最后更新: 2025-03-15 11:16 查看: 265 次纠错评论(0) 课件开VIP

费马定理 Fermat

## 7.1.1 Fermat 定理
有许多应用问题可以归结为求函数的最大值或最小值，这发展成为应用数学中的最优化分支，它又是运筹学的组成部分。

但是使得函数值达到最值的自变量值，即最值点，往往不容易求，于是我们退而求其次，先求极值点．（回顾第三章 $\S 3.3 .5$ 中的定义 3.8 ）．注意极值和极值点与最值和最值点有密切联系但又有不同．根据定义，极值点必须是定义域的内点．极值未必是最值．但若最值点为定义域的内点，则这个最值点也是极值点。

由此可见，对于区间上定义的一元函数来说，不是极值点的最值点只能是定义区间的端点．而端点至多只有两个．于是原则上只要求出所有极值点和端点的函数值，就可以从中得到最值。

于是问题变为求函数的极值和极值点．如何判定函数定义区间的内点是极值点？在这方面微分学可以起重要作用，这就是 Fermat ${ }^{(1)}$ 定理，它在极限点为函数的可导点时对极值点给出了准确的刻画。

在叙述和证明 Fermat 定理之前，先证明一个简单而有用的引理。
## 引理
引理 设函数 $f$ 在点 $x_0$ 可导，且 $f^{\prime}\left(x_0\right)>0\left(f^{\prime}\left(x_0\right)<0\right)$ ，则存在 $\delta>0$ ：

$$
\begin{aligned}
& \forall x \in\left(x_0-\delta, x_0\right): f(x)<f\left(x_0\right)\left(f(x)>f\left(x_0\right)\right), \\
& \forall x \in\left(x_0, x_0+\delta\right): f(x)>f\left(x_0\right)\left(f(x)<f\left(x_0\right)\right)
\end{aligned}
$$

证 从 $f^{\prime}\left(x_0\right)=\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$ 可知，若 $f^{\prime}\left(x_0\right)>0$ ，则存在 $\delta>0$ ，使得

当 $0<\left|x-x_0\right|<\delta$ 时差商 $\frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}>0$ ，即 $f(x)-f\left(x_0\right)$ 与 $x-x_0$ 同号，这就是所要求证的结论．对 $f^{\prime}\left(x_0\right)<0$ 的情况的证明是类似的．

注 联系到导数 $f^{\prime}\left(x_0\right)$ 的符号的几何意义（参见第六章的图6．3），引理的结论是明显的。但是这里要注意，若只知道 $f$ 于某一个点 $x_0$ 处的导数大于 0 或小于 0 ，则不能保证 $f$ 在 $x_0$ 的一个邻域中单调增加或单调减少。读者可以参看图 3.19 并构造出具体的例子．留作练习题．

## Fermat 定理
定理 7.1 （Fermat 定理）若函数 $f$ 在点 $x_0$ 达到极值，且于该点可导，则 $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$ ．

证 不妨设 $x_0$ 是 $f$ 的极大值点．从引理可见，若 $f^{\prime}\left(x_0\right)>0$ ，则在 $x_0$ 右侧邻近有 $f(x)>f\left(x_0\right)$ ，若 $f^{\prime}\left(x_0\right)<0$ ，则在 $x_0$ 左侧邻近有 $f(x)>f\left(x_0\right)$ ，因此都引出矛盾．这表明只能有 $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$ 。

对于 $x_0$ 是 $f$ 的极小值点的情况，观察 $-f$ 即可得出相同的结论．
下面举几个例题．

例题 7．1 $f(x)=x^3$ 在点 $x=0$ 处导数为 0 ，但 $x=0$ 不是极值点。这表明 Fermat 定理中的 $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$ 只是 $x_0$ 为极值点的必要条件，并不是充分条件．

例题 7.2 在例题 3.5 中的绝对值函数 $f(x)=|x|, x_0=0$ 是其极小值点，也是最小值点．由于 $f_{+}^{\prime}(0)=1, f_{-}^{\prime}(0)=-1$ ，因此 $f^{\prime}(0)$ 不存在．这表明极值点未必是函数的可导点．

> 推论 若 $x_0$ 是函数 $f$ 的极值点，则只有两种可能：或者 $f$ 在点 $x_0$ 处不可导，或者 $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$ ．

于是 Fermat 定理提供了寻找极值点和最值点的重要线索．办法是求出所有导数等于 0 的点，又找出所有导数不存在的点，则极值点必在其中．若又将端点考虑进来，则就可以找到最值点．

为方便起见，今后称 $f^{\prime}(x)=0$ 的点为**驻点**或**平稳点**（stationary point），又将驻点和导数不存在的点一起称为**极值可疑点**．

注 驻点的本意是指在它的邻近函数值变化极为平缓．由于在驻点处 $d y=0$ ，可知 $\Delta y=o(\Delta x)(\Delta x \rightarrow 0)$ ．具体来说，即当 $\Delta x$ 趋于 0 时，$\Delta y$ 是更高阶的无穷小量．例如，$y=x^3$ ，当 $|\Delta x| \leqslant 0.1$ 时 $|\Delta y| \leqslant 0.001$ ．还可以参看图 6.12 ，其中的函数是 $y=x^2, x=0$ 也是一个驻点．

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：曲率

下一篇：罗尔定理 Rolle 定理

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)