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用局部 Taylor 公式计算极限

## 8.1.1  用局部 Taylor 公式计算极限
先从一个容易出错的求极限题开始．
**例题 8.1** 求极限 $I=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{x}{1+x}-\ln (1+x)}{x^2}$ ．
几种错误的解法 以下是学生在做此题时实际出现的各种错误。
第一种错误是对于分子的两项分别利用 $\frac{x}{1+x} \sim x(x \rightarrow 0)$ 和 $\ln (1+x) \sim$ $x(x \rightarrow 0)$ 换为等价量 $x$ ，于是分子成为 $x-x=0$ ，所以 $I=0$ 。

第二种错误是利用 $\frac{x}{1+x} \sim x(x \rightarrow 0)$ ，将分子的第一项换为它的等价量 $x$ ，对第二项则用 Taylor 展开式，于是有

$$
I=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\ln (1+x)}{x^2}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\left(x-\frac{x^2}{2}+o\left(x^2\right)\right)}{x^2}=\frac{1}{2} .
$$

第三种错误是在分子中用 $\ln (1+x) \sim x(x \rightarrow 0)$ 将第二项换为 $x$ ，于是
$$
I=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{x}{1+x}-x}{x^2}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-x(1+x)}{x^2(1+x)}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{-x^2}{x^2+x^3}=-1
$$

以上三个答案都是错的。错误的根源相同，都是不恰当地利用等价量代换法 （回顾第四章的定理 $4.13(2)$ 和例题 4．19）。但我们也可以从无穷小量的阶数来观察问题．将 $x \rightarrow 0$ 时的 $x$ 作为一阶无穷小量，则本题中的分母就是二阶无穷小量．因此至少应当将分子的每一项都作 Taylor 展开，并写出其 $x^2$ 项．

解 将分子的两项分别作 Taylor 展开：

$$
\begin{aligned}
I & =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x[(1-x)+o(x)]-\left[x-\frac{x^2}{2}+o\left(x^2\right)\right]}{x^2} \\
& =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{-\frac{x^2}{2}+o\left(x^2\right)}{x^2}=-\frac{1}{2} .
\end{aligned}
$$

**例题 8.2**  求极限 $I=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x}-1-\frac{x}{2}}{ e ^x \ln (1+x)-x}$ ．
解 分别将分子分母作 Taylor 展开如下：

$$
\begin{aligned}
\text { 分子 } & =\sqrt{1+x}-1-\frac{x}{2} \\
& =1+\frac{1}{2} x+\frac{\frac{1}{2} \cdot\left(-\frac{1}{2}\right)}{2} x^2+o\left(x^2\right)-1-\frac{x}{2} \\
& =-\frac{x^2}{8}+o\left(x^2\right) \sim-\frac{x^2}{8}(x \rightarrow 0) ;
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
\text { 分母 } & =e^x \ln (1+x)-x \\
& =\left[1+x+\frac{x^2}{2}+o\left(x^2\right)\right] \cdot\left[x-\frac{x^2}{2}+o\left(x^2\right)\right]-x \\
& =x-\frac{x^2}{2}+x^2-x+o\left(x^2\right) \\
& =\frac{x^2}{2}+o\left(x^2\right) \sim \frac{x^2}{2}(x \rightarrow 0) .
\end{aligned}
$$

于是就有

$$
I=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{-\frac{x^2}{8}+o\left(x^2\right)}{\frac{x^2}{2}+o\left(x^2\right)}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{-\frac{1}{8}+o(1)}{\frac{1}{2}+o(1)}=-\frac{1}{4} .
$$

下面是一个几何问题，参见示意图 8．1．
 ![图片](/uploads/2025-02/435a18.jpg)
 
 **例题8.3** 设 $f \in C^2[0,+\infty), f(0)=$ $f^{\prime}(0)=0$ ，且 $f^{\prime \prime}(x)>0$ 处处成立．又记曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x, f(x))$ 处的切线在 $x$ 轴上的截距为 $u(x)$ ，证明极限

$$
I=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x f(u(x))}{u(x) f(x)}=\frac{1}{2}
$$

证 用带 Peano 型余项的 Taylor 公式于 $f(x), u(x)$ 和 $f(u(x))$ ，然后分别计算它们当 $x \rightarrow 0^{+}$时的性态．

首先有

$$
f(x)=\frac{f^{\prime \prime}(0)}{2} x^2+o\left(x^2\right)(x \rightarrow 0)
$$

在切线方程 $Y-f(x)=f^{\prime}(x)(X-x)$ 中令 $Y=0$ ，解出截距

$$
u(x)=x-\frac{f(x)}{f^{\prime}(x)}
$$

然后用 $f(x)$ 的展开式和 $f^{\prime}(x)=f^{\prime \prime}(0) x+o(x)(x \rightarrow 0)$ 代入就可以得到

$$
u(x)=x-\frac{\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(0) x^2+o\left(x^2\right)}{f^{\prime \prime}(0) x+o(x)}=\frac{1}{2} x+o(x)(x \rightarrow 0)
$$

再求出

$$
\begin{aligned}
f(u(x)) & =\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(0) u^2(x)+o\left(u^2(x)\right) \\
& =\frac{1}{8} f^{\prime \prime}(0) x^2+o\left(x^2\right)(x \rightarrow 0)
\end{aligned}
$$

合并以上结果就得到

$$
\frac{x f(u(x))}{u(x) f(x)}=\frac{\frac{1}{8} f^{\prime \prime}(0) x^3+o\left(x^3\right)}{\frac{1}{4} f^{\prime \prime}(0) x^3+o\left(x^3\right)}=\frac{1}{2}+o(1)(x \rightarrow 0)
$$

可见 $I=\frac{1}{2}$ ．
注 本题有明显的几何意义．如图8．1 所示，$f(x) / x$ 是点 $(x, f(x))$ 与原点联线的斜率，而 $f(u(x)) / u(x)$ 是点 $(u(x), f(u(x)))$ 与原点联线的斜率．$I$ 就是二者之比的极限。由于这两个斜率都趋于 0 ，因此这个极限也是两条联线与 $x$ 轴正向的夹角之比的极限．最后结果表明，只要 $f$ 满足条件，则这个比一定是 $1: 2$ ，而与 $f$ 的其他具体特性无关。

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