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用导数判定凸性与拐点

##  8.4.3 用导数判定凸性
虽然凸函数在内点处一定存在两个单侧导数，但不一定可导．若已知函数在其定义区间上存在一阶导函数和二阶导函数，则就可以用导数来判定函数的凸性．下面从存在一阶导数的情况开始．

定理 8.6 设 $f$ 在区间 $I$ 上可微，则 $f($ 严格 $)$ 下凸 $\Longleftrightarrow f^{\prime}$（严格）单调增加．
证 只写出严格下凸情况的证明。
必要性 $(\Longrightarrow)$（参见右边的图8．14）任取 $x_1, x_2 \in I, x_1<x_2$ ，只要证明 $f^{\prime}\left(x_1\right)<f^{\prime}\left(x_2\right)$ ．

取 $\xi \in\left(x_1, x_2\right)$ ，从定理 8.4 的证明即有

$$
f^{\prime}\left(x_1\right) \leqslant \frac{f(\xi)-f\left(x_1\right)}{\xi-x_1}<\frac{f\left(x_2\right)-f(\xi)}{x_2-\xi} \leqslant f^{\prime}\left(x_2\right)
$$

这里中间的 $<$ 号利用了 $f$ 的严格下凸性，因为这时的三点斜率不等式（8．11）中成立严格不等号。

![图片](/uploads/2025-02/7ae5a1.jpg)

充分性 $(\Longleftarrow)$ 任取 $x_1, x_2 \in I, x_1<x_2, \lambda \in(0,1)$ ，并令 $x_\lambda=\lambda x_1+(1-\lambda) x_2$ ，就有 $x_1<x_\lambda<x_2$ ，然后推导如下：

$$
\begin{aligned}
& f\left(x_\lambda\right)-\lambda f\left(x_1\right)-(1-\lambda) f\left(x_2\right) \\
& =\lambda\left[f\left(x_\lambda\right)-f\left(x_1\right)\right]+(1-\lambda)\left[f\left(x_\lambda\right)-f\left(x_2\right)\right] \text { (将上一行的第一项 } f\left(x_\lambda\right) \text { 分拆开) } \\
& =\lambda f^{\prime}\left(\xi_1\right)\left(x_\lambda-x_1\right)+(1-\lambda) f^{\prime}\left(\xi_2\right)\left(x_\lambda-x_2\right) \text { (用 Lagrange 中值定理) } \\
& \left.=\lambda(1-\lambda)\left[f^{\prime}\left(\xi_1\right)-f^{\prime}\left(\xi_2\right)\right]\left(x_2-x_1\right)<0 \text { (因 } f^{\prime} \uparrow \text { 和 } \xi_1<\xi_2\right),
\end{aligned}
$$

其中利用了 $x_1<\xi_1<x_\lambda<\xi_2<x_2$ ，和

$$
x_\lambda-x_1=(1-\lambda)\left(x_2-x_1\right), \quad x_\lambda-x_2=-\lambda\left(x_2-x_1\right) .
$$

定理 8.7 若 $f$ 在区间 $I$ 上二阶可微，（1）$f$ 为下凸的充分必要条件是在区间 $I$上处处成立 $f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0 ;(2) f$ 为严格下凸的充分必要条件是 $f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0$ ，同时在数集 $\left\{x \mid f^{\prime \prime}(x)=0\right\}$ 不含有长度大于 0 的区间．

现在引入一个新的概念一拐点，它出现在函数图像以及许多应用问题中．
定义 8.3 若 $y=f(x)$ 在内点 $x_0$ 的两侧邻近分别为严格凸函数，而且具有相反的严格凸性，则称点 $\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 为曲线 $y=f(x)$ 的**拐点**（也称为变曲点）．

从定理 8.6 可见，在 $f$ 可微情况下，则在拐点两侧邻近 $f^{\prime}(x)$ 分别具有相反的严格单调性。

又若 $f$ 在点 $x_0$ 存在二阶导数 $f^{\prime \prime}\left(x_0\right)$ ，且 $\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 为拐点，则由于 $f^{\prime}(x)$ 在点 $x_0$ 两侧邻近具有相反的严格单调性，因此 $x_0$ 是 $f^{\prime}(x)$ 的极值点．从 Fermat 定理可知 $f^{\prime \prime}\left(x_0\right)=0$ ．但这只是点 $\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 为拐点的必要条件，并不是充分条件．例如 $y=x^4$ 没有拐点，但在 $x_0=0$ 处 $y^{\prime \prime}(0)=0$ ．

与单调区间类似地下面使用凸性区间表示函数在其上为凸函数的区间．

例题 8.26 确定曲线 $y=x^3-3 x$ 的凸性区间和拐点。

解 从 $y^{\prime \prime}=6 x$ 可见在 $(0,+\infty)$ 上 $f$ 严格下凸，而在 $(-\infty, 0)$ 上 $f$ 严格上凸，因此 $(0,0)$是拐点（参见右边的图8．15）．

![图片](/uploads/2025-02/3f94cd.jpg)

例题 8.27 讨论函数 $\rho(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e ^{-\frac{x^2}{2}}$ 的凸性区间和拐点．
解 求导得到

$$
\rho^{\prime}(x)=-\frac{x}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}
$$

这样就可以知道 $\rho(x)$ 在 $x \leqslant 0$ 时严格单调增加，而在 $x \geqslant 0$ 时严格单调减少．
再求导得到

$$
\rho^{\prime \prime}(x)=\left(-\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}+\frac{x^2}{\sqrt{2 \pi}}\right) e^{-\frac{x^2}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\left(x^2-1\right) e^{-\frac{x^2}{2}}
$$

根据 $\rho^{\prime \prime}(x)$ 的符号就可确定出凸性区间：

![图片](/uploads/2025-02/83ee99.jpg)
 
 由此知道存在两个拐点：

$$
\left( \pm 1, \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{1}{2}}\right)
$$

注 1 从凸性分析和拐点，再配合上 $\rho( \pm \infty)=0, \rho(x)>0, \rho(0)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}$ ，以及当 $x \leqslant 0$ 时 $\rho(x) \uparrow$ ，当 $x \geqslant 0$ 时 $\rho(x) \downarrow$ ，就可以在图 8.16 中作出函数 $\rho(x)$ 的图像．

注 2 在概率统计书中将函数 $\rho(x)$ 称为标准正态分布 $N(0,1)$ 的密度函数，并经常附有它的数值表备查．
 ![图片](/uploads/2025-02/0b9156.jpg)

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