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带 Lagrange 型余项的 Taylor 公式

## 7.2.4  带 Lagrange 型余项的 Taylor 公式
定理 7.7 （Taylor 中值定理）若 $f$ 在点 $a$ 的一个邻域 $O_\delta(a)$ 上有 $n+1$ 阶导函数，则对于满足条件 $0<|x-a|<\delta$ 的每个 $x$ ，存在 $\xi \in(a, x)^{(1)}$ ，使得

$$
\begin{aligned}
f(x)=f(a)+ & f^{\prime}(a)(x-a)+\frac{f^{\prime \prime}(a)}{2!}(x-a)^2 \\
& +\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \cdot(x-a)^{n+1}
\end{aligned}
$$

将公式（7．9）与局部 Taylor 公式（7．6）比较，可见只有余项不同．称（7．9）右边的最后一项为 Lagrange 型余项。

下面给出两个证明。第一个证明与定理 7.5 的证明非常接近，都以 Cauchy 中值定理为主要工具．注意：这里的条件比定理 7.5 高得多。为得到（7．9），$f$ 要有 $n+1$ 阶导函数，而在（7．6）中 $f$ 只要有 $n-1$ 阶导函数，再加上在点 $a$ 有 $n$ 阶导数．

证 1 以下只要对于 $x \neq a$ 证明存在所需要的中值 $\xi \in(a, x)$ 即可．
与定理 7.5 相同，先写出余项：

$$
r(x)=f(x)-\left[f(a)+f^{\prime}(a)(x-a)+\frac{f^{\prime \prime}(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n\right] .
$$

从条件可直接对余项求到直到 $n$ 阶，令 $x=a$ 代入就得到

$$
r(a)=r^{\prime}(a)=r^{\prime \prime}(a)=\cdots=r^{(n)}(a)=0
$$

然后在区间 $[a, x]$ 上反复用 Cauchy 中值定理如下：

$$
\begin{aligned}
\frac{r(x)}{(x-a)^{n+1}} & =\cdots=\frac{1}{(n+1)!} \cdot \frac{r^{(n)}\left(\xi_n\right)}{\xi_n}=\frac{1}{(n+1)!} \cdot \frac{r^{(n)}\left(\xi_n\right)-r^{(n)}(a)}{\xi_n-a} \\
& =\frac{1}{(n+1)!} \cdot r^{(n+1)}(\xi), \quad \xi \in(a, x)
\end{aligned}
$$

最后利用 $r^{(n+1)}(x)=f^{(n+1)}(x)$ 即可．
第二个证明则是前面的 Lagrange 中值定理和 Cauchy 中值定理的证明方法的推广（参见 $[15,17]$ ）．由于它只需要反复应用 Rolle 定理，避免了因 Cauchy 中值定理的条件可能不满足而引起的困难，因而在解决许多问题时更为有效。

证 2 一开始与证 1 一样，先引入余项 $r(x)$ ，并证明 $r(a)=r^{\prime}(a)=\cdots=$ $r^{(n)}(a)=0$ 。然后取定 $x \in O_\delta-\{a\}$ ，令

$$
\lambda=(n+1)!\cdot \frac{r(x)}{(x-a)^{n+1}},
$$

构造在 $t \in O_\delta(a)$ 上有定义的辅助函数

$$
F(t)=r(t)-\lambda \cdot \frac{(t-a)^{n+1}}{(n+1)!}
$$

则可见在点 $a$ 处有 $F(a)=F^{\prime}(a)=F^{\prime \prime}(a)=\cdots=F^{(n)}(a)=0$ ，此外还有 $F(x)=0$ ．在区间 $[a, x]$ 上对 $F$ 用 Rolle 定理，存在 $\xi_1 \in(a, x)$ ，使得 $F^{\prime}\left(\xi_1\right)=0$ ．然后在 $\left[a, \xi_1\right]$ 上对 $F^{\prime}$ 用 Rolle 定理，存在 $\xi_2 \in\left(a, \xi_1\right) \subset(a, x)$ ，使得 $F^{\prime \prime}\left(\xi_2\right)=0$ 。如此继续下去，得到 $\xi \in(a, x)$ ，使得 $F^{(n+1)}(\xi)=0$ 。

由于 $F^{(n+1)}(t)=f^{(n+1)}(t)-\lambda$ ．这就是

$$
f^{(n+1)}(\xi)=\lambda^{(1)}
$$

注1 定理7．7中的最后一项称为 Lagrange 型余项，因此这个定理中的公式 （7．9）称为带 Lagrange 型余项的 Taylor 公式（或展开式）．这个余项也可写为

$$
\frac{f^{(n+1)}(a+\theta(x-a))}{(n+1)!} \cdot(x-a)^{n+1}, \quad 0<\theta<1
$$

若 $n=0$ ，则公式（7．9）就是

$$
f(x)=f(a)+f^{\prime}(\xi)(x-a), \quad \xi \in(a, x)
$$

按照（7．10）则也可写为

$$
f(x)=f(a)+f^{\prime}(a+\theta(x-a))(x-a), \quad 0<\theta<1
$$

它就是在区间 $[a, x]$ 上的 Lagrange 中值定理，也就是有限增量公式（参见公式 $(7.2)-(7.4))$.

因此定理 7.7 是 Lagrange 微分中值定理的（又一个）推广，也可称为 Taylor 中值定理．

注2 恰如有限增量公式与无穷小增量公式之间的关系那样，对于定理7．7中的邻域 $O_\delta(a)$ 的半径 $\delta$ 没有任何限制，$x$ 可以取其中任何一点，而带 Peano 型余项的 Taylor 公式只反映出当 $x \rightarrow a$ 时余项的无穷小量的阶数高于 $n$ 。因此后者主要用于极限计算，而前者则有更多的用处，例如可以用 $f$ 在一个点上的各阶导数来计算 $f$ 在点 $x$ 处的值而达到很高的精度，同时还可以对误差作出定量的估计。

例题 7.8 写出函数 $e ^x$ 和 $\cos x$ 的带 Lagrange 余项的 Maclaurin 公式．
解 利用 $\left( e ^x\right)^{(n+1)}= e ^x$ ，就有

$$
e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\frac{e^{\theta x}}{(n+1)!} \cdot x^{n+1}
$$

对于 $\cos x$ ，可以写出直到 $x^{2 n+1}$ 项的系数，因此利用

$$
(\cos x)^{(2 n+2)}=\cos (x+(n+1) \pi)=(-1)^{n+1} \cos x
$$

就可写出

$$
\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots+(-1)^n \frac{x^{2 n}}{(2 n)!}+(-1)^{n+1} \frac{\cos (\theta x)}{(2 n+2)!} \cdot x^{2 n+2}
$$

例题 7.9 证明数 e 的无穷级数表示

$$
e=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}
$$

并对于用该级数的前 $n+1$ 项计算 e 的近似值作出误差估计。

解 于例题 7.8 的 $e ^x$ 的公式中取 $x=1$ ，就有

$$
e=1+1+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}+\frac{e^\theta}{(n+1)!}, \quad 0<\theta<1
$$

右边的前 $n+1$ 项之和就是无穷级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}$ 的部分和，记为 $S_n$ ，则就有

$$
e-S_n=\frac{e^\theta}{(n+1)!}
$$

由于 $0<\theta<1,0< e ^\theta< e$ ，令 $n \rightarrow \infty$ ，就有 $\lim _{n \rightarrow \infty} S_n= e$ ．同时得到误差估计

$$
0<e-S_n<\frac{e}{(n+1)!}<\frac{3}{(n+1)!}
$$

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