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函数的单调性

## 8.2 函数的单调性
回顾本书此前与单调性有关的内容有：$\S 3.3 .4$ 关于单调性和单调区间的概念，以严格单调性为主要条件的反函数存在定理（即定理 3.1 ），以及 $\S 5.3$ 关于单调函数基本性质的介绍等等。本节介绍如何用微分学方法判定函数的单调性，确定一般函数的单调区间以及单调性的应用。

## 8.2.1 单调性判别法
根据导数定义，单调函数的差商保号，因此导数也一定保号，即单调增加函数的导数处处 $\geqslant 0$ ，而单调减少函数的导数处处 $\leqslant 0$ ．反之如何？

定理8．2 设函数 $f$ 在区间 $I=[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 上可微，且处处成立 $f^{\prime}(x) \geqslant 0(\leqslant 0)$ ，则 $f$ 为单调增加（减少）函数．

证 只写出 $\forall x \in I$ 有 $f^{\prime}(x) \geqslant 0$ 时的证明．任取 $x_1, x_2 \in[a, b], x_1<x_2$ ，在 $\left[x_1, x_2\right]$ 上用 Lagrange 中值定理，就有 $\xi \in\left(x_1, x_2\right)$ ，成立

$$
f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)=f^{\prime}(\xi)\left(x_2-x_1\right) \geqslant 0
$$

因此 $f$ 单调增加．
注 在 $\S 7.1 .1$ 的引理后的注中曾经指出不能根据在某一个点的导数大于 0 或小于 0 而作出函数在该点邻近为单调的结论．在这里我们看到，若在一个区间上导数保号，则确实可以得到函数单调的结论。

下面的问题是如何根据导数判定函数严格单调？从定理 8.2 的证明（或见定理7.8 的推论），可见若导函数在一个区间上严格大于 0 ，或严格小于 0 ，则函数严格单调．但这个条件过分强了一点．例如 $y=x^3$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上严格单调增加，但 $y^{\prime}(0)=0$ 。

下面的推论完全解决了这个问题．

> 推论 设函数 $f$ 在区间 $I=[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 上可微，则 $f$ 在 $I$ 上严格单调增加（减少）的充分必要条件是同时满足以下两个条件：（1）$f^{\prime}(x) \geqslant 0(\leqslant 0)$ 处处成立，（2）在数集 $\left\{x \mid f^{\prime}(x)=0\right\}$ 中不含有任何长度大于 0 的区间．

证 只证明严格单调增加的部分．
必要性 $(\Longrightarrow)(1)$ 从单调增加性可知差商 $\frac{\Delta y}{\Delta x} \geqslant 0$ ，因此其极限 $f^{\prime}(x) \geqslant 0$ ． （2）用反证法．如果存在 $c<d$ 使得 $[c, d]$ 上 $f^{\prime}(x) \equiv 0$ ，则 $f$ 在 $[c, d]$ 上为常值函数 （根据定理 7．11），与严格单调条件相矛盾．

充分性（こ）从条件（1）用定理8．2即知 $f$ 单调增加。为了证明它严格单调增加，用反证法．若它不是严格单调增加，则存在 $x_1<x_2$ ，使得 $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)$ ．这
时 $f$ 在 $\left[x_1, x_2\right]$ 上恒等于常值 $f\left(x_1\right)$ ，于是 $\left(x_1, x_2\right) \subset\left\{x \mid f^{\prime}(x)=0\right\}$ ，这与条件（2）矛盾。

**例题8.14** 证明 $y=x+\sin x$ 严格单调增加．
证 从导函数 $y^{\prime}=1+\cos x \geqslant 0$ ，而其零点集合为 $\{\pi+2 n \pi \mid n \in Z \}$ ，用推论可知结论成立。

**例题8.15** 讨论函数 $y=x^3-3 x$ 的上升和下降情况．
解 这就是要确定出在该函数的定义域中的所有单调区间．
为此只需要搞清楚导函数 $y^{\prime}=3 x^2-3=3\left(x^2-1\right)$ 的符号．这里使用列表法写出答案，并用符号 $\nearrow$ 和 $\downarrow$ 表示单调增加和单调减少．
 ![图片](/uploads/2025-02/dedaa6.jpg)
 
 注意：从严格单调性已经可以确定出点 -1 是极大值点，点 1 是极小值点．（参见在例题 8.26 中对 $y=x^3-3 x$ 讨论凸性之后作出的图 8．15．）

## 8.2.2  例题
判定函数的单调性是证明不等式的最基本方法之一，下面举几个例子。
先提请注意在例题 7.15 中已经建立的两个基本不等式（7．11）：

$$
\forall 0<x<\frac{\pi}{2}: \sin x<x<\tan x ...(8.4)
$$

这两个不等式在下面都要用到。（它们也可以用本节的方法来证明，留作练习题．）下面是有关它们的组合的一个不等式。

例题8．16 证明在 $0<x<\frac{\pi}{2}$ 上成立不等式

$$
\tan x+2 \sin x>3 x
$$

证 定义辅助函数

$$
F(x)=\tan x+2 \sin x-3 x, \quad 0 \leqslant x<\frac{\pi}{2}
$$

注意将定义域扩大到包含 $x=0$ 对于讨论是有益的．这时 $F(0)=0$ ，

$$
F^{\prime}(x)=\sec ^2 x+2 \cos x-3
$$

如果 $F$ 在 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right)$ 上严格单调增加，因此 $F(x)>F(0)=0$ 就成立了．为此只要证明在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 上处处有 $F^{\prime}(x)>0$ ．这可以通过如下利用平均值不等式来得到：

$$
\frac{\sec ^2 x+2 \cos x}{3} \geqslant \sqrt[3]{\sec ^2 x \cos x \cos x}=1
$$

而且在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 上不会成立等号。
注 若看不出用平均值不等式的上述方法，则可以用其他方法证明在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$上成立 $F^{\prime}(x)>0$ ．例如再对 $F^{\prime}$ 求导，观察 $F$ 的二阶导数

$$
F^{\prime \prime}(x)=2 \sec ^2 x \tan x-2 \sin x
$$

的符号．从

$$
F^{\prime \prime}(x)=\frac{2 \sin x}{\cos ^3 x}-2 \sin x=2 \sin x\left(\frac{1}{\cos ^3 x}-1\right)
$$

可见在 $0<x<\frac{\pi}{2}$ 上处处有 $F^{\prime \prime}(x)>0$ ，于是在 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right)$ 上 $F^{\prime}$ 严格单调增加．再利用 $F^{\prime}(0)=0$ ，可见 $F^{\prime}(x)>0$ 在 $0<x<\frac{\pi}{2}$ 上成立。这表明 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right)$ 上 $F$ 严格单调增加。最后用 $F(0)=0$ ，因此在 $0<x<\frac{\pi}{2}$ 上处处有 $F(x)>0$ ，证毕。

注 最后一步也可用 Taylor 中值定理（记带 Lagrange 型余项的 Taylor 公式）做．由于 $F(0)=F^{\prime}(0)=0, F^{\prime \prime}(x)>0 \forall 0<x<\frac{\pi}{2}$ 时，因此有 $0<\theta<1$ ，使得

$$
F(x)=F(0)+F^{\prime}(0) x+\frac{1}{2} F^{\prime \prime}(\theta x) x^2=\frac{1}{2} F^{\prime \prime}(\theta x) x^2>0
$$

下面是有关正弦函数的一个基本不等式。

例题 8.17 证明 Jordan   不等式

$$
\frac{2}{\pi}<\frac{\sin x}{x} \quad \forall 0<x<\frac{\pi}{2}
$$

Jordan 不等式有多种证明方法．下面举出的两种证明都有明显的几何背景，因此我们将有关的图附在证明右边作为参考。

首先考虑函数 $\frac{\sin x}{x}$ 的图像（见前面的图 5．1）．为了方便起见，在图 8.2 中重新作出该函数在区间 $(0, \pi]$ 上的图像．

证1 利用 §5．1．4 中的连续延拓原理，引入辅助函数

$$
F(x)=\left\{\begin{array}{cl}
\frac{\sin x}{x}, & 0<x \leqslant \frac{\pi}{2} \\
1, & x=0
\end{array}\right.
$$

然后用微分学方法研究函数 $F$ 的单调性．

![图片](/uploads/2025-02/785607.jpg)

为此求导得到

$$
F^{\prime}(x)=\frac{x \cos x-\sin x}{x^2}=\frac{\cos x}{x^2} \cdot(x-\tan x)
$$

利用（8．4）中的不等式 $\tan x>x$ 在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 上成立，就推出在该区间上处处有 $F^{\prime}(x)<0$ ，因此 $F$ 在 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上严格单调减少．于是在 $0<x<\frac{\pi}{2}$ 上成立

$$
F(0)>F(x)>F\left(\frac{\pi}{2}\right)
$$

这就是

$$
\frac{2}{\pi}<\frac{\sin x}{x}<1
$$

左边就是所要证明的不等式（8．5）．
若将不等式（8．6）改写为

$$
\frac{2}{\pi} x<\sin x<x \quad \forall 0<x<\frac{\pi}{2}
$$

则表明 $\sin x$ 处于 $y=\frac{2}{\pi} x$ 和 $y=x$ 两条直线之间。从这样的几何意义出发，提示我们作出一个新的证明．在图 8.3 中作出了这两条直线和正弦函数的图像，同时还有在下面的证 2 中的辅助函数 $\phi(x)$ 的图像．
 ![图片](/uploads/2025-02/e0005f.jpg)
 
 
 例题 8.18 确定方程 $\ln x=a x$ 的实根个数，其中 $a$ 为正参数．

解 从几何上看，就是对数曲线 $y=\ln x$ 与直线 $y=a x$ 是否相交以及相交时有几个交点的问题．

引入辅助函数

$$
F(x)=\ln x-a x, \quad x>0 .
$$

则就将问题转化为确定 $F$ 的零点个数，或者说曲线 $y=F(x)$ 是否与 $x$ 轴相交的问题．从 $F$ 的导函数

$$
F^{\prime}(x)=\frac{1}{x}-a
$$

和 $a>0$ 可知函数 $F$ 在 $\left(0, \frac{1}{a}\right]$ 上严格单调增加，而在 $\left[\frac{1}{a},+\infty\right)$ 上严格单调减少．由此可见问题在于 $F$ 的极大值（也是最大值）的符号。可以计算得到

$$
F\left(0^{+}\right)=-\infty, \quad F\left(\frac{1}{a}\right)=-\ln a-1, \quad F(+\infty)=-\infty
$$

其中最后一式利用了

$$
F(x)=-a x\left(1-\frac{\ln x}{a x}\right)=-a x(1+o(1))(x \rightarrow+\infty)
$$

根据 $F\left(\frac{1}{a}\right)$ 的符号就有三种可能性（参见图 8．4）：
（1） $\ln a>-1$ ，即 $a> e ^{-1}$ ，这时 $F(x)$ 没有零点，即方程 $\ln x=a x$ 无实根．
（2）$a= e ^{-1}$ ，方程 $\ln x=a x$ 恰有一个实根，即 $x= e$ 。
（3） $0<a< e ^{-1}$ ，方程 $\ln x=a x$ 恰有两个实根，分别在点 $1 / a$ 的两侧．

![图片](/uploads/2025-03/8b52c4.jpg)

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