最后更新: 2025-11-24 09:15 查看: 66 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

不可测集

## 不可测集
$R^n$中的点集并非都是可测集，这一点Lebesgue本人早就预见到了，只不过第一个不可测集的例子是由意大利数学家Voltera做出的，其中要用到选择公理．当然，在一般的数学实践中，遇到不可测集的机会是极少的，它通常只是被用来构成各种特例，以廓清某些课题的适应范围，而使我们对这种测度理论的认识更加深刻．下述不可测集的例子属于Sierpinski .

在本节中我们仅对直线上每个集是否都是 $L$ 可测集作出回答．下面我们要作一个不是 $L$ 可测的集。注意构造这样的集不是很容易的，因为我们构造集通常都是从区间出发经过一系列并、交、差等运算来获得，而这样的集都是博雷尔集，当然总是 $L$ 可测的。下面我们先讲勒贝格测度的平移不变性，然后利用这种平移不变性来构造一个 $L$ 不可测集。

对于任何一个实数 $\alpha$ ，作 $\mathbf{R}^1 \rightarrow \mathbf{R}^1$ 的映射 $\tau_a: x \rightarrow x+\alpha$ ．它是直线上的一个平移．一个集 $E \subset \mathbf{R}^1$ ，经过平移 $\alpha$ 后所得的集记为 $\tau_\alpha E=\{x+\alpha \mid x \in E\}$ ．现在我们讨论在平移变换下，集的测度有什么变化．显然当 $E$ 为区间时，$\tau_\alpha E$ 亦为区间，而且 $m E=m\left(\tau_\alpha E\right)$ ．

定理 对任何集 $\mathrm{E} \subset \mathbf{R}^1$ ，具有 $m^* E=m^*\left(\tau_\alpha E\right)$ ，且当 $E$ 为 $L$ 可测时，$\tau_\alpha E$也为 $L$ 可测的．

证明 因对任何一列开区间 $\left\{I_i\right\}, E \subset \bigcup_{i=1}^{\infty} I_i$ ，同时就有 $\tau_\alpha I_i$ 亦为开区间，以及 $\tau_\alpha E \subset \bigcup_{i=1}^{\infty}\left(\tau_\alpha I_i\right)$ ，所以

$$
m^* E=\inf \left\{\sum_{i=1}^{\infty}\left|I_i\right|: E \subset \bigcup_{i=1}^{\infty} I_i\right\} \geqslant m^*\left(\tau_\alpha E\right) .
$$

但 $\tau_\alpha E$ 再平移 $\tau_{-\alpha}$ 后就是 $E$ ，所以 $m^*\left(\tau_\alpha E\right) \geqslant m^* E$ ．这样就得到 $m^* E= m^*\left(\tau_\alpha E\right)$ ．

如果 $E$ 为 $L$ 可测，那么对于任何 $T \subset \mathbf{R}^1$ 有

$$
m^* T=m^*(T \bigcap E)+m^*\left(T \bigcap E^c\right) .
$$

由于 $\tau_\alpha(T \cap E)=\tau_\alpha T \cap \tau_\alpha E, \tau_\alpha\left(T \cap E^{\mathrm{c}}\right)=\tau_\alpha T \cap \tau_\alpha E^{\mathrm{c}}$ ，因此从上式得到

$$
m^*\left(\tau_\alpha T\right)=m^*\left(\tau_\alpha T \bigcap \tau_\alpha E\right)+m^*\left(\tau_\alpha T \bigcap \tau_\alpha E^c\right)
$$

而上式中 $\tau_\alpha T$ 是任意集，因此 $\tau_\alpha E$ 为 $L$ 可测。

**定理说明**，集 $E \subset \mathbf{R}^1$ 经过平移后，它的外测度不变，而 $L$ 可测集经过平移后仍为 $L$ 可测集（当然它的测度也不变）。这个性质称为勒贝格测度的平黎不变性。

用类似的方法还可以证明勤贝格测度的反射不变性，就是说，如果记 $\tau$是 $\mathbf{R}^1 \rightarrow \mathbf{R}^1$ 的如下映射

$$
\tau: x \rightarrow-x, \tau E=\{-x \mid x \in E\},
$$

那么对任何 $L$ 可测集 $E \subset \mathbf{R}^1, m E=m(\tau E)$ 。我们不再详述．
下面我们利用测度的平移不变性作一个不可测集．

我们的想法是这样的：在直线上构造一个集 $Z$ ，要求对于 $Z$ ，可取这样的一列数 $r_1, r_2, \cdots, r_n, \cdots$ ，使得 $Z$ 经平移 $\tau_{r_n}$ 后得到的集 $Z_n=\tau_{r_n} Z$ 有下面的性质：
$1^{\circ} \bigcup_{n=1}^{\infty} Z_n$ 包含一个区间（例如 $\bigcup_{n=1}^{\infty} Z_n \supset[0,1]$ ）；
$2^{\circ}\left\{Z_n\right\}$ 是一列互不相交的集，而且 $\bigcup_{n=1}^{\infty} Z_n$ 是有界集（例如 $\bigcup_{n=1}^{\infty} Z_n \subset [-1,2]$ ）．

如果 $Z$ 具有这样两条性质，那么 $Z$ 就一定不是 $L$ 可测集．因为如果 $Z$ 是可测的，那么 $Z_n$ 也是可测的，而且 $m Z_n=m Z$ 。由于 $Z_n$ 是两两不相交的，所以

$$
m\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} Z_n\right)=\sum_{n=1}^{\infty} m Z_n=\sum_{n=1}^{\infty} m Z .
$$

又因为 $\bigcup_{n=1}^{\infty} Z_n$ 是有界集，并且它包含一个长度不为零的区间，因此由测度的单调性可知

$$
0<\alpha \leqslant m\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} Z_n\right) \leqslant \beta<+\infty,
$$

从这个式子及（1）式，就发现 $m Z$ 必须等于零又必须大于零．这个矛盾说明 $Z$是不可测集。

现在我们具体地构造这样的集 $Z$ ．
将 $[0,1]$ 中的所有数依下法分类：两数 $\xi, \eta$ 当且仅当 $\xi-\eta$ 是有理数时，称 $\xi$ 与 $\eta$ 属于同一类，设 $\xi \in[0,1]$ ，将 $[0,1]$ 中具有形式 $\xi+r$（ $r$ 表示有理数）的点全体归为一类 $E(\xi)$ 。这样，对于一个 $\xi$ 有一类 $E(\xi)$ 与之对应，且 $\xi \in E(\xi)$ ，集 $E(\xi)$ 不同于 $E(\et

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