最后更新: 2025-03-15 12:18 查看: 393 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

函数的极值与最值

## 8.3.1 极值的充分性判别法
利用函数的单调性就可以得到关于极值点的第一个充分性判别法（参见图 3.18 及其说明）．

**极值点判别法1** 若函数 $f$ 在某点 $x_0$ 连续，在 $x_0$ 的两侧分别单调，且具有相反的单调性，则 $x_0$ 为 $f$ 的极值点．

当 $f$ 在 $x_0$ 的某个（去心）邻域上可微时，就可以用 $f^{\prime}$ 的符号来判定 $f$ 在点 $x_0$两侧的单调性。当 $x$ 从左到右经过 $x_0$ 时 $f^{\prime}$ 的符号从正变到负，则 $x_0$ 为极大值点，反之，当 $x$ 从左到右经过 $x_0$ 时 $f^{\prime}$ 的符号从负变到正，则 $x_0$ 为极小值点．

判别法1只用到单调性，且对于 $f$ 在 $x_0$ 不可导的情况也有效，但它只是充分条件．函数在点 $x_0$ 达到极值并不能推出 $f$ 在 $x_0$ 两侧分别单调（参见图 3．19）。

若 $f$ 不仅在点 $x_0$ 的一个邻域内可微，而且还在点 $x_0$ 存在二阶导数 $f^{\prime \prime}\left(x_0\right)$时，则有下面的第二个充分性判别法。这时根据 Fermat 定理（即定理 7．1），当然有 $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$ ，问题变成在该点的二阶导数起什么作用．

**极值点判别法2** 若 $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$ ，且存在 $f^{\prime \prime}\left(x_0\right) \neq 0$ ，则当 $f^{\prime \prime}\left(x_0\right)>0$ 时 $x_0$ 是极小值点，而当 $f^{\prime \prime}\left(x_0\right)<0$ 时 $x_0$ 是极大值点．

证 写出局部 Taylor 公式（即带 Peano 型余项的 Taylor 公式）

$$
f(x)=f\left(x_0\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_0\right)}{2}\left(x-x_0\right)^2+o\left(\left(x-x_0\right)^2\right)\left(x \rightarrow x_0\right)
$$

将它改写为

$$
\Delta f=f(x)-f\left(x_0\right)=\frac{1}{2}\left[f^{\prime \prime}\left(x_0\right)+o(1)\right] \Delta x^2\left(x \rightarrow x_0\right)
$$

由此可见 $\exists \delta>0, \forall 0<\left|x-x_0\right|=\Delta x<\delta, \Delta f$ 与 $f^{\prime \prime}\left(x_0\right)$ 具有相同的符号．这样就得到所要的结论．

注 在 $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$ 和 $f^{\prime \prime}\left(x_0\right) \neq 0$ 时如何记住 $f^{\prime \prime}\left(x_0\right)$ 的符号与极值类型的关系？为此记住一个简单例子就够了。例如 $y=x^2$ ，它在点 $x=0$ 处取极小值，而 $y^{\prime \prime}=2>0$ ．可见二阶导数大于 0 对应极小值，从而二阶导数小于 0 对应极大值．

判别法 2 也只是充分性判别法．若 $f^{\prime}\left(x_0\right)=f^{\prime \prime}\left(x_0\right)=0$ ，且 $f$ 在 $x_0$ 还有更高阶的导数，则有以下判别法．

**极值点判别法3** 若 $f^{\prime}\left(x_0\right)=f^{\prime \prime}\left(x_0\right)=\cdots=f^{(n-1)}\left(x_0\right)=0$ ，而 $f^{(n)}\left(x_0\right) \neq$ 0 ，则当 $n$ 为奇数时 $x_0$ 不是极值点，而当 $n$ 为偶数时 $x_0$ 是极值点，且在 $f^{(n)}\left(x_0\right)<0$时 $x_0$ 是极大值点，$f^{(n)}\left(x_0\right)>0$ 时 $x_0$ 是极小值点．
（证明同判别法 2 ，留作练习题．）
接下来的问题就是，若一个函数在点 $x_0$ 处无限次可导，且在该点的所有阶导数都等于 0 ，这时会发生什么情况？

回顾例题 6.19 中的函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{rr} e ^{-\frac{1}{x^2}}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.$, 并参看图 6.9 中该函数的图像，就可以知道所有阶导数都存在且等于 0 的点仍然有可能是极值点．另一方面，如果利用这个函数 $f$ 定义一个新的函数 $g$ 如下：在 $x \geqslant 0$ 时令 $g(x)=f(x)$ ，而在 $x<0$ 时令 $g(x)=-f(x)$ ，则可见 $x=0$ 不是函数 $g$ 的极值点，但 $g$ 在该点也具有所有阶导数且都等于 0 。

这两个例子表明，若一个函数在某个点具有所

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