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中值定理应用与达布Darboux定理

##  微分中值定理的若干应用
微分中值定理可以将函数在一个区间上的增量与导数相联系，这与从导数和微分导出的无穷小增量公式的意义完全不同，因此应用范围也不一样．在这一节中集中介绍微分中值定理的一些比较重要的应用。

7．3．1 有关导函数的基本定理
由这一小节的结果可以知道导函数具有它的独特性质，或者说，不是任何一个函数都可以是某个函数的导函数的．首先介绍 Darboux ${ }^{(1)}$ 定理．

定理 7.8 （导函数的介值定理（达布 Darboux 定理））导函数在区间上的值域一定是区间。

下面给出两个证明．其中证 1 出现于 2004 年，证 2 是比较传统的方法．
证 1 根据数集连通的定义 1.7 和例题 1．2，只要证明：若在区间 $[a, b]$ 上的函数 $f$ 处处可导，且有 $f^{\prime}(a) \neq f^{\prime}(b)$ ，则 $f^{\prime}$ 就能取到介于 $f^{\prime}(a), f^{\prime}(b)$ 之间的每个值．这等价于 $f^{\prime}$ 的值域包含区间 $\left[f^{\prime}(a), f^{\prime}(b)\right]$ ．
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 如图 7.5 所示，用割线的斜率定义辅助函数（就是 $\S 6.2 .5$ 的链式法则证明中的 $\omega(\Delta u)$ ）：

$$
g(x)= \begin{cases}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}, & a<x \leqslant b, \\ f^{\prime}(a), & x=a,\end{cases}
$$

则 $g \in C[a, b]$ ．为表达简明起见令常数

$$
k=\frac{f(b)-f(a)}{b-a},
$$

则函数 $g$ 的值域包含区间 $\left[f^{\prime}(a), k\right]$ ．
根据 Lagrange 中值定理的几何意义（参见图 7.2 的左分图），当 $a<x \leqslant b$ 时割线斜率 $g(x)$ 的值一定等于 $f$ 在 $(a, x)$ 中某点的导数值（见图 7．5），因此导函数 $f^{\prime}$的值域必定包含了函数 $g$ 的值域，从而包含了区间 $\left[f^{\prime}(a), k\right]$ ．

同样可证：导函数 $f^{\prime}$ 的值域也包含区间 $\left[k, f^{\prime}(b)\right]$ ．由于不论 $k$ 如何，总有

$$
\left[f^{\prime}(a), k\right] \cup\left[k, f^{\prime}(b)\right] \supset\left[f^{\prime}(a), f^{\prime}(b)\right],
$$

因此导函数 $f^{\prime}$ 的值域一定包含区间 $\left[f^{\prime}(a), f^{\prime}(b)\right]$ ．

证 2 与证 1 相同只需证明：若 $a<b$ ，且在区间 $[a, b]$ 上有 $f^{\prime}(a) \neq f^{\prime}(b)$ ，则 $f^{\prime}$能够在 $[a, b]$ 上取到介于 $f^{\prime}(a), f^{\prime}(b)$ 之间的每个值．

先讨论 $f^{\prime}(a) f^{\prime}(b)<0$ 的特殊情况，且不妨设有 $f^{\prime}(a)>0$ 和 $f^{\prime}(b)<0$（见右图 7．6）．从 Fermat 定理前的引理可知，在点 $a$右侧邻近的函数值大于 $f(a)$ ，而在点 $b$ 左侧邻近的函数值大于 $f(b)$ ，于是可知连续函数 $f$ 在 $[a, b]$ 上的最大值点 $\xi$ 只能是某个内点 $\xi \in(a, b)$ ，从而 $\xi$ 一定是极大值点。根

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据 Fermat 定理，必有 $f^{\prime}(\xi)=0$ 。

对于 $f^{\prime}(a) \neq f^{\prime}(b)$ 的一般情况，若 $c$ 介于这两个导数值之间，则作辅助函数

$$
F(x)=f(x)-c x
$$

于是就有 $F^{\prime}(a) F^{\prime}(b)=\left(f^{\prime}(a)-c\right)\left(f^{\prime}(b)-c\right)<0$ ．根据前面已经讨论过的特殊情况，存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $F^{\prime}(\xi)=0$ ，这也就是 $f^{\prime}(\xi)=c$ 。

注 若 $f^{\prime}$ 连续，则用连续函数的介值定理即可得到所要的结论．因此 Darboux定理的意义在于表明：导函数的介值性质与其是否连续没有关系．

**定理 7.9 （导数极限定理**）设 $f$ 在 $(a, b)$ 上可微，在点 $a$ 右连续，若 $f^{\prime}\left(a^{+}\right)=$ $A$ ，则 $f$ 在点 $a$ 存在右导数，且有 $f_{+}^{\prime}(a)=A$ ．这里的 $A$ 可以是有限数，也可以是有确定符号的无穷大．

证 只对于极限值 $A$ 为有限数的情况写出证明．（对于 $A= \pm \infty$ 的证明留作练习题．）

从条件 $f^{\prime}\left(a^{+}\right)=\lim _{x \rightarrow a^{+}} f^{\prime}(x)=A$ ，对 $\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall a<x<a+\delta:$ $\left|f^{\prime}(x)-A\right|<\varepsilon$ ．考虑 $a<x<a+\delta$ 时的差商 $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ ．根据 Lagrange 中值定理，存在 $\xi$ ，满足 $a<\xi<x<a+\delta$ ，使得 $f(x)-f(a)=f^{\prime}(\xi)(x-a)$ ，从而有

这就证明了

$$
\left|\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-A\right|=\left|f^{\prime}(\xi)-A\right|<\varepsilon,
$$

$$
\lim _{x \rightarrow a^{+}} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=A\left(\text { 即 } f_{+}^{\prime}(a)=A\right) \text {. }
$$

**例题 7.10 **

在导数极限定理中函数在点 $a$ 的连续性条件是不能缺少的．例如符号函数 $f(x)=\operatorname{sgn} x$ 在 $a=0$ 处有 $f^{\prime}\left(0^{+}\right)=0, f^{\prime}\left(0^{-}\right)=0$ ，但 $f^{\prime}(0)$ 不存在。原因在于 $\operatorname{sgn} x$ 在点 $x=0$ 处不连续．

另一方面，若导函数在点 $a$ 的极限不存在，这时当然不能用导数极限定理，但函数仍然可以在点 $a$ 可导．下面是一个重要例题．请同时参看图 7.7 和 7.8 ，其中的细直线是 $y=x$ 的图像，虚线是 $y=x^2$ 的图像．

例题 7.11 函数

$$
f(x)=\left\{\begin{aligned}
x^2 \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\
0, & x=0
\end{aligned}\right.
$$

在 $x=0$ 有 $f^{\prime}(0)=0$ ，但当 $x \neq 0$ 时则有

$$
f^{\prime}(x)=2 x \sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}
$$

可见不存在 $f^{\prime}\left(0^{+}\right)$和 $f^{\prime}\left(0^{-}\right)$．因此 $x=0$ 是导函数 $f^{\prime}(x)$ 的第二类间断点．

注 这个例题中的函数不仅可以用于说明导函数会有第二类间断点，而且还可以用于说明许多其他问题．例如，在第三章最后有一个例子，其中的函数有极小值点，实际上也是最小值点，但在极值点的任何一侧函数都不是单调的（见图 3．19）．这个例子就是从例题 7.11 中的函数出发经过简单改造得到的．同样可以对这个函数加以一个线性函数而得到在一个点的导数不等于 0 时，函数在该点的任何邻域内并不单调的例子．重要的是，该函数的图像在原点 $(0,0)$ 处的切线 $y=0$ 与图像有无穷多个交点．
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 定理 7.10 在区间上有定义的导函数没有第一类间断点．

证1（用导数极限定理证明．）
用反证法。设导函数 $f^{\prime}$ 在区间 $I$ 上有定义。若 $x_0$ 为 $I$ 的内点 ${ }^{(1)}$ ，且为 $f^{\prime}$ 的第一类间断点，则导函数于点 $x_0$ 处存在两个有限的单侧极限 $f^{\prime}\left(x_0^{+}\right)$和 $f^{\prime}\left(x_0^{-}\right)$．

又由于存在导数 $f^{\prime}\left(x_0\right)$ ，因此 $f$ 在点 $x_0$ 连续．应用导数极限定理，可见 $f$ 在点 $x_0$ 处存在两个单侧导数 $f_{+}^{\prime}\left(x_0\right)$ 和 $f_{-}^{\prime}\left(x_0\right)$ ，且有

$$
f_{+}^{\prime}\left(x_0\right)=f^{\prime}\left(x_0^{+}\right), \quad f_{-}^{\prime}\left(x_0\right)=f^{\prime}\left(x_0^{-}\right)
$$

由于存在 $f^{\prime}\left(x_0\right)$ ，因此有 $f^{\prime}\left(x_0\right)=f_{-}^{\prime}\left(x_0\right)=f_{+}^{\prime}\left(x_0\right)$ ．
综合以上可见 $f^{\prime}\left(x_0\right)=f^{\prime}\left(x_0^{-}\right)=f^{\prime}\left(x_0^{+}\right)$，于是 $f^{\prime}$ 于点 $x_0$ 连续，引出矛盾．
证2（用 Darboux 定理证明．）
用反证法．设导函数 $f^{\prime}$ 在区间 $I$ 上有定义。若 $x_0$ 为 $I$ 的内点，且为 $f^{\prime}$ 的第一类间断点，则导函数存在两个有限的单侧极限 $f^{\prime}\left(x_0^{+}\right)$和 $f^{\prime}\left(x_0^{-}\right)$．这时其中至少有一个不等于 $f^{\prime}\left(x_0\right)$ ．
不妨只讨论 $f^{\prime}\left(x_0\right) \neq f^{\prime}\left(x_0^{+}\right)$的情况．（这样也已经将端点情况包含在内了．）记 $a=f^{\prime}\left(x_0\right), b=f^{\prime}\left(x_0^{+}\right)$，且 $a \neq b$ 。取 $\varepsilon=|b-a| / 2$ ，则存在 $\delta>0$ ，使得当 $x_0 \leqslant x \leqslant x_0+\delta$ 时，导函数 $f^{\prime}$ 的取值除了 $a=f^{\prime}\left(x_0\right)$ 之外，只能落在区间

$$
(b-\varepsilon, b+\varepsilon)
$$

之内．由于 $\varepsilon=|b-a| / 2, a=f^{\prime}\left(x_0\right)$ ，因此 $f^{\prime}$ 在 区间 $x_0 \leqslant x \leqslant x_0+\delta$ 上的值域不是区间，这与 Darboux 定理矛盾．

例题 7.13 设 $f \in C^2[a, b]$（也就是 $\left.f^{\prime \prime} \in C[a, b]\right)$ ，于 $(a, b)$ 三阶可微，且 $f(a)=$ $f^{\prime}(a)=f(b)=0$ ，证明：对每个 $x \in(a, b)$ ，存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得

$$
f(x)=\frac{f^{\prime \prime \prime}(\xi)}{3!} \cdot(x-a)^2(x-b)
$$

证 用待定常数法，令 $\lambda=\frac{6 f(x)}{(x-a)^2(x-b)}$ ，构造辅助函数

$$
F(t)=f(t)-\frac{\lambda}{6}(t-a)^2(t-b)
$$

则只需要证明存在 $\xi$ ，使得 $F^{\prime \prime \prime}(\xi)=0$ ．
这时有 $F(a)=F(b)=F(x)=0$ ．用两次 Rolle 定理知道有 $\xi_1 \in(a, x), \xi_2 \in$ $(x, b)$ ，使得

$$
F^{\prime}\left(\xi_1\right)=F^{\prime}\left(\xi_2\right)=0
$$

又因 $F^{\prime}(a)=0$ ，对于 $a<\xi_1<\xi_2$ 再用两次 Rolle 定理就知道存在 $\eta_1 \in\left(a, \xi_1\right)$ ， $\eta_2 \in\left(\xi_1, \xi_2\right)$ ，使得 $F^{\prime \prime}\left(\eta_1\right)=F^{\prime \prime}\left(\eta_2\right)=0$ 。最后在 $\left[\eta_1, \eta_2\right]$ 上再用 Rolle 定理，就得到 $\xi$ ，使得 $F^{\prime \prime \prime}(\xi)=0$ ．

## 7．3．3 不等式
中值定理也是证明不等式的方法之一。首先对于在第四章中用面积关系得到的不等式（4．9）给出严格的证明。

例题 7.15 证明在 $0<x<\frac{\pi}{2}$ 时成立以下不等式

$$
\sin x<x<\tan x
$$

证 利用有限增量公式得到

$$
\sin x=\sin x-\sin 0=\cos (\theta x) x<x
$$

其中 $0 < \theta < 1$ ；又有

$$
\tan x=\tan x-\tan 0=\sec ^2(\theta x) x>x
$$

其中也有 $0<\theta<1$ ，可见结论为真．

例题 7.16 证明：当 $0<b<a$ 时成立不等式

$$
\frac{a-b}{a}<\ln \frac{a}{b}<\frac{a-b}{b}
$$

证 令 $f(x)=\ln x$ ，则就可以对于区间 $[b, a]$ 上的函数 $f$ 用微分中值定理，存在 $\xi \in(b, a)$ ，使得

$$
\ln \frac{a}{b}=\ln a-\ln b=\frac{1}{\xi}(a-b)
$$

由于 $0<b<\xi<a$ ，因此就有所要的不等式．
注 另一种常用形式是对于 $x>-1$ 成立以下两个不等式

$$
\frac{x}{1+x}<\ln (1+x)<x
$$

对于 $x>0$ ，只要在例题 7.16 中取 $a=1+x, b=1$ 即可得到．对于 $-1<x<0$ ，也只要取 $b=1+x, a=1$ 就可以得到．

若取 $x=1 / n$ ，则就从（7．12）得到

$$
\frac{1}{n+1}<\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)<\frac{1}{n}
$$

即第二章例题 2.27 中证明的不等式（2．12）．

从 Darboux 定理可以得到下列推论，这就是 $\S 6.3 .4$ 推导参数方程求导法则时已经用过的结论。

推论 设 $f(x)$ 在区间 $I$ 上可微，且 $f^{\prime}(x)$ 处处不为 0 ，则 $f(x)$ 严格单调．

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