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函数的凸凹性

## 5.8.4 函数的凸性
凸函数是一类有良好性质的函数，并具有广泛的应用．在可微条件下的凸性恰好与微分学中的一阶导数和二阶导数有密切关系。

## 8.4.1 凸函数的定义
下面给出凸函数的定义及其中的下凸函数的示意图 8．10．
定义8.1 设 $f$ 在区间 $I$ 上定义，若对 $\forall x_1, x_2 \in I, x_1<x_2, \forall \lambda \in(0,1)$ ：

$$
f\left(\lambda x_1+(1-\lambda) x_2\right) \leqslant \lambda f\left(x_1\right)+(1-\lambda) f\left(x_2\right),
$$

则称 $f$ 是 $I$ 上的下凸函数，又若不等式中成立严格 $<$ 号，则称为严格下凸函数．
类似地，若在（8．8）中的 $\leqslant$ 改为 $\geqslant$ 和 $>$ ，则分别得到上凸函数和严格上凸函数．
下凸函数与上凸函数一起统称为凸函数，严格下凸函数和严格上凸函数一起统称为严格凸函数  
 ![图片](/uploads/2025-02/2de5c1.jpg)
 
 如图 8.10 所示，当 $\lambda$ 从 0 变动到 1 时，点

$$
x_\lambda=\lambda x_1+(1-\lambda) x_2=x_2-\lambda\left(x_2-x_1\right) ...(8.9)
$$

从点 $x_2$ 变动到 $x_1$ ．下凸函数定义中的不等式（8．8）表明曲线 $y=f(x)$ 上的点 $A_4$ $\left(x_\lambda, f\left(x_\lambda\right)\right)$ 一定在直线段 $A_1 A_2$ 的下方，特别是在点 $A_3$ 的下方，而 $A_3$ 的纵坐标就是定义中的不等式（8．8）的右边：$\lambda f\left(x_1\right)+(1-\lambda) f\left(x_2\right)$ ．

> 在英文中称这里的下凸函数为 convex function，中译名即凸函数，又称上凸函数为 concave function，中译名即凹函数，因此在部分国内教材中就采用凸函数和凹函数的名称，即其中的凸函数就是本书的下凸函数，凹函数就是本书的上凸函数．

容易看出若 $f$ 下凸，则 $-f$ 上凸，因此许多叙述和讨论可以只对下凸函数（或上凸函数）来进行。

从图8．10 可以发现在三个直线段 $A_1 A_2, A_1 A_4, A_4 A_2$ 的斜率之间成立不等式

$$
k\left(A_1 A_4\right) \leqslant k\left(A_1 A_2\right) \leqslant k\left(A_4 A_2\right)
$$

其中用 $k\left(A_1 A_4\right), ~ k\left(A_1 A_2\right), ~ k\left(A_4 A_2\right)$ 分别表示相应的直线段的斜率．对于严格下凸函数则不等式为严格不等号．今后将（8．10）称为凸函数的三点斜率不等式，简称为三点斜率式．它们是不加可微条件的凸函数研究中的基本出发点．

定理 8.3 （三点斜率不等式）设函数 $f$ 为区间 $I$ 上的下凸函数，$x_1<x_\lambda<x_2$为 $I$ 中的任意三点（它们分别对应于图8．10 上的点 $A_1\left(x_1, f\left(x_1\right)\right), A_4\left(x_\lambda, f\left(x_\lambda\right)\right)$ 和 $A_2\left(x_2, f\left(x_2\right)\right)$ ），这时有以下结论成立：
（1）不等式（8．10）成立；
（2）该不等式包含了三个不等式：

$$
k\left(A_1 A_4\right) \leqslant k\left(A_1 A_2\right), \quad k\left(A_1 A_2\right) \leqslant k\left(A_4 A_2\right), \quad k\left(A_1 A_4\right) \leqslant k\left(A_4 A_2\right)
$$

它们彼此等价，而且其中每一个不等式又与下凸函数定义的（8．8）等价．
证（1）在给定 $x_1, x_2$ 和 $x_\lambda$ 时，可以从 $x_\lambda$ 的表达式（8．9）中解出参数 $\lambda$ ，即有

$$
\lambda=\frac{x_2-x_\lambda}{x_2-x_1}, \quad 1-\lambda=\frac{x_\lambda-x_1}{x_2-x_1}
$$

将它们代入下凸函数定义中的（8．8），即 $f\left(x_\lambda\right) \leqslant \lambda f\left(x_1\right)+(1-\lambda) f\left(x_2\right)$ ，就得到

$$
\left(x_2-x_1\right) f\left(x_\lambda\right) \leqslant\left(x_2-x_\lambda\right) f\left(x_1\right)+\left(x_\lambda-x_1\right) f\left(x_2\right)
$$

在不等式（8．12）两边同时减去 $\left(x_2-x_1\right) f\left(x_1\right)$ ，即有

$$
\begin{aligned}
\left(x_2-x_1\right)\left[f\left(x_\lambda\right)-f\left(x_1\right)\right] & \leqslant\left(x_1-x_\lambda\right) f\left(x_1\right)+\left(x_\lambda-x_1\right) f\left(x_2\right) \\
& =\left[f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)\right]\left(x_\lambda-x_1\right),
\end{aligned}
$$

这就是 $k\left(A_1 A_4\right) \leqslant k\left(A_1 A_2\right)$ ．
又从（8．12）式两边同时减去 $\left(x_2-x_1\right) f\left(x_2\right)$ ，就得到

$$
\begin{aligned}
\left(x_2-x_1\right)\left[f\left(x_\lambda\right)-f\left(x_2\right)\right] & \leqslant\left(x_2-x_\lambda\right) f\left(x_1\right)+\left(x_\lambda-x_2\right) f\left(x_2\right) \\
& =\left[f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right]\left(x_2-x_\lambda\right),
\end{aligned}
$$

这就是 $k\left(A_1 A_2\right) \leqslant k\left(A_4 A_2\right)$ ．
这样就从下凸函数的定义中的不等式（8．8）推出三个不等式（8．11）中的前两个，而它们的联合就导出了第三个不等式。
（2）将上面的两个推导的顺序倒过来就可以看出，（8．11）中的前两个不等式的每一个都等价于（8．8）．为证明下凸定义与其中的第三个不等式等价，只需要将 （8．12）左边改写，得到

$$
\left[\left(x_2-x_\lambda\right)+\left(x_\lambda-x_1\right)\right] f\left(x_\lambda\right) \leqslant\left(x_2-x_\lambda\right) f\left(x_1\right)+\left(x_\lambda-x_1\right) f\left(x_2\right)
$$

然后移项得到

$$
\left(x_2-x_\lambda\right)\left[f\left(x_\lambda\right)-f\left(x_1\right)\right] \leqslant\left(x_\lambda-x_1\right)\left[f\left(x_2\right)-f\left(x_\lambda\right)\right],
$$

这就是 $k\left(A_1 A_4\right) \leqslant k\left(A_\lambda A_2\right)$ ．
注 用类似的推导就可以将定理 8.3 推广到严格下凸函数的情况．这时定义 8.1 中的不等式（8．8），不等式（8．10）和（8．11）中的 $\leqslant$ 都一律改为严格的不等号 $<$ 。

## 8.4.2 凸函数的基本性质
本小节从下凸函数的定义（8．8）出发推出它所具有的几个基本性质．
定理8．4区间上定义的下凸函数 $f$ 在每个内点 $x_0 \in I$ 处连续，存在两个单侧导数，且满足 $f_{-}^{\prime}\left(x_0\right) \leqslant f_{+}^{\prime}\left(x_0\right)$ ．

证 取 $x \in I, x \neq x_0$ ，考虑联结点 $\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 和点 $(x, f(x))$ 的割线的斜率

$$
\phi(x)=\frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}
$$

如图 8.11 的左分图所示，取定某个 $k>0$ ，在区间 $I$ 中有 $x_0-k<x_0<x_1<x_2$ ．从三点斜率式可知，有 $\phi\left(x_0-k\right) \leqslant \phi\left(x_1\right) \leqslant \phi\left(x_2\right)$ ，因此 $\phi(x)$ 在 $x>x_0$ 时单调增加且以 $\phi\left(x_0-k\right)$ 为下界．从而存在有限极限 $\lim _{x \rightarrow x_0^{+}} \phi(x)$ ，即 $f$ 在点存在右导数 $f_{+}^{\prime}\left(x_0\right)$ ．
 ![图片](/uploads/2025-02/3b53d0.jpg)
 
 同样如图 8.11 的中分图所示，取定某个 $h>0$ ，考虑点 $x_1<x_2<x_0<x_0+h$ ，就有 $\phi\left(x_1\right)<\phi\left(x_2\right)<\phi\left(x_0+h\right)$ ．因此 $\phi(x)$ 在 $x<x_0$ 时也单调增加且以 $\phi\left(x_0+h\right)$为上界，从而存在极限 $\lim _{x \rightarrow x_0^{-}} \phi(x)$ ，这就是 $f$ 在点 $x_0$ 的左导数．（以上都用到了定理 4．11，即单调函数的极限存在定理．）

再看图 8.11 的右分图，对于 $x_0-k<x_0<x_0+h$ ，有 $\phi\left(x_0-k\right)<\phi\left(x_0+h\right)$ ，令 $h, k \rightarrow 0^{+}$，就得到不等式 $f_{-}^{\prime}\left(x_0\right) \leqslant f_{+}^{\prime}\left(x_0\right)$ ．

最后，利用函数在某点可导必定在该点连续的定理 6.1 的推广（参见该定理的注），函数在某点单侧可导也必定保证函数在该点（对应的）单侧连续，因此 $f$ 在内点 $x_0$ 双侧连续，也就是在点 $x_0$ 连续．

注 上述证明中，连续性是从导数存在推出，这种情况不多见．此外，若区间有端点，则凸函数在端点处可以不连续．下面是一个容易验证的简单例子．

例题 8.24 在有界闭区间 $[0,1]$ 上定义的函数

$$
f(x)= \begin{cases}0, & 0<x<1 \\ 1, & x=0,1\end{cases}
$$

是下凸函数，但在两个端点 $x=0,1$ 处均不连续．
例题8．25 设 $f$ 是开区间（可以无界）$I$ 上的下凸函数，则从单调性来看只有三类下凸函数：（1）$f$ 严格单调增加，（2）$f$ 严格单调减少，（3）存在极小值点 $c \in I$ ，使得 $f$ 在 $(a, c]$ 上单调减少，在 $[c, b)$ 上单调增加．

下面就这三种可能的下凸函数的示意图，其中右边最后一个分图表明极小值点可以不惟一．
 ![图片](/uploads/2025-02/e1ce56.jpg)
 
 证 从定理 8.4 知道 $f$ 于 $I$ 上连续，又利用例题 5.19 的结论，可见若 $f$ 没有任何极值点，则 $f$ 必定是严格单调函数．这就是前两类下凸函数。

余下的只是要证明：当 $f$ 有极值点时，$f$ 在其左侧单调减少，右侧单调增加．
设 $c \in I$ 是 $f$ 的一个极值点．则首先要证明它一定是极小值点．
反证法．设 $c$ 不是极小值点，而是极大值点，则 $\exists \delta>0, \forall x \in(c-\delta, c+\delta)$ ，有 $f(x) \leqslant f(c)$ ．此外，在 $c$ 的任意邻近有函数值严格小于 $f(c)$ 的点．（若在 $c$ 的一个邻域 $f(x) \equiv f(c)$ ，则这样的极大值点也是极小值点．）于是不妨设有 $x_1<c<x_2$ ，使得 $f\left(x_1\right)<f(c), f\left(x_2\right) \leqslant f(c)$ ．（对于相反的情况，即 $f\left(x_1\right) \leqslant f(c), f\left(x_2\right)<f(c)$ 的讨论是类似的．）这时存在 $\lambda \in(0,1)$ ，使得 $c=\lambda x_1+(1-\lambda) x_2$ ，从而有

$$
f(c)=f\left(\lambda x_1+(1-\lambda) x_2\right)>\lambda f\left(x_1\right)+(1-\lambda) f\left(x_2\right),
$$

这与 $f$ 为下凸函数的条件矛盾。
然后，在 $c$ 为 $f$ 的极小值点时，可以如下证明 $f$ 在点 $c$ 的右侧单调增加．
对于 $c<x$ ，可以先取与 $c$ 充分邻近的点 $d$ ，使得 $c<d<x$ ，而且 $f(c) \leqslant f(d)$ ．于是从三点斜率式有

$$
\frac{f(x)-f(d)}{x-d} \geqslant \frac{f(d)-f(c)}{d-c} \geqslant 0
$$

由此可见 $f(x) \geqslant f(d)$ ．由于 $f$ 于点 $c$ 连续，令 $d \rightarrow c^{+}$就得到 $f(x) \geqslant f(c)$ ．

对于 $c<x_1<x_2$ 的情况，同样取点 $d, c<d<x_1<x_2$ ，而且 $f(c) \leqslant f(d)$ ，则就成立

$$
\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1} \geqslant \frac{f\left(x_1\right)-f(d)}{x_1-d} \geqslant \frac{f(d)-f(c)}{d-c} \geqslant 0
$$

这样也得到 $f\left(x_2\right) \geqslant f\left(x_1\right)$ ．于是 $f$ 在 $c$ 右侧单调增加．
对于 $f$ 在 $c$ 左侧单调减少的证明是类似的。这样就证明了有极值点的下凸函数是题中所说的第三类下凸函数。

注 对于有端点的区间 $I$ 上的下凸函数 $f$ ，例如设 $I=[a, b]$ ，则当 $f$ 在 $(a, b)$上单调增加时，从下凸函数的定义可以证明有 $f(a) \geqslant \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=f\left(a^{+}\right)$．于是在这个不等式成立 $>$ 号时，就不能说 $f$ 在 $[a, b]$ 上单调增加了．对于右端点 $b$ 也有类似的可能性。但对于 $f$ 有极值点的情况，则原来的结论仍然成立．

现在引入凸函数的支撑线概念．它也有强烈的几何意义．下面只写出下凸函数的支撑线定义。

定义8．2 设 $f$ 是区间 $I$ 上的下凸函数，$x_0 \in I$ ．称经过点 $\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 的直线 $y=f\left(x_0\right)+k\left(x-x_0\right)$ 为 $f$ 在点 $\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 的支撑线，如果满足不等式

$$
f(x) \geqslant f\left(x_0\right)+k\left(x-x_0\right) \forall x \in I
$$

支撑线可以不惟一。例如绝对值函数 $f(x)=|x|$ 是 $(-\infty,+\infty)$ 上的下凸函数，经过点 $(0,0)$ 的直线 $y=k x,|k| \leqslant 1$ ，都是 $f$ 于该点的支撑线．

下面就是下凸函数及其支撑线的几个例子．
 ![图片](/uploads/2025-02/8db8a2.jpg)
 
 定理 8.5 （支撑线定理）设 $f$ 是区间 $I$ 上的下凸函数，则当 $x_0$ 为 $I$ 的内点时，一定存在经过点 $\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 的支撑线．直线

$$
y=f\left(x_0\right)+k\left(x-x_0\right),
$$

为 $f$ 的支撑线的充分必要条件是 $f_{-}^{\prime}\left(x_0\right) \leqslant k \leqslant f_{+}^{\prime}\left(x_0\right)$ ．
证 利用定理 8．4 的证明中引入的辅助函数 $\phi$ ，且已知当 $x_0<x \in I$ 时有

$$
\phi(x)=\frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0} \geqslant f_{+}^{\prime}\left(x_0\right) .
$$

乘以 $x-x_0>0$ 就得到在 $x>x_0$ 时成立的不等式

$$
f(x) \geqslant f\left(x_0\right)+f_{+}^{\prime}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)
$$

又知道当 $x \in I$ 且 $x<x_0$ 时有

$$
\phi(x)=\frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0} \leqslant f_{-}^{\prime}\left(x_0\right)
$$

乘以 $x-x_0<0$ 就得到在 $x<x_0$ 时成立的不等式

$$
f(x) \geqslant f\left(x_0\right)+f_{-}^{\prime}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)
$$

合并（8．13）与（8．14）就知道，对于满足 $f_{-}^{\prime}\left(x_0\right) \leqslant k \leqslant f_{+}^{\prime}\left(x_0\right)$ 的常数 $k$ ，在区间 $I$ 上成立不等式

$$
f(x) \geqslant f\left(x_0\right)+k\left(x-x_0\right)
$$

合并（8．13）与（8．14）就知道，对于满足 $f_{-}^{\prime}\left(x_0\right) \leqslant k \leqslant f_{+}^{\prime}\left(x_0\right)$ 的常数 $k$ ，在区间 $I$ 上成立不等式

$$
f(x) \geqslant f\left(x_0\right)+k\left(x-x_0\right) .
$$

这样就证明了支撑线的存在性，即满足 $f_{-}^{\prime}\left(x_0\right) \leqslant k \leqslant f_{+}^{\prime}\left(x_0\right)$ 的直线 $y=f\left(x_0\right)+$ $k\left(x-x_0\right)$ 一定是 $f$ 经过点 $\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 的支撑线．

反之，将不等式（8．15）右边的第一项 $f\left(x_0\right)$ 移到左边，在 $x>x_0$ 时两边除以 $x-x_0$ 并令 $x \rightarrow x_0^{+}$，就得到 $f_{+}^{\prime}\left(x_0\right) \geqslant k$ ；又在 $x<x_0$ 时两边除以 $x-x_0$ ，这时不等号从 $\geqslant$ 变为 $\leqslant$ ，再令 $x \rightarrow x_0^{-}$，就得到 $k \geqslant f_{-}^{\prime}\left(x_0\right)$ 。

对于严格下凸函数，则在函数图像与其支撑线之间有更强的结论．
推论 设 $f$ 在区间 $I$ 上为严格下凸函数，$x_0$ 为 $I$ 的内点，$y=f\left(x_0\right)+k\left(x-x_0\right)$是 $f$ 经过点 $\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 的支撑线，则对 $\forall x \in I$ 且 $x \neq x_0$ 时，成立严格的不等式

$$
f(x)>f\left(x_0\right)+k\left(x-x_0\right) .
$$

证 用反证法，设在不等式（8．15）中，即在

$$
f(x) \geqslant f\left(x_0\right)+k\left(x-x_0\right)
$$

中，对于某个点 $x_1 \neq x_0$ ，上述不等式成立等号．则在区间 $\left[x_0, x_1\right]$ 上函数 $y=f(x)$和直线 $y=f\left(x_0\right)+k\left(x-x_0\right)$ 都经过点 $\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 和点 $\left(x_1, f\left(x_1\right)\right)$ ．

于是一方面从支撑线知有 $f(x) \geqslant f\left(x_0\right)+k\left(x-x_0\right)$ ，另一方面从下凸函数定义又有 $f(x) \leqslant f\left(x_0\right)+k\left(x-x_0\right)$ ，因此只能是 $f$ 在区间 $\left[x_0, x_1\right]$ 上恒等于线性函数 $f\left(x_0\right)+k\left(x-x_0\right)$ ．这与 $f$ 严格下凸条件相矛盾．

注 从定理 8.5 知道，若 $f$ 是区间 $I$ 上的下凸函数，且在内点 $x_0$ 处可导，则 $f$过点 $\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 的支撑线是惟一的，这就是
$$
y=f\left(x_0\right)+f^{\prime}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)
$$

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