最后更新: 2025-11-24 09:15 查看: 98 次纠错评论(0) 课件开VIP

不可测集

## 不可测集
$R^n$中的点集并非都是可测集，这一点Lebesgue本人早就预见到了，只不过第一个不可测集的例子是由意大利数学家Voltera做出的，其中要用到选择公理．当然，在一般的数学实践中，遇到不可测集的机会是极少的，它通常只是被用来构成各种特例，以廓清某些课题的适应范围，而使我们对这种测度理论的认识更加深刻．下述不可测集的例子属于Sierpinski .

在本节中我们仅对直线上每个集是否都是 $L$ 可测集作出回答．下面我们要作一个不是 $L$ 可测的集。注意构造这样的集不是很容易的，因为我们构造集通常都是从区间出发经过一系列并、交、差等运算来获得，而这样的集都是博雷尔集，当然总是 $L$ 可测的。下面我们先讲勒贝格测度的平移不变性，然后利用这种平移不变性来构造一个 $L$ 不可测集。

对于任何一个实数 $\alpha$ ，作 $\mathbf{R}^1 \rightarrow \mathbf{R}^1$ 的映射 $\tau_a: x \rightarrow x+\alpha$ ．它是直线上的一个平移．一个集 $E \subset \mathbf{R}^1$ ，经过平移 $\alpha$ 后所得的集记为 $\tau_\alpha E=\{x+\alpha \mid x \in E\}$ ．现在我们讨论在平移变换下，集的测度有什么变化．显然当 $E$ 为区间时，$\tau_\alpha E$ 亦为区间，而且 $m E=m\left(\tau_\alpha E\right)$ ．

定理 对任何集 $\mathrm{E} \subset \mathbf{R}^1$ ，具有 $m^* E=m^*\left(\tau_\alpha E\right)$ ，且当 $E$ 为 $L$ 可测时，$\tau_\alpha E$也为 $L$ 可测的．

证明 因对任何一列开区间 $\left\{I_i\right\}, E \subset \bigcup_{i=1}^{\infty} I_i$ ，同时就有 $\tau_\alpha I_i$ 亦为开区间，以及 $\tau_\alpha E \subset \bigcup_{i=1}^{\infty}\left(\tau_\alpha I_i\right)$ ，所以

$$
m^* E=\inf \left\{\sum_{i=1}^{\infty}\left|I_i\right|: E \subset \bigcup_{i=1}^{\infty} I_i\right\} \geqslant m^*\left(\tau_\alpha E\right) .
$$

但 $\tau_\alpha E$ 再平移 $\tau_{-\alpha}$ 后就是 $E$ ，所以 $m^*\left(\tau_\alpha E\right) \geqslant m^* E$ ．这样就得到 $m^* E= m^*\left(\tau_\alpha E\right)$ ．

如果 $E$ 为 $L$ 可测，那么对于任何 $T \subset \mathbf{R}^1$ 有

$$
m^* T=m^*(T \bigcap E)+m^*\left(T \bigcap E^c\right) .
$$

由于 $\tau_\alpha(T \cap E)=\tau_\alpha T \cap \tau_\alpha E, \tau_\alpha\left(T \cap E^{\mathrm{c}}\right)=\tau_\alpha T \cap \tau_\alpha E^{\mathrm{c}}$ ，因此从上式得到

$$
m^*\left(\tau_\alpha T\right)=m^*\left(\tau_\alpha T \bigcap \tau_\alpha E\right)+m^*\left(\tau_\alpha T \bigcap \tau_\alpha E^c\right)
$$

而上式中 $\tau_\alpha T$ 是任意集，因此 $\tau_\alpha E$ 为 $L$ 可测。

**定理说明**，集 $E \subset \mathbf{R}^1$ 经过平移后，它的外测度不变，而 $L$ 可测集经过平移后仍为 $L$ 可测集（当然它的测度也不变）。这个性质称为勒贝格测度的平黎不变性。

用类似的方法还可以证明勤贝格测度的反射不变性，就是说，如果记 $\tau$是 $\mathbf{R}^1 \rightarrow \mathbf{R}^1$ 的如下映射

$$
\tau: x \rightarrow-x, \tau E=\{-x \mid x \in E\},
$$

那么对任何 $L$ 可测集 $E \subset \mathbf{R}^1, m E=m(\tau E)$ 。我们不再详述．
下面我们利用测度的平移不变性作一个不可测集．

我们的想法是这样的：在直线上构造一个集 $Z$ ，要求对于 $Z$ ，可取这样的一列数 $r_1, r_2, \cdots, r_n, \cdots$ ，使得 $Z$ 经平移 $\tau_{r_n}$ 后得到的集 $Z_n=\tau_{r_n} Z$ 有下面的性质：
$1^{\circ} \bigcup_{n=1}^{\infty} Z_n$ 包含一个区间（例如 $\bigcup_{n=1}^{\infty} Z_n \supset[0,1]$ ）；
$2^{\circ}\left\{Z_n\right\}$ 是一列互不相交的集，而且 $\bigcup_{n=1}^{\infty} Z_n$ 是有界集（例如 $\bigcup_{n=1}^{\infty} Z_n \subset [-1,2]$ ）．

如果 $Z$ 具有这样两条性质，那么 $Z$ 就一定不是 $L$ 可测集．因为如果 $Z$ 是可测的，那么 $Z_n$ 也是可测的，而且 $m Z_n=m Z$ 。由于 $Z_n$ 是两两不相交的，所以

$$
m\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} Z_n\right)=\sum_{n=1}^{\infty} m Z_n=\sum_{n=1}^{\infty} m Z .
$$

又因为 $\bigcup_{n=1}^{\infty} Z_n$ 是有界集，并且它包含一个长度不为零的区间，因此由测度的单调性可知

$$
0<\alpha \leqslant m\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} Z_n\right) \leqslant \beta<+\infty,
$$

从这个式子及（1）式，就发现 $m Z$ 必须等于零又必须大于零．这个矛盾说明 $Z$是不可测集。

现在我们具体地构造这样的集 $Z$ ．
将 $[0,1]$ 中的所有数依下法分类：两数 $\xi, \eta$ 当且仅当 $\xi-\eta$ 是有理数时，称 $\xi$ 与 $\eta$ 属于同一类，设 $\xi \in[0,1]$ ，将 $[0,1]$ 中具有形式 $\xi+r$（ $r$ 表示有理数）的点全体归为一类 $E(\xi)$ 。这样，对于一个 $\xi$ 有一类 $E(\xi)$ 与之对应，且 $\xi \in E(\xi)$ ，集 $E(\xi)$ 不同于 $E(\eta)$ 时，称 $E(\xi)$ 与 $E(\eta)$ 是不同的类，应当注意的是，当 $\xi \neq \eta$时可能 $E(\xi)=E(\eta)$ 。可以证明不同的两类 $E(\xi)$ 和 $E(\eta)$ 是不相交的：因为如果 $E(\xi) \cap E(\eta) \neq \varnothing$ ，则必有 $\zeta \in E(\xi) \cap E(\eta)$ ，因而 $\zeta=\xi+r_{\xi}, \zeta=\eta+r_\eta$ ，其中 $r_{\xi}, r_\eta$ 都是有理数。故得 $\eta=\xi+r_{\xi}-r_\eta$ 。现在假定 $t \in E(\eta)$ ，则由 $t=\eta+r=\xi+ \left(r_{\xi}-r_\eta+r\right)$ ，得 $t \in E(\xi)$ 。从而 $E(\eta) \subset E(\xi)$ 。同理可得 $E(\xi) \subset E(\eta)$ ，因此 $E(\xi) =E(\eta)$ 。这与 $E(\xi)$ 与 $E(\eta)$ 是不同的两类之假设矛盾．

这样一来，就把 $[0,1]$ 区间分解成一族两两不交的集的并集．我们在每类 （集）中取一个代表数组成一个集 $Z$（当 $E(\xi)=E(\eta)$ 时，尽管 $\xi$ 可以不等于 $\eta$ ，但这是同一类，我们只取这类中的一个代表数）。换句话说，对任何 $\xi \in[0,1]$ ， $E(\xi) \cap Z$ 是一个单元素集．

接着我们把 $[-1,1]$ 中的全体有理数排成一列 $r_1, r_2, r_3, \cdots$ ，并记 $Z_n=\tau_{r_n} Z$ 。我们证明这样作出的 $Z_n$ 确实具有前面说的性质 $1^{\circ}$ 和 $2^{\circ}$ 。
$1^{\circ}$ 对于任何 $\xi \in[0,1], E(\xi) \cap Z$ 是单元素集，设为 $\{\eta\}, \eta \in Z$ 。因此 $\xi-\eta$是有理数，由于 $\xi, \eta$ 都在 $[0,1]$ 中，所以 $\xi-\eta \in[-1,1]$ ，因此 $\xi-\eta$ 是 $r_1, r_2$ ， $r_3, \cdots$ 中的某一个，设 $\xi-\eta=r_{k^{\prime}}$ ，可见 $\xi \in \tau_{r^{\prime}} Z=Z_{k^{\prime}}$ ．这样我们就证明了任何 $\xi \in[0,1]$ 必在 $\bigcup_{n=1}^{\infty} Z_n$ 中，即 $[0,1] \subset \bigcup_{n=1}^{\infty} Z_n$ 。
$2^{\circ} Z_n$ 这一列集是两两不相交的，因为如果存在两个不同的正整数 $l$ 及 $n$ ，使 $\xi \in Z_l \cap Z_n$ ，那么 $\xi-r_l, \xi-r_n$ 都属于 $Z$ ．但这两个数属于同一类，且因
$l \neq n$ ，必定 $r_i \neq r_n$ ．所以 $\xi-r_l$ 与 $\xi-r_n$ 是不同的数，但由 $Z$ 的作法，它与每个类的交集只有一个元，这就产生了矛盾。由此证明了 $\left\{Z_n\right\}$ 这一列集是互不相交的．另外由 $Z \subset[0,1], r_n \in[-1,1]$ ，即知 $Z_n \subset[-1,2]$ ，所以 $\bigcup_{n=1}^{\infty} Z_n \subset [-1,2]$ ．

由性质 $1^{\circ}, 2^{\circ}$ 可知，$Z$ 确是不可测集。
注意，如果我们不是从闭区间 $[0,1]$ 出发，而是从任何一个具有正测度的集 $E$ 出发，施行同样的过程，那么就知道 $E$ 中存在不可测的子集 $Z$ 。因此，凡具有正测度的集必含有不可测的子集。

至此，读者可能会问，既然在直线上还存在勒贝格不可测集，我们能否给出另一种测度，使得对于 $\mathbf{R}^1$ 中的任何子集都有测度可言，即任何子集都可测？答案是否定的．现已证明，在 $\mathbf{R}^1$ 上不可能存在满足所有以下条件的测度：

$1^{\circ}$ 任何子集都可测；
$2^{\circ}[0,1]$ 的测度是 1 ，即测度具有正则性；
$3^{\circ}$ 具有可数可加性；
$4^{\circ}$ 测度对运动不变，即 $A$ 和 $B$ 全等，则 $A$ 和 $B$ 有相同的测度．
在 $\mathbf{R}^n(n>1)$ 上也不存在这样的测度。
因此，要找一个任何子集都可测的可数可加测度是办不到的。
然而如果退一步，只要有限可加，那么在 $\mathbf{R}^1$ 和 $\mathbf{R}^2$ 存在着巴拿赫 （Banach）测度，使得任何子集都可测．这就是 1923 年巴拿赫证明的定理：

在 $\mathbf{R}^1$ 和 $\mathbf{R}^2$ 上，存在着正则的（即 $[0,1]$ 的测度是 1 ）、有限可加的、对运动不变的测度，使得任何子集均可测．不过，这样的测度并没有多大用处．

## 理解： 不可测集

### 1. 为什么要测度？—— 从长度到测度

我们最初认识的长度、面积、体积，都是很直观的。比如，区间 [a, b] 的长度是 b - a。两个不相交的区间，它们并集的长度就是各自长度之和。这叫做“有限可加性”。

在实变函数中，我们研究积分（勒贝格积分），需要一种更强大的“长度”概念，它应该满足：

1.  **非负性**：测度总是 ≥ 0。
2.  **空集为零**：空集的测度为 0。
3.  **可数可加性**：如果有一列**互不相交**的集合 {E₁, E₂, E₃, ...}，那么它们并集的测度，等于它们各自测度的和。
    $$ m\left( \bigcup_{k=1}^{\infty} E_k \right) = \sum_{k=1}^{\infty} m(E_k) $$
    这比“有限可加性”更强，是微积分极限理论的基础。

我们理想中的测度（称为**勒贝格测度**）还应该满足：

4.  **平移不变性**：把一个集合平移一下，它的测度不变。比如，区间 [a, b] 平移 c 个单位变成 [a+c, b+c]，长度不变。
5.  **规范性**：区间 [0, 1] 的测度是 1。

我们的目标就是：在实数轴 R 上，尽可能多地为子集分配合适的“测度”，让这些集合成为“可测集”。

### 2. 不可测集的出现 —— 维塔利（Vitali）构造

现在的问题是：**实数轴上的每一个子集，都能被赋予一个满足上述所有性质（特别是可数可加性和平移不变性）的测度吗？**

答案是：**不能**。维塔利在1905年给出了一个经典的反例，构造了一个“不可测集”。

#### 构造思路（简化版）：

1.  **定义一个等价关系**：
    对于实数 x, y ∈ [0, 1)，我们说 x ∼ y 当且仅当 (x - y) 是一个有理数。
    （例如，0.1 ∼ 0.2，因为 0.1 - 0.2 = -0.1 是有理数）

2.  **将 [0,1) 分成等价类**：
    这个等价关系把 [0,1) 区间分成了许多个“等价类”。同一个类中的两个数相差一个有理数。不同类中的两个数相差无理数。
    *   例如，所有有理数自己形成一个类。
    *   像 0, √2 - 1, π - 3 ... 这些数，如果它们之间的差是有理数，就在一个类里。

3.  **选择公理登场**：
    从每一个等价类中，我们**挑选出恰好一个代表元**，组成一个集合，记为 V。这就是维塔利集。
    （这里的关键是，我们需要“选择公理”才能保证这个挑选过程是可行的。不可测集的存在性与选择公理是密切相关的。）

#### 为什么 V 不可测？

现在我们用反证法。假设 V 是可测的，记它的测度为 m(V)。

4.  **构造可数平移集**：
    设 Q₀ 是 [-1, 1] 中的所有有理数的集合。因为有理数是可数的，所以 Q₀ = {q₁, q₂, q₃, ...} 也是可数的。
    将集合 V 分别平移每一个 q ∈ Q₀，得到一族集合：V + q = {v + q | v ∈ V}。

5.  **观察这些平移集的性质**：
    *   **它们互不相交**：如果 (V + qᵢ) 和 (V + qⱼ) 有交集，那就意味着存在 v₁, v₂ ∈ V，使得 v₁ + qᵢ = v₂ + qⱼ => v₁ - v₂ = qⱼ - qᵢ ∈ Q。这意味着 v₁ 和 v₂ 属于同一个等价类。但 V 是从每个等价类只选一个点构成的，所以 v₁ = v₂，从而推出 qᵢ = qⱼ。所以它们不相交。
    *   **它们能覆盖 [0,1)，并且被包含在 [-1, 2) 中**：
        - 对于 [0,1) 中的任意一个数 x，它一定属于某个等价类，所以存在某个 v ∈ V，使得 x - v = q (有理数)。由于 x, v ∈ [0,1)，所以 q = x - v ∈ (-1, 1)。因此 x ∈ V + q，且 q ∈ Q₀。
        - 所以 [0,1) ⊆ ∪_{q∈Q₀} (V + q)。
        - 同时，因为 V ⊆ [0,1)，q ∈ [-1,1]，所以 V + q ⊆ [-1, 2)。

6.  **利用测度性质推出矛盾**：
    *   根据**平移不变性**，所有 V + q 的测度都等于 m(V)。
    *   根据**可数可加性**，这些互不相交的集合的并集的测度，等于它们测度之和。
        $$ m\left( \bigcup_{q \in Q_0} (V + q) \right) = \sum_{q \in Q_0} m(V + q) = \sum_{q \in Q_0} m(V) $$
    *   现在看这个并集，我们知道：
        $$ [0,1) \subseteq \bigcup_{q \in Q_0} (V + q) \subseteq [-1, 2) $$
    *   所以，这个并集的测度 m(∪ (V + q)) 应该介于 [0,1) 的测度 1 和 [-1,2) 的测度 3 之间。
        $$ 1 \le m\left( \bigcup_{q \in Q_0} (V + q) \right) \le 3 $$
    *   代入上面的等式：
        $$ 1 \le \sum_{q \in Q_0} m(V) \le 3 $$
    *   现在问题来了：∑_{q∈Q₀} m(V) 等于什么？Q₀ 里有可数无穷多个有理数。
        - 如果 m(V) = 0，那么无穷多个 0 相加还是 0，不可能 ≥ 1。**矛盾！**
        - 如果 m(V) > 0，那么无穷多个正数相加等于无穷大，不可能 ≤ 3。**矛盾！**

**结论**：我们的初始假设“V 是可测的”是错误的。因此，V 是一个不可测集。

### 如何理解不可测集   核心比喻：给“不规则碎片”称重

想象一下，你有一把非常神奇的尺子（或者天平），它能量出（或称出）任何普通物体的长度（或重量）。这些普通物体就像实数轴上的区间，比如从0到1的线段，我们知道它的“长度”（即勒贝格测度）就是1。

现在，你的任务是：**用这把尺子，去测量一堆极其特殊、极其不规则的“金属粉尘”的长度（或重量）。**

1.  **可测集（普通物体）**
    *   像一块完整的木头、一个规则的金属块，你可以轻松地用量尺量出它们的尺寸，或者用天平称出重量。在实数轴上，这对应着**区间**、**开集**、**闭集**，以及由它们通过可数步并、交、补操作得到的集合（称为波莱尔集）。这些集合我们都能明确地给出一个“长度”（测度）。

2.  **不可测集（那堆“不规则碎片”）**
    *   现在有一堆金属粉尘，它太特殊、太不规则了。当你试图把它放到天平上时，发生了奇怪的事情：
        *   如果你把这堆粉尘**分成有限份**，然后分别去称每一份的重量，你会发现一个悖论：**无论你怎么分，每一份的重量都看起来一样，但把它们加起来的重量却和整体的重量对不上！** 要么是0，要么是无穷大，总之不符合常理。
        *   这把神奇的尺子/天平面对这种“反常识”的物体时，**彻底失灵了**。它无法给出一个合理的、满足我们基本“重量守恒”直觉的数值。

### 为什么会出现这种“不规则碎片”？（维塔利集的构造思想）

数学家维塔利给出了一个具体的构造方法，可以帮你“制造”出这堆不可测的“金属粉尘”：

1.  **原材料**：我们有一根单位长度的金属棒（对应区间 [0,1]）。
2.  **制定规则**：我们把棒上所有的点（所有实数）按一个规则分类：如果两个点的距离是一个**有理数**，就把它们归为同一类。这样，整根棒被分成了无数个“等价类”。
3.  **制造悖论**：现在，从**每一类**中都**任意地**挑选出**一个**点作为代表。所有这些代表点放在一起，就构成了一个集合，这就是著名的**维塔利集**。
4.  **为什么不可测？**
    *   想象一下，你把这个代表点集在有理数方向上平移一点点（因为有理数有无穷多个，但都很稠密）。通过这种平移，你可以构造出无穷多个彼此不相交的集合，但它们看起来又“长得一样”。
    *   如果这个代表点集有一个确定的“长度”（测度），比如是 `m`。
    *   那么，由它平移产生的所有集合的长度也应该是 `m`。
    *   问题来了：这些平移后的集合要么会铺满整个金属棒（如果 `m > 0`，那么总长度会是无穷大），要么几乎什么都不覆盖（如果 `m = 0`，总长度是0）。但这根棒子的总长度明明是1啊！
    *   这就产生了矛盾。**为了避免这个矛盾，唯一的解释就是：这个集合根本就是“不可测量”的。** 我们的“尺子”拒绝为这种通过“选择公理”强行造出来的、结构极其怪异的集合赋予长度。

### 总结成通俗的要点

*   **目标**：我们想给实数轴上的更多子集一个合理的“长度”概念。
*   **成功（可测集）**：对于大部分“规则”的集合（区间、开集、闭集等），我们成功了。这个推广后的“长度”就是**勒贝格测度**。
*   **失败（不可测集）**：但我们发现，总存在一些利用“选择公理”构造出来的、结构极其怪异和零散的集合。**任何想给它们分配一个“长度”的尝试，都会破坏测度理论最根本的、也是理所当然的性质——可数可加性（即“整体等于各部分之和”）**。
*   **结论**：于是，我们明智地承认，这些集合是“不可测”的。我们不去测量它们，只研究那些“可测”的集合。这就像我们承认世界上有些形状是无法用尺子测量的一样。不可测集的存在，告诉我们测度理论的边界在哪里。

所以，**不可测集就是一个结构怪异到无法用我们现有的“勒贝格测度”这把尺子来衡量的点集。任何强行为它定义长度，都会导致逻辑上的矛盾。** 幸运的是，在分析和概率论中遇到的所有“正常”集合都是可测的，不可测集更像是一个逻辑上的奇观，提醒我们数学体系的基础是何种模样。

## 总结

1.  **不是所有集合都有“长度”**：在严格的数学定义下，存在一些非常“奇怪”的、像碎片一样的集合，我们无法给它定义一个合理的、满足可数可加性和平移不变性的“长度”。我们日常能想象出的几何图形（区间、开集、闭集、以及它们的各种运算结果）都是可测的。不可测集是高度抽象和反直觉的。

2.  **与选择公理的关系**：维塔利构造严重依赖于选择公理。事实上，在没有选择公理的模型中，所有实数子集都可能是勒贝格可测的。所以，不可测集的存在性某种程度上是“人为”选择的结果，我们接受了选择公理带来的强大工具，就必须接受它带来的“怪异”产物。

3.  **在实变函数中的意义**：
    *   它划定了勒贝格测度的**边界**。我们只能在一个足够大的、但并非全体的集合族（称为“勒贝格可测集族”）上建立积分理论。
    *   它解释了为什么我们定义积分时，要小心翼翼地区分“可测函数”和“不可测函数”。一个函数的可测性，本质上就是要求它的定义域和值域的结构不能太怪异，要和我们定义的测度相容。
    *   它告诉我们，数学上完美的、适用于一切对象的理论有时是无法实现的，我们必须满足于在一个“足够好”的范围内工作。幸运的是，这个“足够好”的范围（勒贝格可测集）已经包含了我们在分析和几何中遇到的所有“正常”的集合。

**不可测集**就是一个无法被赋予一个满足**可数可加性**和**平移不变性**的“长度”（即勒贝格测度）的集合。它的存在揭示了实数系结构的复杂性和我们测量工具（勒贝格测度）的局限性。维塔利构造是理解这一概念最经典、最核心的范例。

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