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数学分析
第四篇 一元函数导数与微分
费马定理 Fermat
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2025-03-15 11:16
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费马定理 Fermat
## 7.1.1 Fermat 定理 有许多应用问题可以归结为求函数的最大值或最小值,这发展成为应用数学中的最优化分支,它又是运筹学的组成部分。 但是使得函数值达到最值的自变量值,即最值点,往往不容易求,于是我们退而求其次,先求极值点.(回顾第三章 $\S 3.3 .5$ 中的定义 3.8 ).注意极值和极值点与最值和最值点有密切联系但又有不同.根据定义,极值点必须是定义域的内点.极值未必是最值.但若最值点为定义域的内点,则这个最值点也是极值点。 由此可见,对于区间上定义的一元函数来说,不是极值点的最值点只能是定义区间的端点.而端点至多只有两个.于是原则上只要求出所有极值点和端点的函数值,就可以从中得到最值。 于是问题变为求函数的极值和极值点.如何判定函数定义区间的内点是极值点?在这方面微分学可以起重要作用,这就是 Fermat ${ }^{(1)}$ 定理,它在极限点为函数的可导点时对极值点给出了准确的刻画。 在叙述和证明 Fermat 定理之前,先证明一个简单而有用的引理。 ## 引理 引理 设函数 $f$ 在点 $x_0$ 可导,且 $f^{\prime}\left(x_0\right)>0\left(f^{\prime}\left(x_0\right)<0\right)$ ,则存在 $\delta>0$ : $$ \begin{aligned} & \forall x \in\left(x_0-\delta, x_0\right): f(x)<f\left(x_0\right)\left(f(x)>f\left(x_0\right)\right), \\ & \forall x \in\left(x_0, x_0+\delta\right): f(x)>f\
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