<1 \text {. }
$$

这样就可以将 Lagrange 微分中值定理改写为

$$
f(b)-f(a)=f^{\prime}(a+\theta(b-a))(b-a) ...(7.3)
$$

这也是微分中值定理的一种常用形式．
又如，对于可微函数 $y=f(x)$ ，可将它的增量用 Lagrange 微分中值定理写出如下：

$$
\Delta y=f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)=f^{\prime}\left(x_0+\theta \Delta x\right) \Delta x, \quad 0<\theta<1
$$

这个公式与公式（7．2），（7．3）一起都称为**有限增量公式**．在（7．4）中对自变量增量 $\Delta x$ 的大小没有限制，只要 $f$ 在 $[x, x+\Delta x]$ 上连续和在 $(x, x+\Delta x)$ 上可微．

与之相比，回顾微分定义中的（6．11）和定理 6.5 中的（6．12），即

$$
\Delta y=f^{\prime}\left(x_0\right) \Delta x+o(\Delta x)(\Delta x \rightarrow 0)
$$

其意义很不一样．（7．5）刻画的是一个极限过程．它只表明当 $\Delta x$ 充分小时有 $\Delta x \approx d y$ ．因此也将上式称为无穷小增量公式．

两个公式成立的条件也完全不同。（7．5）的成立只要存在导数 $f^{\prime}\left(x_0\right)$ 即可，而有限增量公式（7．4）的成立则如前述所示需要强得多的条件。

有限增量公式（7．2）－（7．4）的缺点是其中的 $\theta$ 或 $\xi$ 是不知道的，也不一定惟一，但这并不影响它在许多问题中的应用．

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