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函数的极值与最值

## 8.3.1 极值的充分性判别法
利用函数的单调性就可以得到关于极值点的第一个充分性判别法（参见图 3.18 及其说明）．

**极值点判别法1** 若函数 $f$ 在某点 $x_0$ 连续，在 $x_0$ 的两侧分别单调，且具有相反的单调性，则 $x_0$ 为 $f$ 的极值点．

当 $f$ 在 $x_0$ 的某个（去心）邻域上可微时，就可以用 $f^{\prime}$ 的符号来判定 $f$ 在点 $x_0$两侧的单调性。当 $x$ 从左到右经过 $x_0$ 时 $f^{\prime}$ 的符号从正变到负，则 $x_0$ 为极大值点，反之，当 $x$ 从左到右经过 $x_0$ 时 $f^{\prime}$ 的符号从负变到正，则 $x_0$ 为极小值点．

判别法1只用到单调性，且对于 $f$ 在 $x_0$ 不可导的情况也有效，但它只是充分条件．函数在点 $x_0$ 达到极值并不能推出 $f$ 在 $x_0$ 两侧分别单调（参见图 3．19）。

若 $f$ 不仅在点 $x_0$ 的一个邻域内可微，而且还在点 $x_0$ 存在二阶导数 $f^{\prime \prime}\left(x_0\right)$时，则有下面的第二个充分性判别法。这时根据 Fermat 定理（即定理 7．1），当然有 $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$ ，问题变成在该点的二阶导数起什么作用．

**极值点判别法2** 若 $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$ ，且存在 $f^{\prime \prime}\left(x_0\right) \neq 0$ ，则当 $f^{\prime \prime}\left(x_0\right)>0$ 时 $x_0$ 是极小值点，而当 $f^{\prime \prime}\left(x_0\right)<0$ 时 $x_0$ 是极大值点．

证 写出局部 Taylor 公式（即带 Peano 型余项的 Taylor 公式）

$$
f(x)=f\left(x_0\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_0\right)}{2}\left(x-x_0\right)^2+o\left(\left(x-x_0\right)^2\right)\left(x \rightarrow x_0\right)
$$

将它改写为

$$
\Delta f=f(x)-f\left(x_0\right)=\frac{1}{2}\left[f^{\prime \prime}\left(x_0\right)+o(1)\right] \Delta x^2\left(x \rightarrow x_0\right)
$$

由此可见 $\exists \delta>0, \forall 0<\left|x-x_0\right|=\Delta x<\delta, \Delta f$ 与 $f^{\prime \prime}\left(x_0\right)$ 具有相同的符号．这样就得到所要的结论．

注 在 $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$ 和 $f^{\prime \prime}\left(x_0\right) \neq 0$ 时如何记住 $f^{\prime \prime}\left(x_0\right)$ 的符号与极值类型的关系？为此记住一个简单例子就够了。例如 $y=x^2$ ，它在点 $x=0$ 处取极小值，而 $y^{\prime \prime}=2>0$ ．可见二阶导数大于 0 对应极小值，从而二阶导数小于 0 对应极大值．

判别法 2 也只是充分性判别法．若 $f^{\prime}\left(x_0\right)=f^{\prime \prime}\left(x_0\right)=0$ ，且 $f$ 在 $x_0$ 还有更高阶的导数，则有以下判别法．

**极值点判别法3** 若 $f^{\prime}\left(x_0\right)=f^{\prime \prime}\left(x_0\right)=\cdots=f^{(n-1)}\left(x_0\right)=0$ ，而 $f^{(n)}\left(x_0\right) \neq$ 0 ，则当 $n$ 为奇数时 $x_0$ 不是极值点，而当 $n$ 为偶数时 $x_0$ 是极值点，且在 $f^{(n)}\left(x_0\right)<0$时 $x_0$ 是极大值点，$f^{(n)}\left(x_0\right)>0$ 时 $x_0$ 是极小值点．
（证明同判别法 2 ，留作练习题．）
接下来的问题就是，若一个函数在点 $x_0$ 处无限次可导，且在该点的所有阶导数都等于 0 ，这时会发生什么情况？

回顾例题 6.19 中的函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{rr} e ^{-\frac{1}{x^2}}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.$, 并参看图 6.9 中该函数的图像，就可以知道所有阶导数都存在且等于 0 的点仍然有可能是极值点．另一方面，如果利用这个函数 $f$ 定义一个新的函数 $g$ 如下：在 $x \geqslant 0$ 时令 $g(x)=f(x)$ ，而在 $x<0$ 时令 $g(x)=-f(x)$ ，则可见 $x=0$ 不是函数 $g$ 的极值点，但 $g$ 在该点也具有所有阶导数且都等于 0 。

这两个例子表明，若一个函数在某个点具有所有阶的导数，且所有这些导数值都等于 0 ，则不能由此对该点是否为极值点作出结论．

**例题 8.19** 求函数 $y=(x-1) \sqrt[3]{x^2}$ 的极值点．

注 在前面的例题 3.11 中已经用图形合成法作出了本例题中函数的草图．由所得的草图已经可以猜测出有关极值的结论。以下只是用微分学知识验证这些可能性确实成立。

解 从表达式已知 $x=0$ 处不可导，从导数计算

$$
y^{\prime}=x^{\frac{2}{3}}+(x-1) \cdot \frac{2}{3} x^{-\frac{1}{3}}=x^{-\frac{1}{3}}\left(x+\frac{2}{3} x-\frac{2}{3}\right)=\frac{1}{3} x^{-\frac{1}{3}}(5 x-2)
$$

可见 $x=2 / 5$ 是驻点．
为了用极值点判别法 1 ，只要用导数符号作单调性分析：
 ![图片](/uploads/2025-02/775edb.jpg)
 
 可见 $x=0$ 为极大值点，$x=\frac{2}{5}$ 为极小值点（参看第三章中的图 3．17）．

## 8.3.2 最值的求法
这里主要分两种情况来讨论。
第一种情况是函数 $f \in C[a, b]$ ，且在至多有限点之外处处有导数．这时有关知识如下：
 
（1）从连续函数在有界闭区间上的最值定理，即定理 5.9 ，可知一定存在最大值和最小值。
（2）如果最值点为内点，则为极值点．
（3）极值点处可导则为驻点（即 Fermat 定理），否则就是不可导点。
（4）因此只要求出所有有限个极值可疑点，然后从函数在这些可疑点上的函数

值和 $f(a), f(b)$ 中取最大数和最小数即可．
第二种情况就是将上述情况的有界闭区间放宽为任意区间，其他条件不变．
这时最值未必存在，因此将问题改为求确界更为合适。（如果确界能为函数取到，则就是最值．）

以区间 $I=(a, b)$ 为例，其中 $a, b$ 可以不是有限数．这时只要求出数集

$$
A=\left\{f\left(a^{+}\right), f\left(b^{-}\right), f\left(x_0\right), f\left(x_1\right), \cdots, f\left(x_n\right)\right\},
$$

其中当 $a=-\infty$ 时用 $f(-\infty)$ 代替 $f\left(a^{+}\right)$，当 $b=+\infty$ 时用 $f(+\infty)$ 代替 $f\left(b^{-}\right), x_i$ ， $i=0,1, \cdots, n$ ，为所有极值可疑点．对于由 $x_i$ 划分的每个子区间应用 Darboux 定理即知 $f$ 在每个子区间上严格单调，从而不可能在其中取到极值。因此只要考虑以上极值可疑点上的函数值与极限值即可决定函数的最值（或确界）．

下一个例题 8.20 中的函数图像已经在第三章中用图形合成法作出，见例题 3.10 和图3．16．

**例题8.20** 求 $y=x+\frac{1}{x}$ 在 $(0,+\infty)$ 中的确界和最值．
解 求导得到 $y^{\prime}=1-\frac{1}{x^2}$ ，这样就知道在 $(x>0$ 时的）$x=1$ 处导数为 0 ．又求出 $y\left(0^{+}\right)=y(+\infty)=+\infty$ ，可见该函数在 $(0,+\infty)$ 上没有上界，或说函数值域的上确界为 $+\infty$ ，最小值 2 在 $x=1$ 处达到．

**例题 8.21** 求 $y=x^2 e ^{-|x-1|}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 中的确界．
解 $x=1$ 处不可导．在 $x \neq 1$ 时可以计算出

$$
\begin{aligned}
y^{\prime} & =2 x e^{-|x-1|}+x^2 e^{-|x-1|} \cdot(-\operatorname{sgn}(x-1)) \\
& =x e^{-|x-1|}(2-x \operatorname{sgn}(x-1)) .
\end{aligned}
$$

由此确定出三个驻点 $x=0, \pm 2$ ．计算以上 4 个极值可疑点上的函数值，再加上 $y( \pm \infty)$ ，就可以解决问题。

计算结果可列表为
 ![图片](/uploads/2025-02/a41b81.jpg)
 
 注 可以先用图形合成法看出大致情况，然后用微分学确定最后答案．这里 $x=1$ 为不可导点，对于该处的两个单侧导数计算，公式 $(u v)^{\prime}=u^{\prime} v+u v^{\prime}$ 仍然有效，计算得到：$y_{+}^{\prime}(1)=1, y_{-}^{\prime}(1)=3$ ．

## 8.3.3 应用题
例题 8.22 如下面的图 8.6 所示，从边长为 $a$ 的正方形铁皮的四个角分别去掉边长为 $x$ 的四个正方形后，做成一个无盖方盒．问：$x$ 为何值时方盒的体积最大？
 ![图片](/uploads/2025-02/98a8a6.jpg)
 解 1 写出体积的表达式：

$$
V(x)=x(a-2 x)^2, \quad 0 \leqslant x \leqslant \frac{a}{2}
$$

可见一定有最大值，而且是极大值点．当然，取 $x$ 为 0 和 $\frac{a}{2}$ 是没有实际意义的，但这样可以直接用有界闭区间上连续函数的最值定理，从而在具体计算之前就确定问题有解，而且最值点一定是内点，从而可以用微分学解决。

求导得到

$$
V^{\prime}(x)=(a-2 x)^2+2 x(a-2 x)(-2)=(a-2 x)(a-6 x)
$$

可见只要计算点 $x=0, \frac{a}{2}, \frac{a}{6}$ 对应的体积 $V(x)$ 。当然最后一个值是问题的解，即

$$
\max _{0 \leqslant x \leqslant \frac{a}{2}} V(x)=V\left(\frac{a}{6}\right)=\frac{a}{6}\left(\frac{2 a}{3}\right)^2=\frac{2}{27} a^3
$$

解 2 将 $V(x)$ 改写为

$$
V(x)=\frac{1}{4} \cdot 4 x(a-2 x)^2
$$

可见除了因子 $1 / 4$ 之外，就是三个数 $4 x, a-2 x, a-2 x$ 的乘积．由于它们的和为 $2 a$ ，因此用平均值不等式知道当 $4 x=a-2 x$ 时达到最大值．于是最大值点为 $a=1 / 6$ ，最大值为

$$
\max _{0 \leqslant x \leqslant \frac{a}{2}} V(x)=\frac{1}{4}\left(\frac{2 a}{3}\right)^3=\frac{2}{27} a^3
$$

评论 解 1 是用微分学解最值问题的标准方法．但对一个具体问题而言，标准方法未必是最简单的解法．解 2 是针对具体问题的初等方法，但当然不是求解最值问题的普遍方法．若在学习中能够兼顾到这两个方面，则会起相得益彰的效果．

例题 8.23 （光线折射定律与最短时间原理）（如图8．7所示）设有一束光线从点 $A\left(0, y_1\right)\left(y_1>0\right)$ 出发经过界面 $y=0$ 到达点 $B\left(x_2, y_2\right),\left(x_2>0, y_2<0\right)$ ．设光在介质1 $(y>0)$ 和介质 $2(y<0)$ 中的速度分别为 $v_1$ 和 $v_2$ ，证明折射定律

$$
\frac{\sin \alpha}{\sin \beta}=\frac{v_1}{v_2}
$$

等价于光以最短时间从点 $A$ 到 $B$ ，其中 $\alpha$ 和 $\beta$ 分别是入射角和折射角．

证 如图 8.7 所示，以光束与界面交点的横坐标 $x$ 为变量计算光束从 $A$ 到 $B$ 所用时间，它是 $x$ 的函数，然后求其最小值点，并验证在最小值点处的入射角和折射角满足定律。

取定 $x$ ，可以看出所用时间为

$$
t(x)=\frac{\sqrt{x^2+y_1^2}}{v_1}+\frac{\sqrt{\left(x_2-x\right)^2+y_2^2}}{v_2} .
$$

对 $x$ 求导得到

$$
t^{\prime}(x)=\frac{x}{v_1 \sqrt{x^2+y_1^2}}+\frac{x-x_2}{v_2 \sqrt{\left(x_2-x\right)^2+y_2^2}} .
$$

这里要解出驻点是困难的，然而这不是本题的目的．
 ![图片](/uploads/2025-02/ed1772.jpg)
 
 首先看出 $t^{\prime}(x)$ 在区间 $\left[0, x_2\right]$ 两端反号：$t^{\prime}(0)<0, t^{\prime}\left(x_2\right)>0$（请回答这有什么物理意义），因此从零点存在定理知道存在内点 $\xi \in\left(0, x_2\right)$ ，使得 $t^{\prime}(\xi)=0$ ．

写出入射角与折射角的正弦表达式：

$$
\sin \alpha=\frac{\xi}{\sqrt{\xi^2+y_1^2}}, \quad \sin \beta=\frac{x_2-\xi}{\sqrt{\left(x_2-\xi\right)^2+y_2^2}},
$$

就可以看出有

$$
t^{\prime}(\xi)=0 \Longleftrightarrow \frac{\sin \alpha}{v_1}-\frac{\sin \beta}{v_2}=0 .
$$

这已经证明了驻点处光线满足折射定律．然而，我们还没有证明这个驻点就是最小值点，因此还需要继续作一些讨论。

由于从 $t^{\prime}(x)$ 的表达式似乎不易看清楚它的符号，不妨再求导一次得到

$$
\begin{aligned}
t^{\prime \prime}(x) & =\frac{1}{v_1} \cdot \frac{\sqrt{x^2+y_1^2}-\frac{x^2}{\sqrt{x^2+y_1^2}}}{x^2+y_1^2}+\frac{1}{v_2} \cdot \frac{\sqrt{\left(x_2-x\right)^2+y_2^2}-\frac{\left(x-x_2\right)^2}{\sqrt{\left(x_2-x\right)^2+y_2^2}}}{\left(x_2-x\right)^2+y_2^2} \\
& =\frac{1}{v_1} \cdot \frac{y_1^2}{\left(x^2+y_1^2\right)^{3 / 2}}+\frac{1}{v_2} \cdot \frac{y_2^2}{\left(\left(x_2-x\right)^{+} y_2^2\right)^{3 / 2}}>0
\end{aligned}
$$

可见 $t^{\prime}(x)$ 是严格单调增加函数．从而它的零点，即 $t(x)$ 的驻点，一定惟一．又从在 $[0, \xi)$ 上 $t^{\prime}(x)<0$ ，可见 $t(x)$ 严格单调减少，而在 $\left(\xi, x_2\right]$ 上 $t^{\prime}(x)>0$ ，可见 $t(x)$ 严格单调增加，因此 $\xi$ 是最小值点．这样就证明了折射定律等价于光线运行服从所化时间最小的原则．

注 1 在学了下一节的凸函数知识后，可以从 $t^{\prime \prime}(x)$ 处处大于 0 即知 $t(x)$ 是严格下凸函数（见定义 8．1），而从 $t^{\prime}(0)<0$ 和 $t^{\prime}\left(x_2\right)>0$ ，并利用例题 8.25 和图 8.12就知道 $t(x)$ 先严格单调减少再严格单调增加，因此存在惟一的极小值点，同时也就是最小值点．

注 2 这个题有两点可以进一步说一下．
（1）物理定律是以数学语言表达出来的，大自然的定律都是如此 ${ }^{(1)}$ ．数学的重要性就在于此．折射定律只是这方面的一个例子。
（2）为什么光束满足折射定律？这不是数学问题，也不是物理学能够回答的问题．正像 Newton 力学第一定律，即惯性定律，若要求回答为什么物体的运动会满足惯性定律，则从来没有答案，可以说这类问题不是现代科学中能够讨论的问题。（对此有兴趣的读者可以看诺贝尔物理奖获得者 Feynman 的《物理定律的本性》．）

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