最后更新: 2025-03-15 12:03 查看: 100 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

中值定理应用与达布Darboux定理

##  微分中值定理的若干应用
微分中值定理可以将函数在一个区间上的增量与导数相联系，这与从导数和微分导出的无穷小增量公式的意义完全不同，因此应用范围也不一样．在这一节中集中介绍微分中值定理的一些比较重要的应用。

7．3．1 有关导函数的基本定理
由这一小节的结果可以知道导函数具有它的独特性质，或者说，不是任何一个函数都可以是某个函数的导函数的．首先介绍 Darboux ${ }^{(1)}$ 定理．

定理 7.8 （导函数的介值定理（达布 Darboux 定理））导函数在区间上的值域一定是区间。

下面给出两个证明．其中证 1 出现于 2004 年，证 2 是比较传统的方法．
证 1 根据数集连通的定义 1.7 和例题 1．2，只要证明：若在区间 $[a, b]$ 上的函数 $f$ 处处可导，且有 $f^{\prime}(a) \neq f^{\prime}(b)$ ，则 $f^{\prime}$ 就能取到介于 $f^{\prime}(a), f^{\prime}(b)$ 之间的每个值．这等价于 $f^{\prime}$ 的值域包含区间 $\left[f^{\prime}(a), f^{\prime}(b)\right]$ ．
 ![图片](/uploads/2025-02/16d495.jpg)
 如图 7.5 所示，用割线的斜率定义辅助函数（就是 $\S 6.2 .5$ 的链式法则证明中的 $\omega(\Delta u)$ ）：

$$
g(x)= \begin{cases}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}, & a<x \leqslant b, \\ f^{\prime}(a), & x=a,\end{cases}
$$

则 $g \in C[a, b]$ ．为表达简明起见令常数

$$
k=\frac{f(b)-f(a)}{b-a},
$$

则函数 $g$ 的值域包含区间 $\left[f^{\prime}(a), k\right]$ ．
根据 Lagrange 中值定理的几何意义（参见图 7.2 的左分图），当 $a<x \leqslant b$ 时割线斜率 $g(x)$ 的值一定等于 $f$ 在 $(a, x)$ 中某点的导数值（见图 7．5），因此导函数 $f^{\prime}$的值域必定包含了函数 $g$ 的值域，从而包含了区间 $\left[f^{\prime}(a), k\right]$ ．

同样可证：导函数 $f^{\prime}$ 的值域也包含区间 $\left[k, f^{\prime}(b)\right]$ ．由于不论 $k$ 如何，总有

$$
\left[f^{\prime}(a), k\right] \cup\left[k, f^{\prime}(b)\right] \supset\left[f^{\prime}(a), f^{\prime}(b)\right],
$$

因此导函数 $f^{\prime}$ 的值域一定包含区间 $\left[f^{\prime}(a), f^{\prime}(b)\right]$ ．

证 2 与证 1 相同只需证明：若 $a<b$ ，且在区间 $[a, b]$ 上有 $f^{\prime}(a) \neq f^{\prime}(b)$ ，则 $f^{\prime}$能够在 $[a, b]$ 上取到介于 $f^{\prime}(a), f^{\prime}(b)$ 之间的每个值．

先讨论 $f^{\prime}(a) f^{\prime}(b)<0$ 的特殊情况，且不妨设有 $f^{\prime}(a)>0$ 和 $f^{\prime}(b)<0$（见右图 7．6）．从 Fermat 定理前的引理可知，在点 $a$右侧邻近的函数值大于 $f(a)$ ，而在点 $b$ 左侧邻近的函数值大于 $f(b)$ ，于是可知连续函数 $f$ 在 $[a, b]$ 上的最大值点 $\xi$ 只能是某个内点 $\xi \in(a, b)$ ，从而 $\xi$ 一定是极大值点。根

![图片](/uploads/2025-02/15bb41.jpg)
 
据 Fermat 定理，必有 $f^{\prime}(\xi)=0$ 。

对于 $f^{\prime}(a) \neq f^{\prime}(b)$ 的一般情况，若 $c$ 介于这两个导数值之间，则作辅助函数

$$
F(x)=f(x)-c x
$$

于是就有 $F^{\prime}(a) F^{\prime}(b)=\left(f^{\prime}(a)-c\right)\left(f^{\prime}(b)-c\right)<0$ ．根据前面已经讨论过的特殊情况，存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $F^{\prime}(\xi)=0$ ，这也就是 $f^{\prime}(\xi)=c$ 。

注 若 $f^{\prime}$ 连续，则用连续函数的介值定理即可得到所要的结论．因此 Darboux定理的意义在于表明：导函数的介值性质与其是否连续没有关系．

**定理 7.9 （导数极限

免费注册看余下 70%

非VIP会员每天5篇文章，开通VIP 无限制查看

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

高等数学测评 函数与极限一元函数微分学一元函数积分学微分方程空间向量与代数多元微分学多元积分学无穷级数

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

线性代数测评 行列式矩阵向量空间

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

概率统计测评 事件与概率一维随机变量与事件多维随机变量与事件随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理统计量与抽样分布参数估计假设检验

上一篇：带 Lagrange 型余项的 Taylor 公式

下一篇：用局部 Taylor 公式计算极限

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)