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洛必塔 L Hospital 法则应用

## 洛必塔 L'Hospital 法则应用
定理 8.1 （L＇Hospital 法则）对于极限 $\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}$ ，若满足以下两个条件：

(1)这个极限是 $\frac{0}{0}$ 型不定式，或者是 $\frac{*}{\infty}$ 型不定式 $  ;$

(2)极限 $\lim _{x \rightarrow a} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}=A$ 有意义，即或者 $A$ 为有限数，或者是 $\pm \infty$ ；则就有

$$
\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=A
$$

下面先作一些补充说明：
1．极限 $\lim _{x \rightarrow a} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}$ 有意义的条件中蕴含以下几点：（1）$f, g$ 可微，（2）至少在 $a$的充分邻近 $g^{\prime}(x) \neq 0$ ．由 Darboux 定理及其推论知道 $g(x)$ 在 $a$ 的两侧邻近分别严格单调．

2．在 具体使用 L＇Hospital 法则时我们经常写出等式：

$$
\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim _{x \rightarrow a} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}
$$

我们需要对此等式的含意有正确的了解．这里与 $\operatorname{Stolz}$ 定理相同，即当右边极限存在时，这个等式成立，从而求出了所要计算的左边极限．反之，如果（8．1）的右边极限不存在，则这个等式根本不成立．这只表明用 L＇Hospital 法则不成功，但（8．1）的左边极限仍可能存在，只是需要用其他方法来求．为此举一个例子．

**例题 8.4**  等式（8．1）不成立的一个例子是

$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \frac{1}{x}}{\frac{1}{x}} \neq \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(\sin \frac{1}{x}\right)^{\prime}}{\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{-\frac{1}{x^2} \cos \frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}=\lim _{x \rightarrow 0} \cos \frac{1}{x},
$$

左边的极限为 0 ，而对其分子分母分别求导后的极限却不存在．
3．在定理 8.1 中的极限过程不限于函数的基本类型，其中的 $x \rightarrow a$ 可以换为单侧极限，也可以换为 $x \rightarrow \pm \infty$ ，

4．在 $\frac{*}{\infty}$ 中，分母 $\lim _{x \rightarrow a} g(x)= \pm \infty$ ．由于 $g^{\prime}(x) \neq 0$ ，因此当 $x$ 趋于 $a$ 的每一侧时，$g(x)$ 只能是严格单调并具有确定符号的无穷大量．

下面先讲如何使用 L＇Hospital 法则．同时我们还举出其他方法以资比较．
在下面的第一个例题中列举三种解法，它们代表了本书到目前为止求函数极限的三种主要方法．

例题 8.5 求 $I=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{x^2}$ ．
解 1 用等价量代换法，见例题 4．15．
解 2 将 $\cos x$ 作 Maclaurin 展开：

$$
I=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\left[1-\frac{x^2}{2}+o\left(x^3\right)\right]}{x^2}=\frac{1}{2}
$$

解 3 这是 $0 / 0$ 型不定式，连用两次 L＇Hospital 法则即有：

$$
I=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1-\cos x)^{\prime}}{\left(x^2\right)^{\prime}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{2 x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(\sin x)^{\prime}}{(2 x)^{\prime}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x}{2}=\frac{1}{2}
$$

注 由解 3 可见，用了一次 L＇Hospital 法则之后也可以改用其他方法，如果更方便的话。

例题8．6 求 $I=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos ^\alpha x-\cos ^\beta x}{\sin ^2 x}$ ．
解 用 L＇Hospital 法则（用 Taylor 公式也可以）：

$$
I=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\alpha \cos ^{\alpha-1} x(-\sin x)-\beta \cos ^{\beta-1} x(-\sin x)}{2 \sin x \cos x}=\frac{1}{2}(\beta-\alpha)
$$

例题 8.7 设 $f$ 于 $(0,+\infty)$ 上可微，且已知有

$$
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left[f(x)+f^{\prime}(x)\right]=A
$$

求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ ．
解 这里介绍一种重要的方法，即对表达式 $f(x)+f^{\prime}(x)$ 乘以 $e ^x$ ，使得 $e ^x\left[f(x)+f^{\prime}(x)\right]$ 成为 $e ^x f(x)$ 的导函数，因此可以称为＂凑导数法＂。

将 $f(x)$ 写为分式 $\frac{ e ^x f(x)}{ e ^x}$ ，当 $x \rightarrow+\infty$ 时分母是严格单调增加的无穷大量，用 L＇Hospital 法则即可计算如下：

$$
\begin{aligned}
\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x) & =\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{e^x f(x)}{e^x}=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\left(e^

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