最后更新: 2025-11-23 22:08 查看: 162 次纠错评论(0) 课件开VIP

博雷尔 Borel集

## Borel集

**定义2.4** 对任何确定的 $n$, $\mathbf{R}^n$ 中可以表示为可数个开集的交的点集称为 **$G_\delta$ 型集**；可以表示为可数个闭集的并的点集称为 **$F_\sigma$ 型集**．一般地，可以用开集或闭集的可数次交与并运算表示的点集称为**博雷尔（Borel）集**．所有 Borel 集组成的集合称为 **Borel集类**．

由 De Morgan 法则可知，$G_\delta$ 型集的余集是 $F_\sigma$ 型集；$F_\sigma$ 型集的余集是 $G_\delta$ 型集；任意 Borel 集的余集仍为 Borel 集．

Borel 集包括所有的开集和闭集，因而很多是常见的．特殊一些的，例如，由 $\mathbf{R}^n$ 中的一点 $x$ 组成的单点集，因为可以表示成 $\{x\}=\bigcap_{k=1}^{\infty} B\left(x, \frac{1}{k}\right)$ ，所以是 $G_\delta$型集（它本身是闭集，也是 $F_\sigma$ 型集），从而可数点集（特别是有理点集）、无理点集（有理点集的余集）、康托尔Cantor 集、空集 $\varnothing$ 以及全空间 $\mathbf{R}^n$ 都是 Borel 集．

由于可测集的可数并、可数交及其余集仍然可测，因而容易得到下面的结论．

> **定理2.5** $G_\delta$ 型集，$F_\sigma$ 型集，以至一般的 Borel 集，都是可测集．

Borel 集都是可测的，又 Borel 集类对集合的可数并与可数交运算封闭，所以 Borel 集类是 **西格玛 $\sigma$ 代数**，并且是可测集类这个 $\sigma$ 代数的 $\sigma$ 子代数．那么，Borel 集类和可测集类这两个 $\sigma$ 代数是否完全相重了？ $\mathbf{R}^n$ 中还有没有不是 Borel 集的可测集？

下面从比较这两个集合类的基数来回答这个问题．以 $n=1$ 的情形为例，直线上的 Borel 集可以由端点是有理数的开区间通过可数次的交、并以及取余的运算来得到，从而它可以与有理数序列对应．因此， Borel 集类的基数为 $\aleph$（连续统基数，在 $n \geqslant 2$ 的 $\mathbf{R}^n$ 中也一样）；而 $\mathbf{R}^n$ 中可测集类的基数不超过 $\mathbf{R}^n$ 的幂集的基数（即 $2^{\mathrm{K}}$ ），又不小于 Cantor 集 $C$ 的幂集（其元素全是一些零测集）的基数，而后者的基数也是 $2^{\boldsymbol{\aleph}}$（因 $\overline{\bar{C}}=\boldsymbol{\aleph}$ ）。所以可测集类的基数是 $2^x$ ，比 Borel 集类的基数大，从而肯定存在非 Borel 集的可测集．那么， Borel 集与一般的可测集有什么关系？请看下面的定理．

**定理2.6** 若 $E \subset \mathbf{R}^n$ 可测，则
（i）对任意正数 $\varepsilon$ ，存在开集 $G$ ，使得 $G \supset E$ 且 $m(G \backslash E)<\varepsilon$ ；
（ii）对任意正数 $\varepsilon$ ，存在闭集 $F$ ，使得 $F \subset E$ 且 $m(E \backslash F)<\varepsilon$ ．
证明（i）若 $E$ 可测，令

$$
\begin{gathered}
B_k=\left\{x\left|x \in \mathbf{R}^n, k-1 \leqslant|x|<k\right\}, k=1,2, \cdots,\right. \\
E_k=E \cap B_k,
\end{gathered}
$$

则所有 $E_k$ 是互不相交的可测集，$m\left(E_k\right)<\infty, E=\bigcup_{k=1}^{\infty} E_k$ 且 $m(E)= \sum_{k=1}^{\infty} m\left(E_k\right)$ ，因此对任意 $k$ ，存在 $E_k$ 的 $L$ 覆盖 $\left\{I_{k l} \mid l=1,2, \cdots\right\}$ 使得

$$
\sum_{l=1}^{\infty}\left|I_{k l}\right|<m\left(E_k\right)+\frac{\varepsilon}{2^k} .
$$

令 $G_k=\bigcup_{l=1}^{\infty} I_{k l}$ ，则有 $G_k \supset E_k$ 且

$$
m\left(G_k \backslash E_k\right)=m\left(G_k\right)-m\left(E_k\right) \leqslant \sum_{l=1}^{\infty}\left|I_{k l}\right|-m\left(E_k\right)<\frac{\varepsilon}{2^k} .
$$

再令 $G=\bigcup_{k=1}^{\infty} G_k$ ，则 $G$ 为开集且有 $G \supset E$ 以及

$$
\begin{aligned}
m(G \backslash E) & =m\left(\bigcup_{k=1}^{\infty} G_k \backslash \bigcup_{k=1}^{\infty} E_k\right) \leqslant m\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}\left(G_k \backslash E_k\right)\right) \\
& \leqslant \sum_{k=1}^{\infty} m\left(G_k \backslash E_k\right)<\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\varepsilon}{2^k}=\varepsilon .
\end{aligned}
$$

（ii）由前面的结论出发，应用开集和闭集的对偶性（开集和闭集互为余集）即可得证。具体来说，对于可测集 $E^c$ ，由刚才证的（i），存在开集 $G$ 使 $G \supset E^c$ 且 $m \left(G \backslash E^c\right)<\varepsilon$ ．令 $F=G^c$ ，则 $F$ 为闭集，且有 $F \subset E$ 和 $E \backslash F=G \backslash E^c$ ，故 $m(E \backslash F)= m\left(G \backslash E^c\right)<\varepsilon$.

##  理解：Borel集

### 一句话核心思想

想象一下，你是一个几何学家，你的工具只有一把直尺和一个圆规。你的任务是把所有你能通过“测量”和“基本操作”得到的图形都归类到一个集合里。这个最终的、庞大的集合家族，就是Borel集,如果把Borel集比喻成积木，那么

> **Borel集，就是你能通过“开区间”这种最基本的积木，经过“可数次”的拼接、叠加、互补等标准操作，所能建造出来的所有集合。**

### 一个生动的比喻：乐高工厂

想象一下，你要用乐高积木搭建所有可能的形状。

1.  **原材料（开集）：** 你的工厂里最基础的原材料是一种特殊的、最简单的积木块，比如“开区间” $(a, b)$。在二维平面里，就是“开矩形”；在三维空间里，就是“开立方体”。这些最简单的积木块，在数学上称为**开集**。

2.  **生产线（σ-代数）：** 你的工厂有几条标准化的生产线（操作规则）：
    *   **生产线A（可数拼接）：** 可以把**可数无限个**（比如1个，2个，100个，自然数那么多個）已经造好的形状拼接到一起，组成一个更大的新形状。
    *   **生产线C（取补集）：** 可以制造一个形状的“负形”或“模具”。比如你造了一个星星，这个生产线能造出“除了星星之外的所有背景板”。
    *   **生产线U（可数叠加）：** 可以把**可数无限个**已经造好的形状一层层叠在一起，取它们的全部。

注意：这些生产线的操作次数是**没有上限**的，你可以反复、无限次地使用它们。

3.  **Borel集（所有产品）：** 现在，你把最基础的乐高积木（开区间）放进这个工厂。然后，你允许工厂使用上述所有生产线（A, C, U）进行**任意有限或无限次**的加工。
    那么，**这个工厂最终能生产出来的所有可能的产品（集合），就叫做Borel集**。
    管理这些生产线的“操作手册”或“封闭规则系统”，在数学上就叫做 **Borel σ-代数**。
 
### 为什么Borel集很重要？

因为它是一个完美的“中间人”：

1.  **它足够大：** 你平时能想到的几乎所有“规则”的集合都是Borel集。
    *   **开区间** $(a, b)$：本身就是原材料，当然是。
    *   **闭区间** $[a, b]$：可以通过开区间造出来。比如 $[a, b] = R \ ( (-∞, a) ∪ (b, +∞) )$。这里用到了取补集和拼接操作。
    *   **单个点 {a}**：可以看作无数个开区间的交集，比如 ${a} = ∩ (a - 1/n, a + 1/n)$。
    *   **有理数集 Q**：因为有理数是可数的，所以Q是可数个“单点”的并集，当然是Borel集。
    *   所有你能用数学公式明确描述的集合，基本上都是Borel集。

2.  **它又不会太大：** 它排除了那些非常诡异、无法测量、无法构造的“病态”集合（比如选择公理下存在的不可测集）。这意味着，**每个Borel集都可以被赋予一个明确的“长度”（测度）**。这是进行积分（勒贝格积分）理论的基础。如果你连一个集合的“大小”都定义不了，就更别提在它上面求积分了。

### 一个生动的建造过程
现在，我们允许你对这些“积木”进行三种操作，但有一个关键限制：你只能进行“可数次”操作。

三种操作是：

1.  **并**：把几个图形合并在一起。比如，$(0,1)$ 和 $(2,3)$ 的并集，就是两个不相连的线段。
2.  **交**：取几个图形的公共部分。比如，$(0,3)$ 和 $(2,4)$ 的交集是 $(2,3)$。
3.  **补**：取一个图形之外的所有部分。比如，在实数轴上，$(0,1)$ 的补集是 $(-∞, 0]$ 和 $[1, +∞)$。

让我们看看用这套规则能造出哪些你熟悉的图形：

*   **闭区间 [0,1]**：
    *   第一步：我们有开区间 $(-1/n, 1+1/n)$，比如 $(-1, 2)$, $(-0.5, 1.5)$, $(-0.1, 1.1)$ ...
    *   第二步：我们取所有这些开区间的**交集**（可数次操作）。
    *   你会发现，随着n变大，这些开区间从两头不断向0和1挤压，最终它们的公共部分恰好就是 $[0,1]$。
    *   所以，闭区间是Borel集。

*   **单点集 {0}**：
    *   我们可以把 `{0}` 看作是所有开区间$`(-1/n, 1/n)$ 的交集。随着n变大，这些区间越来越窄，最后只剩下0这个点。
    *   所以，单个点也是Borel集。

*   **有理数集 Q**：
    *   有理数是可数的，我们可以把它们一个一个列出来：$q1, q2, q3, ...$
    *   每个有理数 $q_i$ 都是一个Borel集（单点集）。
    *   那么，所有有理数的**并集**（可数次操作），自然也是Borel集。

通过这种方式，几乎所有你在微积分和初等概率论中能想到的“不奇怪的”集合——区间、点、区间和点的混合、开集、闭集——全都是Borel集。

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：可测集的充分必要条件

下一篇：不可测集

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)