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函数的单调性

## 8.2 函数的单调性
回顾本书此前与单调性有关的内容有：$\S 3.3 .4$ 关于单调性和单调区间的概念，以严格单调性为主要条件的反函数存在定理（即定理 3.1 ），以及 $\S 5.3$ 关于单调函数基本性质的介绍等等。本节介绍如何用微分学方法判定函数的单调性，确定一般函数的单调区间以及单调性的应用。

## 8.2.1 单调性判别法
根据导数定义，单调函数的差商保号，因此导数也一定保号，即单调增加函数的导数处处 $\geqslant 0$ ，而单调减少函数的导数处处 $\leqslant 0$ ．反之如何？

定理8．2 设函数 $f$ 在区间 $I=[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 上可微，且处处成立 $f^{\prime}(x) \geqslant 0(\leqslant 0)$ ，则 $f$ 为单调增加（减少）函数．

证 只写出 $\forall x \in I$ 有 $f^{\prime}(x) \geqslant 0$ 时的证明．任取 $x_1, x_2 \in[a, b], x_1<x_2$ ，在 $\left[x_1, x_2\right]$ 上用 Lagrange 中值定理，就有 $\xi \in\left(x_1, x_2\right)$ ，成立

$$
f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)=f^{\prime}(\xi)\left(x_2-x_1\right) \geqslant 0
$$

因此 $f$ 单调增加．
注 在 $\S 7.1 .1$ 的引理后的注中曾经指出不能根据在某一个点的导数大于 0 或小于 0 而作出函数在该点邻近为单调的结论．在这里我们看到，若在一个区间上导数保号，则确实可以得到函数单调的结论。

下面的问题是如何根据导数判定函数严格单调？从定理 8.2 的证明（或见定理7.8 的推论），可见若导函数在一个区间上严格大于 0 ，或严格小于 0 ，则函数严格单调．但这个条件过分强了一点．例如 $y=x^3$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上严格单调增加，但 $y^{\prime}(0)=0$ 。

下面的推论完全解决了这个问题．

> 推论 设函数 $f$ 在区间 $I=[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 上可微，则 $f$ 在 $I$ 上严格单调增加（减少）的充分必要条件是同时满足以下两个条件：（1）$f^{\prime}(x) \geqslant 0(\leqslant 0)$ 处处成立，（2）在数集 $\left\{x \mid f^{\prime}(x)=0\right\}$ 中不含有任何长度大于 0 的区间．

证 只证明严格单调增加的部分．
必要性 $(\Longrightarrow)(1)$ 从单调增加性可知差商 $\frac{\Delta y}{\Delta x} \geqslant 0$ ，因此其极限 $f^{\prime}(x) \geqslant 0$ ． （2）用反证法．如果存在 $c<d$ 使得 $[c, d]$ 上 $f^{\prime}(x) \equiv 0$ ，则 $f$ 在 $[c, d]$ 上为常值函数 （根据定理 7．11），与严格单调条件相矛盾．

充分性（こ）从条件（1）用定理8．2即知 $f$ 单调增加。为了证明它严格单调增加，用反证法．若它不是严格单调增加，则存在 $x_1<x_2$ ，使得 $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)$ ．这
时 $f$ 在 $\left[x_1, x_2\right]$ 上恒等于常值 $f\left(x_1\right)$ ，于是 $\left(x_1, x_2\right) \subset\left\{x \mid f^{\prime}(x)=0\right\}$ ，这与条件（2）矛盾。

**例题8.14** 证明 $y=x+\sin x$ 严格单调增

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