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赫尔德不等式 Hölder

## 赫尔德不等式

定理 8.9 （Hölder 不等式）设 $x_1, \cdots, x_n$ 和 $y_1, \cdots, y_n$ 为两组非负数，参数 $p, q>1$ 且满足等式 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ ，则成立不等式

$$
\sum_{i=1}^n x_i y_i \leqslant\left(\sum_{i=1}^n x_i^p\right)^{\frac{1}{p}}\left(\sum_{i=1}^n y_i^q\right)^{\frac{1}{q}}
$$

其中成立等号的充分必要条件是 $x_1^p, \cdots, x_n^p$ 与 $y_1^q, \cdots, y_n^q$ 成比例，即存在不全为 0的常数 $k$ 和 $l$ ，使得等式 $k x_i^p+l y_i^q=0$ 对每个 $i \in\{1,2, \cdots, n\}$ 成立．

Hölder 不等式的证明
分几种情况来证明．
（1）假设对于 $i=1, \cdots, n$ 都成立 $x_i>0, y_i>0$ ．
这时先写出如下形式的 $n=2$ 的广义平均值不等式 ${ }^{(1)}$ ：

$$
x^{\frac{1}{p}} y^{\frac{1}{q}} \leqslant \frac{x}{p}+\frac{y}{q}
$$

其中 $x, y \geqslant 0, p, q$ 满足定理中的条件．此外，不等式成立等号的充分必要条件是 $x=y$ ．

令 $u=x^{\frac{1}{p}}, v=y^{\frac{1}{q}}$ ，就得到

$$
u v \leqslant \frac{u^p}{p}+\frac{v^q}{q}
$$

其中 $u, v \geqslant 0$ ．此外，不等式成立等号的充分必要条件是 $u^p=v^q$ ．
对于 $i=1, \cdots, n$ 令

$$
u_i=\frac{x_i}{\left(\sum_{i=1}^n x_i^p\right)^{\frac{1}{p}}}, \quad v_i=\frac{y_i}{\left(\sum_{i=1}^n y_i^q\right)^{\frac{1}{q}}}
$$

代入（8．18），并将这样得到的 $n$ 个不等式相加，就得到

$$
\sum_{i=1}^n u_i v_i \leqslant 1
$$

然后两边乘以 $\left(\sum_{i=1}^n x_i^p\right)^{\frac{1}{p}}\left(\sum_{i=1}^n y_i^q\right)^{\frac{1}{q}}$ 就得到所要的不等式（8．17）．同时又可以看出该不等式成立等号的充分必要条件是对每个 $i=1, \cdots, n$ ，成立 $u_i^p=v_i^q$ ，而这就是比值 $x_i^p: y_i^q$ 与 $i$ 无关．

（2）对于所有 $i=1, \cdots, n$ ，乘积 $x_i y_i=0$ 都成立．
这时直接看出不等式（8．17）的左边等于 0 ，因此不等式已经成立．同时还可以看出，只有当 $x_1=\cdots=x_n=0$ 或 $y_1=\cdots=y_n=0$ 时不等式才会成立等号．
（3）其他情况．这时至少存在某个下标 $i$ ，使得 $x_i>0, y_i>0$ 同时成立．
取所有具有上述性质的下标，得到两个新数组 $x_1^{\prime}, \cdots, x_{n^{\prime}}^{\prime}$ 和 $y_1^{\prime}, \cdots, y_{n^{\prime}}^{\prime}$ ，其中每个数大于 $0,1 \leqslant n^{\prime}<n$ ．对这两个新数组用情况（1）已经证明的结论，就得到

$$
\sum_{i=1}^{n^{\prime}} x_i^{\prime} y_i^{\prime} \leqslant\left(\sum_{i=1}^{n^{\prime}}\left(x_i^{\prime}\right)^p\right)^{\frac{1}{p}}\left(\sum_{i=1}^{n^{\prime}}\left(y_i^{\prime}\right)^q\right)^{\frac{1}{q}}
$$

且其中成立等号的充分必要条件是比值 $\left(x_i^{\prime}\right)^p /\left(y_i^{\prime}\right)^q$ 与 $i \in\left\{1, \cdots, n^{\prime}\right\}$ 无关．
从不等式（8．19）出发考虑原来的两个数组．如果两个数组中除了在两个新数组中的项之外都是 0 ，则证明已经结束。否则，（8．19）的左边不变，右边两个正因子至少有一个会变大，因此不可能成立等号．
于是（8．17）成立等号有以下几种情况：（1）两个数组中有一组全为 0 ，这时对另一组无限制； 2 ）两个数组都不全为 0 ，其中下标相同的项 $x_i, y_i$ 或同时为 0 ，或同时不为 0 ，且 $x_i^p: y_i^q$ 为一个正常数。所有这些情况可以统一叙述为：存在不全为 0 的常数 $k$ 和 $l$ ，使得等式 $k x_i^p+l y_i^q=0$ 对每个 $i \in\{1,2, \cdots, n\}$ 成立。
（参见定理 1.8 ，即 Cauchy 不等式中成立等号条件的讨论．）
注 若 $0<p<1, q$ 与 $p$ 仍满足等式 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ ，则上述 Hölder 不等式反向成立．其证明留作练习题。

下面是另一个重要的不等式——Minkowski ${ }^{(1)}$ 不等式．

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