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注记：公理的选择

> 本文摘自周民强《实变函数》注记

（一）Lebesgue 当年的测度理论是用内、外测度的观点建立起来的．
设 $E \subset[a, b]$ ，外测度 $m^*(E)$ 的定义与本章所用定义相同（矩体换为区间），而内测度定义为

$$
m_{\cdot}(E)=(b-a)-m^*([a, b] \backslash E) .
$$

若 $m^*(E)=m$ 。（ $E$ ），则称 $E$ 为可测集，且定义其测度为

$$
m(E)=m^*(E)(=m,(E)) \text {. }
$$

易知，这一界定方式是针对有界点集而发的，且无法推广到一般的抽象背景上去。此外，虽然内测度在直觉上接受性较强，但从可加性角度看问题，又有重大缺陷。可以证明，当外测度具有可加性时，内测度也具有可加性，但反之不然．

（二）在 $\S 2.3$ 中，我们指出 $\mathbf{R}^n$ 中的 Borel 集是可测的，且任一可测集是一个 Borel 集与一个零测集的并集。那么，是否确有不是 Borel 集的可测集呢？回答是肯定的．现在我们以 $\mathbf{R}$ 为例来说明不是 Borel 集的零测集是存在的．为此，先介绍一个一般的引理。

引理 设 $f(x)$ 是定义在 $E \subset \mathbf{R}^n$ 上的实值函数，$\Gamma$ 是 $\mathbf{R}^n$ 中一些子集构成的 $\sigma-$ 代数，且 $E \in \Gamma$ ．若令

$$
\mathscr{A}=\left\{A \subset \mathbf{R}: f^{-1}(A) \in \Gamma\right\},
$$

则 $\alpha$ 是 $\sigma$－代数．
证明（i）因为 $f^{-1}(\mathbf{R})=E \in \Gamma$ ，所以 $\mathbf{R} \in \mathscr{A}$ ．
（ii）若 $A \in \mathscr{A}$ ，则由 $f^{-1}\left(A^c\right)=E \backslash f^{-1}(A)$ ，可知 $f^{-1}\left(A^c\right) \in \Gamma$ ，从而得 $A^c \in \mathscr{A}$ ．
（iii）若 $\left\{A_k\right\}$ 是 $\mathscr{A}$ 中一集合列（即 $f^{-1}\left(A_k\right) \in \Gamma$ ），则由

$$
f^{-1}\left(\bigcup_{k=1}^{\infty} A_k\right)=\bigcup_{k=1}^{\infty} f^{-1}\left(A_k\right)
$$

可知 $f^{-1}\left(\bigcup_{k=1}^{\infty} A_k\right) \in \Gamma$ ，从而得 $\bigcup_{k=1}^{\infty} A_k \in \mathscr{A}$ ．
上述三条性质说明 $\mathscr{A}$ 是一个 $\sigma$－代数．

推论 设 $f(x)$ 是 $\mathbf{R}$ 上的连续函数．若 $A \subset \mathbf{R}$ 是 Borel 集，则 $f^{-1}(A)$ 也是 Borel 集．

证明 令 $\Gamma$ 是 $\mathbf{R}$ 中的 Borel $\sigma$－代数，$G$ 是 $\mathbf{R}$ 中的开集．根据 $f$ 的连续性， $f^{-1}(G)$ 也是开集．因此，若令

$$
\mathscr{A}=\left\{A: f^{-1}(A) \in \Gamma\right\},
$$

则 $f^{-1}(G) \in \Gamma$ ．从而 $G \in \mathscr{A}$ ，上述引理指出 $\mathscr{A}$ 是一个 $\sigma$ 代数．由此知一切 Borel集皆属于 $A$ ．这说明若 $A$ 是 Borel 集，则 $f^{-1}(A) \in \Gamma$ ，即 $f^{-1}(A)$ 是 Borel 集．

例（非 Borel 集的可测集）考虑 $\mathbf{R}$ 中的 $[0,1]$ 区间，$\Phi(x)$ 是 $[0,1]$ 上的 Can－ tor 函数．作函数

$$
\Psi(x)=\frac{1}{2}(x+\Phi(x)), x \in[0,1] .
$$

显然，$\Psi$ 是 $[0,1]$ 上严格递增的连续函数，且 $\Psi(0)=0, \Psi(1)=1$ ．记其反函数为 $\Psi^{-1}$ ，它是连续（且一一对应）的函数．

现在取 $[0,1]$ 中的 Cantor 集 $C$ ，并令在构造过程中每步移去的中央三分开区间为 $I_{n, k}\left(n=1,2, \cdots ; k=1,2, \cdots, 2^{n-1}\right)$ ，其长度为 $\left|I_{n, k}\right|$ ，则 $\Psi\left(I_{n, k}\right)$ 是长度为 $\left|I_{n, k}\right| / 2$ 的开区间（注意 $\Phi(x)$ 在 $I_{n, k}$ 上是常数）．从而点集

$$
\Psi\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=1}^{2^{n-1}} I_{n, k}\right)
$$

的测度为 $1 / 2$ ．若令 $\Psi(C)=H$ ，可知 $m(H)=1 / 2$ ．

令 $W$ 是 $H$ 中的不可测集，并记 $\Psi^{-1}(W)=S$ ．因为 $S \subset C$ ，所以 $S$ 是可测集，但 $S$ 不是 Borel 集，否则根据上述推论，$W$ 也是 Borel 集，从而为可测集．

此外，关于 Borel 测度与 Lebesgue 测度，我们有下述结论：设 $\mu$ 是 $\mathbf{R}^1$ 上的 Borel 测度，且 $\mu([0,1])<+\infty$ ．若对任意的区间 $[a, b)$ ，以及 $\mathbf{R}^1$ 中稠密集 $D$ 中任一点 $x_0$ ，均有

$$
\mu\left([a, b)+\left\{x

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