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若干初等函数的麦克劳林 Maclaurin 公式

## 7.2.3  若干初等函数的 Maclaurin 公式
如前所说，在点 $x=0$ 展开的 Taylor 公式称为 Maclaurin 公式．下面将给出几个初等函数的 Maclaurin 公式，它们都是微分学中的基本结果．我们应当如同记乘法九九表那样记住这些公式。

为此需要求出函数在点 $x=0$ 处的所有阶导数值．
1．对于 $f(x)=\sin x$ ，利用例题 6.17 中得到的公式 $f^{(n)}(x)=(\sin x)^{(n)}=$ $\sin \left(x+\frac{n \pi}{2}\right)$ ，就有

$$
f^{(2 k-1)}(0)=(-1)^{k-1}, \quad f^{(2 k)}(0)=0
$$

取 $k$ 从 0 到 $2 n$ 并代入（7．6）就得到

$$
\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots+(-1)^{n-1} \frac{x^{2 n-1}}{(2 n-1)!}+o\left(x^{2 n}\right)(x \rightarrow 0)
$$

注意：其中认为右边已经写到 $x^{2 n}$ 项，因此余项是 $o\left(x^{2 n}\right)(x \rightarrow 0)$ ．当然写为 $o\left(x^{2 n-1}\right)(x \rightarrow 0)$ 也没有错，但不够确切．

2．对于 $f(x)=\cos x$ ，利用例题 6.17 解 2 的结果，即有 $f^{(k)}(x)=(\cos x)^{(k)}=$ $\cos \left(x+\frac{k \pi}{2}\right)$ ，就有

$$
f^{(2 k-1)}(0)=0, \quad f^{(2 k)}(0)=(-1)^k .
$$

取 $k$ 从 0 到 $2 n+1$ 并代入（7．6）就得到

$$
\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots+(-1)^n \frac{x^{2 n}}{(2 n)!}+o\left(x^{2 n+1}\right)(x \rightarrow 0) .
$$

这里与 $\sin x$ 的展开式一样，认为右边已写到 $x^{2 n+1}$ 项，因此余项是 $o\left(x^{2 n+1}\right)(x \rightarrow$ $0)$ ．当然写为 $o\left(x^{2 n}\right)(x \rightarrow 0)$ 也没有错，但不够确切．

注 注意函数的奇偶性在 Maclaurin 公式中的表现．奇函数公式中偶次项都不出现，偶函数公式中奇次项都不出现．这从函数的奇偶性与导函数的奇偶性之间的联系可知（见 $\S 6.3$ 的练习题 1）．

3．对于 $f(x)= e ^x$ ，利用 $f^{(k)}(x)=\left( e ^x\right)^{(k)}= e ^x$ ，因此对所有非负整数 $k$ 都有 $f^{(k)}(0)=1$ 。取 $k$ 从 0 到 $n$ 并代入（7．6）就得到

$$
e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o\left(x^n\right)(x \rightarrow 0)
$$

4．对于二项式函数 $f(x)=(1+x)^\alpha$ ，若指数 $\alpha$ 为正整数，则就得到中学数学中的二项式定理．Newton 是写出 $\alpha$ 为有理分数时的展开式的第一人，因此这也称为 Newton 二项式展开。（由于当时还没有实数系理论，因此只能讨论

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