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函数的凸凹性

## 5.8.4 函数的凸性
凸函数是一类有良好性质的函数，并具有广泛的应用．在可微条件下的凸性恰好与微分学中的一阶导数和二阶导数有密切关系。

## 8.4.1 凸函数的定义
下面给出凸函数的定义及其中的下凸函数的示意图 8．10．
定义8.1 设 $f$ 在区间 $I$ 上定义，若对 $\forall x_1, x_2 \in I, x_1<x_2, \forall \lambda \in(0,1)$ ：

$$
f\left(\lambda x_1+(1-\lambda) x_2\right) \leqslant \lambda f\left(x_1\right)+(1-\lambda) f\left(x_2\right),
$$

则称 $f$ 是 $I$ 上的下凸函数，又若不等式中成立严格 $<$ 号，则称为严格下凸函数．
类似地，若在（8．8）中的 $\leqslant$ 改为 $\geqslant$ 和 $>$ ，则分别得到上凸函数和严格上凸函数．
下凸函数与上凸函数一起统称为凸函数，严格下凸函数和严格上凸函数一起统称为严格凸函数  
 ![图片](/uploads/2025-02/2de5c1.jpg)
 
 如图 8.10 所示，当 $\lambda$ 从 0 变动到 1 时，点

$$
x_\lambda=\lambda x_1+(1-\lambda) x_2=x_2-\lambda\left(x_2-x_1\right) ...(8.9)
$$

从点 $x_2$ 变动到 $x_1$ ．下凸函数定义中的不等式（8．8）表明曲线 $y=f(x)$ 上的点 $A_4$ $\left(x_\lambda, f\left(x_\lambda\right)\right)$ 一定在直线段 $A_1 A_2$ 的下方，特别是在点 $A_3$ 的下方，而 $A_3$ 的纵坐标就是定义中的不等式（8．8）的右边：$\lambda f\left(x_1\right)+(1-\lambda) f\left(x_2\right)$ ．

> 在英文中称这里的下凸函数为 convex function，中译名即凸函数，又称上凸函数为 concave function，中译名即凹函数，因此在部分国内教材中就采用凸函数和凹函数的名称，即其中的凸函数就是本书的下凸函数，凹函数就是本书的上凸函数．

容易看出若 $f$ 下凸，则 $-f$ 上凸，因此许多叙述和讨论可以只对下凸函数（或上凸函数）来进行。

从图8．10 可以发现在三个直线段 $A_1 A_2, A_1 A_4, A_4 A_2$ 的斜率之间成立不等式

$$
k\left(A_1 A_4\right) \leqslant k\left(A_1 A_2\right) \leqslant k\left(A_4 A_2\right)
$$

其中用 $k\left(A_1 A_4\right), ~ k\left(A_1 A_2\right), ~ k\left(A_4 A_2\right)$ 分别表示相应的直线段的斜率．对于严格下凸函数则不等式为严格不等号．今后将（8．10）称为凸函数的三点斜率不等式，简称为三点斜率式．它们是不加可微条件的凸函数研究中的基本出发点．

定理 8.3 （三点斜率不等式）设函数 $f$ 为区间 $I$ 上的下凸函数，$x_1<x_\lambda<x_2$为 $I$ 中的任意三点（它们分别对应于图8．10 上的点 $A_1\left(x_1, f\left(x_1\right)\right), A_4\left(x_\lambda, f\left(x_\lambda\right)\right)$ 和 $A_2\left(x_2, f\left(x_2\right)\right)$ ），这时有以下结论成立：
（1）不等式（8．10）成立；
（2）该不等式包含了三个不等式：

$$
k\left(A_1 A_4\right) \leqslant k\left(A_1 A_2\right), \quad k\left(A_1 A_2\right) \leqslant k\left(A_4 A_2\right), \quad k\left(A_1 A_4\right) \leqslant k\left(A_4 A_2\right)
$$

它们彼此等价，而且其中每一个不等式又与下凸函数定义的（8．8）等价．
证（1）在给定 $x_1, x_2$ 和 $x_\lambda$ 时，可以从 $x_\lambda$ 的表达式（8．9）中解出参数 $\lambda$ ，即有

$$
\lambda=\frac{x_2-x_\lambda}{x_2-x_1}, \quad 1-\lambda=\frac{x_\lambda-x_1}{x_2-x_1}
$$

将它们代入下凸函数定义中的（8．8），即 $f\left(x_\lambda\right) \leqslant \lambda f\left(x_1\right)+(1-\lambda) f\left(x_2\right)$ ，就得到

$$
\left(x_2-x_1\right) f\left(x_\lambda\right) \leqslant\left(x_2-x_\lambda\right) f\left(x_1\right)+\left(x_\lambda-x_1\right) f\left(x_2\right)
$$

在不等式（8．12）两边同时减去 $\left(x_2-x_1\right) f\left(x_1\right)$ ，即有

$$
\begin{aligned}
\left(x_2-x_1\right)\left[f\left(x_\lambda\right)-f\left(x_1\right)\right] & \leqslant\left(x_1-x_\lambda\right) f\left(x_1\right)+\left(x_\lambda-x_1\right) f\left(x_2\right) \\
& =\left[f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)\right]\left(x_\lambda-x_1\right),
\end{aligned}
$$

这就是 $k\left(A_1 A_4\right) \leqslant k\left(A_1 A_2\right)$ ．
又从（8．12）式两边同时减去 $\left(x_2-x_1\right) f\left(x_2\right)$ ，就得到

$$
\begin{aligned}
\left(x_2-x_1\right)\left[f\left(x_\lambda\right)-f\left(x_2\right)\right] & \leqslant\left(x_2-x_\lambda\right) f\left(x_1\right)+\left(x_\lambda-x_2\right) f\left(x_2\right) \\
& =\left[f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right]\left(x_2-x_\lambda\right),
\end{aligned}
$$

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