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琴生不等式 Jensen

## 8.4.4  凸性与不等式
由凸函数及其支撑线的定义都与不等式有关可知，若能证明某一个函数是凸函数，则就可以得到与该函数有关的不等式．

这里先从凸性角度来回顾一下已知的不等式。
例如前面用微分中值定理证明的不等式（7．11）：

$$
\sin x<x<\tan x \quad \forall 0<x<\frac{\pi}{2}
$$

从 $(\sin x)^{\prime \prime}=-\sin x$ 在 $0<x<\frac{\pi}{2}$ 上处处小于 0 可知 $\sin x$ 严格上凸，又从 $(\tan x)^{\prime \prime}=\left(\sec ^2 x\right)^{\prime}=2 \sec ^2 x \tan x$在 $0<x<\frac{\pi}{2}$ 上处处大于 0 可知 $\tan x$ 严格下凸，而 $y=x$ 恰好就是它们在点 $(0,0)$ 共同的支撑线（参见右边的图 8．17），这就是上面的两个不等式．

此外，由图 8.17 还可以看出，从 $\sin x$ 在 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上严格上凸可以推出例题 8.17 中的 Jordan 不等式：

$$
\frac{2}{\pi} x<\sin x \quad \forall 0<x<\frac{\pi}{2}
$$

![图片](/uploads/2025-02/dd2100.jpg)
 
 又如（7．12）的右边不等式，即

$$
\ln (1+x)<x \quad \forall x>-1,
$$

也与 $\ln (1+x)$ 的凸性有密切联系．实际上从

$$
(\ln (1+x))^{\prime \prime}=\left(\frac{1}{1+x}\right)^{\prime}=-\frac{1}{(1+x)^2}<0
$$

可知 $y=\ln (1+x)$ 在定义域 $(-1,+\infty)$ 上严格上凸，而 $y=x$ 就是这个凸函数过原点 $(0,0)$ 的支撑线．

下面我们要进一步介绍可以推导出许多不等式的一个重要工具，它就是著名的 Jensen ${ }^{(1)}$ 不等式。

## 琴生不等式
定理 8.8 （Jensen 不等式）设 $f$ 是在区间 $I$ 上的下凸函数，则对 $I$ 中的 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 及正数 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ ，且满足 $\lambda_1+\cdots+\lambda_n=1$ ，成立不等式

$$
f\left(\lambda_1 x_1+\cdots+\lambda_n x_n\right) \leqslant \lambda_1 f\left(x_1\right)+\cdots+\lambda_n f\left(x_n\right)
$$

若 $f$ 严格下凸，则上述不等式当且仅当 $x_1=x_2=\cdots=x_n$ 时成立等式 ${ }^{(2)}$ ．

证 记 $\bar{x}=\lambda_1 x_1+\cdots+\lambda_n x_n$ ，即 $x_1, \cdots, x_n$ 的加权平均值，则除非所有 $x_i$ 等于区间 $I$ 的同一个端点（这时不等式已经成立）， $\bar{x}$ 必为 $I$ 的内点。对于这种情况，根据支撑线定理 8.5 ，存在常数 $k$ ，对于所有 $x \in I$ ，成立

$$
f(x) \geqslant f(\bar{x})+k(x-\bar{x})
$$

在其中取 $x=x_i, i=1, \cdots, n$ ，然后分别乘以 $\lambda_i$ 并从 $i=1$ 加到 $n$ ，就有

$$
\begin{aligned}
\lambda_1 f\left(x_1\right)+\cdots+\lambda_n f\left(x_n\right) & \geqslant\left(\lambda_1+\cdots+\lambda_n\right)(f(\bar{x})-k \bar{x})+k\left(\lambda_1 x_1+\cdots+\lambda_n x_n\right) \\
& =f(\bar{x})-k \bar{x}+k \bar{x}=f(\bar{x})
\end{aligned}
$$

这就是所求证的不等式（8．16）。
若 $f$ 严格下凸且上述不等式成立等号，则只能是对每个 $i=1, \cdots, n$ 成立等式

$$
f\left(x_i\right)=f(\bar{x})+k\left(x_i-\bar{x}\right)
$$

从定理 8.5 的推论知道只能是 $x_i=\bar{x} \forall i=1, \cdots, n$ ．
注 Jensen 不等式在 $n=2$ 时就是下凸函数定义中的不等式（8．8），由此出发可以给出用数学归纳法的证明．这表明 Jensen 不定式不过是下凸性定义的推论．

Jensen 不等式的数学归纳法证明 对 $n=2$ ，只要令 $\lambda=\lambda_1$ ，就有 $1-\lambda=\lambda_2$ ．于是 Jensen 不等式就是定义 8.1 中的不等式（8．8）．

现设 $n=k$ 时 Jensen 不等式已经成立，则当 $n=k+1$ 时，

$$
f\left(\lambda_1 x_1+\cdots \lambda_{k+1} x_{k+1}\right)=f\left(\lambda_1 x_1+\cdots+\lambda_{k-1} x_{k-1}+\left(\lambda_k+\lambda_{k+1}\right) x_k^{\prime}\right)
$$

（其中设 $x_k^{\prime}=\frac{\lambda_k}{\lambda_k+\lambda_{k+1}} \cdot x_k+\frac{\lambda_{k+1}}{\lambda_k+\lambda_{k+1}} \cdot x_{k+1}$ ）

$$
\leqslant \lambda_1 f\left(x_1\right) \cdots+\lambda_{k-1} f\left(x_{k-1}\right)+\left(\lambda_k+\lambda_{k+1}\right) f\left(x_k^{\prime}\right)
$$

（利用 $f\left(x_k^{\prime}\right) \leqslant \frac{\lambda_k}{\lambda_k+\lambda_{k+1}} \cdot f\left(x_k\right)+\frac{\lambda_{k+1}}{\lambda_k+\lambda_{k+1}} \cdot f\left(x_{k+1}\right)$ ）

$$
\leqslant \lambda_1 f\left(x_1\right)+\cdots+\lambda_{k+1} f\left(x_{k+1}\right)
$$

在 $f$ 严格下凸条件下 Jensen 不等式成立等号的条件也可以从上述的数学归纳法证明得到。

若 $f$ 二阶可微，则可以如下直接证明 Jensen 不等式．
二阶可微下凸函数的 Jensen 不等式证明
记 $\bar{x}=\lambda_1 x_1+\cdots+\lambda_n x_n$ ，用 Taylor 中值定理（即带 Lagrange 型余项的 Taylor公式）就有

$$
f\left(x_i\right)=f(\bar{x})+f^{\prime}(\bar{x})\left(x_i-\bar{x}\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(\xi_i\right)}{2!}(x-\bar{x})^2 \geqslant f(\bar{x})+f^{\prime}(\bar{x})\left(x_i-\bar{x}\right)
$$

其中 $i=1, \cdots, n$ ．将上述不等式乘 $\lambda_i, i$ 从 1 到 $n$ ，然后相加即可．
若在 $f$ 严格下凸条件下 Jensen 不等式成立等号，则从上述证明过程和定理 8.5的推论可见只能是 $x_i=\bar{x} \forall i=1, \cdots, n$ ．

例题 8.28 证明广义算术平均值－几何平均值不等式（简称为广义平均值不等式），即对 $x_i \geqslant 0, \lambda_i>0, i=1, \cdots, n$ ，且 $\lambda_1+\cdots+\lambda_n=1$ ，成立不等式

$$
x_1^{\lambda_1} \cdots x_n^{\lambda_n} \leqslant \lambda_1 x_1+\cdots+\lambda_n x_n
$$

其中等号成立的充分必要条件是 $x_1=\cdots=x_n$ ．
证 若在 $x_i$ 中有等于 0 的数，则不等式左边等于 0 ，因此已经成立．同时可以看出，这时的不等式成立等号只可能发生于 $x_i$ 全等于 0 。

现假设每个 $x_i>0$ ．取 $f(x)=-\ln x$ ，则 $f^{\prime \prime}(x)=x^2>0 \forall x>0$ ，因此 $f$ 是 $(0,+\infty)$ 上的严格下凸函数．用 Jensen 不等式，就有

$$
-\ln \left(\lambda_1 x_1+\cdots+\lambda_n x_n\right) \leqslant \lambda_1\left(-\ln x_1\right)+\cdots+\lambda_n\left(-\ln x_n\right)
$$

这就是

$$
\ln \left(\lambda_1 x_1+\cdots+\lambda_n x_n\right) \geqslant \ln \left(x_1^{\lambda_1} \cdots x_n^{\lambda_n}\right)
$$

这等价于广义平均值不等式．关于此不等式成立等号的条件可以从 Jensen 不等式的相应结论得到。

注 令 $\lambda_1=\cdots=\lambda_n=1$ ，就得到初等不等式中的平均值不等式（见 $\S 1.5 .1$ 的定理1．7）：

$$
\sqrt[n]{x_1 \cdots x_n} \leqslant \frac{x_1+\cdots+x_n}{n}
$$

其中成立等号的条件是 $x_1=\cdots=x_n$ ．
广义平均值不等式有许多应用．作为应用之一，我们用它来导出分析中的一个重要不等式——Hölder ${ }^{(1)}$ 不等式．可以看出，在以下不等式中若 $p=q=2$ 则就得到 Cauchy 不等式（见 §1．5．2 的定理 1．8）。

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