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罗尔定理 Rolle 定理

## 7.1.2 Rolle 定理
什么条件下会有驻点？Rolle  定理给出了一个很好的回答。虽然这只是存在驻点的充分条件，但却具有典型性，因此很有用。此外，从下面的内容可以知道 Rolle 定理就是一个中值定理，它是许多其他＂中值定理＂的基础。

现在我们叙述定理。在证明之前可从图 7.1 的两个分图观察其几何意义，即若曲线 $y=f(x)$ 的两端纵坐标相等，则在曲线上至少有一个点的切线平行于 $x$ 轴．

定理 7.2 （Rolle 定理）若函数 $f$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 上可微且 $f(a)=$ $f(b)$ ，则一定存在点 $\xi \in(a, b)$ ，满足 $f^{\prime}(\xi)=0$ ．
 ![图片](/uploads/2025-02/f58de6.jpg)
 
 证 分几种情况讨论．
若 $f$ 在 $[a, b]$ 上为常值函数，则导数处处为 0 ，因此任取一个 $\xi \in(a, b)$ 即可．
若 $f$ 在 $[a, b]$ 上能够取到比 $f(a)=f(b)$ 更大的值，则由于 $f$ 在 $[a, b]$ 上连续，因此一定取到最大值．于是可见最大值点 $\xi$ 不会是端点，即一定在 $(a, b)$ 中，也就一定是极大值点，从而用 Fermat 定理即知 $f^{\prime}(\xi)=0$ ．

对于 $f$ 在 $[a, b]$ 上取到比 $f(a)=f(b)$ 更小的值的情况，证明是类似的．这样就对于所有可能性证明了定理的结论成立．

注 Rolle 定理中的 3 个条件一个也不能少．例如在 $[-1,1]$ 上的绝对值函数 $f(x)=|x|$ ，它除了在 $x=0$ 不可导之外满足 Rolle 定理的所有其他条件，但结论不成立．请读者举出由于其他条件不成立而导致 Rolle 定理结论不成立的例子．

下面的推论是 Rolle 定理的一个应用。（从后面的 Darboux 定理（即定理 7．8）的推论可知这时可以得到更强的结论．）

> 推论 若函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上可导，且 $f^{\prime}(x)$ 没有零点，则方程 $f(x)=0$ 在 $I$中至多只有一个根．

例题 7.3 设 $f$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $[a, b)$ 上连续可微，在 $(a, b)$ 上二阶可微且 $f(a)=f^{\prime}(a)=0, f(b)=0$ ．证明：$f^{\prime \prime}(x)=0$ 在 $(a, b)$ 中有根．

证 由于 $f(a)=f(b), f$ 在区间 $[a, b]$ 上满足 Rolle 定理的全部条件．对于 $f$ 在 $[a, b]$ 上用 Rolle 定理，得到点 $\xi_1 \in(a, b)$ ，满足 $f^{\prime}\left(\xi_1\right)=0$ ．

然后由于 $f^{\prime}(a)=f^{\prime}\left(\xi_1\right)=0$ ，导函数 $f^{\prime}$ 在区间 $\left[a, \xi_1\right]$ 上满足 Rolle 定理的全部条件．对于 $f^{\prime}$ 在 $\left[a, \xi_1\right]$ 上用 Rolle 定理，得到点 $\xi_2 \in\left(a, \xi_1\right) \subset(a, b)$ ，满足 $f^{\prime \prime}\left(\xi_2\right)=0$ 。

注 函数 $f$ 连续可微就是指该函数存在连续的导函数．此外，还需要说明导函数在区间端点连续的意义．例如，若说 $f^{\prime}$ 于区间 $[a, b]$ 的左端点 $a$ 连续，这就是指 $f$在该点存在右导数 $f_{+}^{\prime}(a)$ ，而且满足条件

$$
\lim _{x \rightarrow a^{+}} f^{\prime}(x)=f_{+}^{\prime}(a)
$$

上述条件也可写为

$$
f^{\prime}\left(a^{+}\right)=f_{+}^{\prime}(a)
$$

注意上式左边是导函数 $f^{\prime}(x)$ 在点 $a$ 的右侧极限，右边是 $f$ 在点 $a$ 的右侧导数，两者必须区别开来。这个等式不是无条件成立的。（关于这个等式的进一步推论见后面的导数极限定理 7．9．）

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