最后更新: 2025-11-24 09:22 查看: 25 次纠错评论(0) 课件开VIP

注记：公理的选择

> 本文摘自周民强《实变函数》注记

（一）Lebesgue 当年的测度理论是用内、外测度的观点建立起来的．
设 $E \subset[a, b]$ ，外测度 $m^*(E)$ 的定义与本章所用定义相同（矩体换为区间），而内测度定义为

$$
m_{\cdot}(E)=(b-a)-m^*([a, b] \backslash E) .
$$

若 $m^*(E)=m$ 。（ $E$ ），则称 $E$ 为可测集，且定义其测度为

$$
m(E)=m^*(E)(=m,(E)) \text {. }
$$

易知，这一界定方式是针对有界点集而发的，且无法推广到一般的抽象背景上去。此外，虽然内测度在直觉上接受性较强，但从可加性角度看问题，又有重大缺陷。可以证明，当外测度具有可加性时，内测度也具有可加性，但反之不然．

（二）在 $\S 2.3$ 中，我们指出 $\mathbf{R}^n$ 中的 Borel 集是可测的，且任一可测集是一个 Borel 集与一个零测集的并集。那么，是否确有不是 Borel 集的可测集呢？回答是肯定的．现在我们以 $\mathbf{R}$ 为例来说明不是 Borel 集的零测集是存在的．为此，先介绍一个一般的引理。

引理 设 $f(x)$ 是定义在 $E \subset \mathbf{R}^n$ 上的实值函数，$\Gamma$ 是 $\mathbf{R}^n$ 中一些子集构成的 $\sigma-$ 代数，且 $E \in \Gamma$ ．若令

$$
\mathscr{A}=\left\{A \subset \mathbf{R}: f^{-1}(A) \in \Gamma\right\},
$$

则 $\alpha$ 是 $\sigma$－代数．
证明（i）因为 $f^{-1}(\mathbf{R})=E \in \Gamma$ ，所以 $\mathbf{R} \in \mathscr{A}$ ．
（ii）若 $A \in \mathscr{A}$ ，则由 $f^{-1}\left(A^c\right)=E \backslash f^{-1}(A)$ ，可知 $f^{-1}\left(A^c\right) \in \Gamma$ ，从而得 $A^c \in \mathscr{A}$ ．
（iii）若 $\left\{A_k\right\}$ 是 $\mathscr{A}$ 中一集合列（即 $f^{-1}\left(A_k\right) \in \Gamma$ ），则由

$$
f^{-1}\left(\bigcup_{k=1}^{\infty} A_k\right)=\bigcup_{k=1}^{\infty} f^{-1}\left(A_k\right)
$$

可知 $f^{-1}\left(\bigcup_{k=1}^{\infty} A_k\right) \in \Gamma$ ，从而得 $\bigcup_{k=1}^{\infty} A_k \in \mathscr{A}$ ．
上述三条性质说明 $\mathscr{A}$ 是一个 $\sigma$－代数．

推论 设 $f(x)$ 是 $\mathbf{R}$ 上的连续函数．若 $A \subset \mathbf{R}$ 是 Borel 集，则 $f^{-1}(A)$ 也是 Borel 集．

证明 令 $\Gamma$ 是 $\mathbf{R}$ 中的 Borel $\sigma$－代数，$G$ 是 $\mathbf{R}$ 中的开集．根据 $f$ 的连续性， $f^{-1}(G)$ 也是开集．因此，若令

$$
\mathscr{A}=\left\{A: f^{-1}(A) \in \Gamma\right\},
$$

则 $f^{-1}(G) \in \Gamma$ ．从而 $G \in \mathscr{A}$ ，上述引理指出 $\mathscr{A}$ 是一个 $\sigma$ 代数．由此知一切 Borel集皆属于 $A$ ．这说明若 $A$ 是 Borel 集，则 $f^{-1}(A) \in \Gamma$ ，即 $f^{-1}(A)$ 是 Borel 集．

例（非 Borel 集的可测集）考虑 $\mathbf{R}$ 中的 $[0,1]$ 区间，$\Phi(x)$ 是 $[0,1]$ 上的 Can－ tor 函数．作函数

$$
\Psi(x)=\frac{1}{2}(x+\Phi(x)), x \in[0,1] .
$$

显然，$\Psi$ 是 $[0,1]$ 上严格递增的连续函数，且 $\Psi(0)=0, \Psi(1)=1$ ．记其反函数为 $\Psi^{-1}$ ，它是连续（且一一对应）的函数．

现在取 $[0,1]$ 中的 Cantor 集 $C$ ，并令在构造过程中每步移去的中央三分开区间为 $I_{n, k}\left(n=1,2, \cdots ; k=1,2, \cdots, 2^{n-1}\right)$ ，其长度为 $\left|I_{n, k}\right|$ ，则 $\Psi\left(I_{n, k}\right)$ 是长度为 $\left|I_{n, k}\right| / 2$ 的开区间（注意 $\Phi(x)$ 在 $I_{n, k}$ 上是常数）．从而点集

$$
\Psi\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=1}^{2^{n-1}} I_{n, k}\right)
$$

的测度为 $1 / 2$ ．若令 $\Psi(C)=H$ ，可知 $m(H)=1 / 2$ ．

令 $W$ 是 $H$ 中的不可测集，并记 $\Psi^{-1}(W)=S$ ．因为 $S \subset C$ ，所以 $S$ 是可测集，但 $S$ 不是 Borel 集，否则根据上述推论，$W$ 也是 Borel 集，从而为可测集．

此外，关于 Borel 测度与 Lebesgue 测度，我们有下述结论：设 $\mu$ 是 $\mathbf{R}^1$ 上的 Borel 测度，且 $\mu([0,1])<+\infty$ ．若对任意的区间 $[a, b)$ ，以及 $\mathbf{R}^1$ 中稠密集 $D$ 中任一点 $x_0$ ，均有

$$
\mu\left([a, b)+\left\{x_0\right\}\right)=\mu([a, b)),
$$

则 $\mu(E)=\lambda m(E)$（ $E$ 是 Borel 可测集）．
事实上，（i）对任意的点 $c \in \mathbf{R}$ ，作 $D$ 中递增列 $\left\{d_k\right\}: d_k \rightarrow c(k \rightarrow \infty)$ ，可知

$$
\begin{gathered}
{\left[a+d_k, b+c\right) \supseteq\left[a+d_{k+1}, b+c\right),} \\
{\left[b+d_k, b+c\right) \supset\left[b+d_{k+1}, b+c\right) \quad(k=1,2, \cdots) ;} \\
\lim _{k \rightarrow \infty}\left[a+d_k, b+c\right)=[a+c, b+c) ; \\
\lim _{k \rightarrow \infty}\left[b+d_k, b+c\right)=\varnothing .
\end{gathered}
$$

从而当 $k \rightarrow \infty$ 时，有

即

$$
\begin{aligned}
\mu([a, b))= & \mu\left(\left[a+d_k, b+d_k\right)\right) \\
= & \mu\left(\left[a+d_k, b+c\right)\right)-\mu\left(\left[b+d_k, b+c\right)\right) \\
\rightarrow & \mu([a+c, b+c)) \\
& \mu([a, b))=\mu([a, b)+\{c\})
\end{aligned}
$$

（ii）对任意的自然数 $m, n$ ，注意到

$$
\begin{aligned}
& \mu([0, m / n))=\mu\left(\bigcup_{i=1}^m\left[\frac{i-1}{n}, \frac{i}{n}\right)\right) \\
& \quad=\sum_{i=1}^m \mu\left(\left[0, \frac{1}{n}\right)+\left\{\frac{i}{n}\right\}\right)=m_\mu\left(\left[0, \frac{1}{n}\right)\right),
\end{aligned}
$$

可得

$$
\begin{aligned}
& \mu([0,1))=\mu\left(\left[0, \frac{n}{n}\right)\right)=n \mu\left(\left[0, \frac{1}{n}\right)\right) ; \\
& \mu\left(\left[0, \frac{m}{m}\right)\right)=\frac{m}{n} \mu([0,1)) .
\end{aligned}
$$

从而对 $r^{\prime}, r^{\prime \prime} \in \mathbf{Q}$ ，就有

$$
\begin{aligned}
\mu\left(\left[r^{\prime}, r^{\prime \prime}\right)\right) & =\mu\left(\left\{r^{\prime}\right\}+\left[0, r^{\prime \prime}-r^{\prime}\right)\right) \\
& =\left(r^{\prime \prime}-r^{\prime}\right) \mu([0,1))=\lambda m\left(\left[r^{\prime}, r^{\prime \prime}\right)\right),
\end{aligned}
$$

其中 $\lambda=\mu([0,1))$ 。由此易知，对 $a, b \in \mathbf{R}$ ，也有 $\mu([a, b))=\lambda m([a, b))$ 。因此，对于开集 $G$ ，就有 $\mu(G)=\lambda m(G)$ 。而对一般Borel 集 $B$ ，可用包含 $B$ 的递减开集列过渡，即得所证．

最后指出：（i）对于 Borel 集 $B_1, B_2$ ，其差集 $B_1-B_2$ 不一定仍是 Borel 集；
（ii）由于存在非 Borel 集的 Lebesgue 可测集 $E$ ，又有 Borel 集 $H: H \supset E$ ， $m(H)=0$ ，故由全体 Borel 集 $\mathscr{B}$ 以及其上之 Borel 测度 $\mu$ 构成的测度空间 $(\mathbf{R}$ ， $\mathscr{B}, \mu)$ 是不完全的；

（iii）存在测度空间 $(\mathbf{R}, \mathscr{A}, \mu): \mathscr{A} \mathscr{B}$ ，使得其中的可测集 $E$ 不能表为

$$
E=B \cup Z, \quad B \in \mathscr{B}, \quad \mu(Z)=0 ;
$$

（iv） $\mathbf{R}^2$ 中的凸集不一定是 Borel 集；
（v） $\mathbf{R}$ 中的 Borel 集全体的基数是 $c$ ．
（三）设 $E \subset \mathbf{R}$ 是可测集．若对任意的 $x_0 \in \mathbf{R}$ ，有

则

$$
\begin{gathered}
m\left(E \triangle\left(E+\left\{x_0\right\}\right)\right)=0 \\
m\left(E^c \triangle\left(E^c+\left\{x_0\right\}\right)\right)=0, \quad m(E) \cdot m\left(E^c\right)=0
\end{gathered}
$$

（四）设 $E \subset \mathbf{R}$ ．若存在 $\delta>0$ ，使对任意的区间 $I \subset \mathbf{R}$ ，均有 $m^*(E \cap I) \geqslant \delta \cdot m(I)$ ，则当 $E$ 为可测集时，有 $m(\mathbf{R} \backslash E)=0$ ．
（五）选择公理、不可测集
在集合论的某些命题的证明中，我们经常需要在一些集合中选取元素，且还要再形成新的集合实体。那么，这种做法是否科学呢？这需要一种约定，即所谓选择公理．在这里给予简单诠释．选择公理说：＂若 $\Gamma$ 是由互不相交的一些非空集合所形成的集合族，则存在集合 $X$ ，它由该族的每一个集合中恰取一个元素而形成的。＂在这里，由于没有明确指定选取集合中哪一个元素，致使人们对集合 $X$ 的存在性发生动摇．举例来说，如果有许多双鞋，从每双鞋中选出右脚穿的鞋形成一个集合，那么这还好说，但如果从中任取一只鞋来形成一个集合，那么要承认这个集合是明确地给定的，就必须是人为的约定，即承认选择公理为真。从而，围绕这一公理开展出许多数学工作。

首先，承认选择公理为真是否会推出矛盾？有人证明在著名的 Z．F．公理集合论系统中，选择公理是相容的．其次，它是否可由其他公理导出？不然，有人证明选择公理与 Z．F．公理集合论系统的其他公理是互相独立的．

在这些研究工作展开的同时，人们还获得许多与选择公理等价的各种形式的命题，并在许多数学分支中均有着多样的应用．除了前述正文中所提到的不可测集的存在外，又例如建立实数系的 Hamel 基、泛函分析中的 Hahn－Banach扩张定理、拓扑学中乘积拓扑空间紧性的Тихонов 定理等。

然而，毕竟在选择公理的陈述中暗含着某种不确定的因素，致使人们做出了一些古怪的思维产物。例如，在1924年，Banach 和 Tarski 指出，应用选择公理，可将一个球体分解为有限个部分，经重新组合后成为两个与原球体同样大小的球体。这一结论与人们的直观完全相反，不过也没有引发逻辑上的矛盾． （当然，这有限个组成部分都是不可测集．）

关于不可测集，在前述正文中构造它时，我们用到了选择公理．如果不用这一公理，例如在 Z．F．公理集合论系统（不包含选择公理）中，1964 年 Solovy 做出了一个集合论模型，其中每个点集都是 Lebesgue 可测的（Ann．of Math．， 92 （1970））．注意，这一结论不是说＂如果选择公理不对，那么每个点集都可测了＂，而是说＂为了获得不可测集，选择公理是必要的＂．实际上，由 Cohen 所做的模型指出，选择公理不真而又有不可测集存在。为了从不可测集的存在来推出选择公理不真，必须指出在每个模型中，其中选择公理是错的，而每个集合皆可测。

如果我们从另一角度看问题，即承认选择公理而又要避免出现不可测集，那么只好放弃测度的可数可加这一性质（因为 $m\left([0,1]^n\right)=1$ 以及平移不变性都是符合常规的）。一种办法是改成次可加性，例如外测度．但这使得结果无多大用处；另一种方法是改为有限可加性． 20 世纪20年代 Banach 用泛函延拓定理论述了 $\mathbf{R}$ 的情形，但这使得在其上所建立的积分不再具有著名的关于积分与极限交换次序的若干良好结果了。

关于不可测集与基数的问题。R．Solovay 曾指出，如果我们允许基数小于 $c$ 的不可数集存在，那么用选择公理是不能证明或驳斥这种不可测集的存在性．然而，如果基数小于 $c$ 的不可数可测集存在，那么它必是零测集．事实上，如设它为有界闭集 $F$ ，且 $m(F)>0$ ，则可作闭区间 $J_0, J_1: J_0 \cap J_1=\varnothing$ ，使

$$
m\left(F \cap J_0\right)>0, \quad m\left(F \cap J_1\right)>0
$$

继续对 $F \cap J_0$ 与 $F \cap J_1$ 进行上述操作，并一直下去，可得下图：

![图片](/uploads/2025-11/26b314.jpg)
 
 
 这相当于由 0,1 两个数字作成数列之全体，它的基数是 $c$ ．这一矛盾说明 $m(F)=0$ ．

注下列两个命题等价：
（i）选择公理成立；
（ii）对任一无穷集合 $X$ ，均存在一一映射 $T: X \rightarrow X \times X$ ；
（六）如果对于 $\mathbf{R}^2$ 中的正测集 $E$ ，存在 $\mathbf{R}$ 中的正测集 $A$ 与 $B$ ，使得

$$
m(E)=m(A \times B),
$$

则称 $E$ 为正测矩形．下例指出， $\mathbf{R}^2$ 中不是每个正测集都包含有正测矩形．
例 记 $[0,1]$ 中类 Cantor 集 $C$ ：$m(C)>$.0 ，并作平面点集。

$$
E=\{(x, y): x-y \in C .\} \subset[0,1] \times[0,1], \quad m(E)>0 .
$$

现在假定存在 $[0,1]$ 中的正测点集 $A$ 与 $B$ ，使得 $A \times B \subset E$ ，则差集 $A-B \subset C$ ．因为 $m(A)>0, m(B)>0$ ，所以 $A-B$ 有非空内点，矛盾．
（七）非 Jordan 可测集
记 $[0,1] \cap \mathbf{Q}=\left\{r_n\right\}, 0<\varepsilon<1$ ．对 $n \in \mathbf{N}$ ，作开区间 $I_n: I_n \subset[0,1], r_n \in I_n$ ， $m\left(I_n\right)=\varepsilon / 2^n$ ．又作 $G=\bigcup_{n=1}^{\infty} I_n, K=[0,1] \backslash G$ ，则

（i）$G$ 的内测度小于 $\varepsilon$ ．
（ii）$G$ 的外测度 $=1, \bar{G}=[0,1]$ ．
（iii）$G$ 是开集，且非 Jordan 可测集；$K$ 是紧集，且是非 Jordan 可测集．
（八）全密点
定义 设 $E \subset \mathbf{R}$ ．对 $x \in E$ ，若有

$$
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{m^*(E \cap(x-h, x+h))}{2 h}=1,
$$

则称点 $x$ 为点集 $E$ 的外全密点．（若 $E$ 是可测集，则称 $x$ 为 $E$ 的全密点．）
命题 设 $E \subset \mathbf{R}$ ，则 $E$ 中几乎处处的点都是外全密点．
证明 不妨假定 $E$ 是有界集，并设 $t: 0<t<1$ ，则只需指出点集

$$
A=\left\{x \in E: \varliminf_{h \rightarrow 0} \frac{m^*(E \cap(x-h, x+h))}{2 h}<1-t\right\}
$$

是零测集即可．故又只需指出：对任给 $\varepsilon>0$ ，必有 $m^*(A)<\varepsilon\left(1+3 t^{-1}\right)$ 即可．
（i）作开集 $G: G \supset A, m(G)<m^*(A)+\varepsilon$ ．易知对 $G$ 内任一可测子集 $B$ ，均有

$$
\begin{aligned}
m^*(A) & \leqslant m^*(A \cap B)+m^*(G \backslash B) \\
& \leqslant m^*(A \cap B)+m(G)-m(B) .
\end{aligned}
$$

故可得 $m^*(A \cap B) \geqslant m(B)-\varepsilon$ ．
（ii）对任意的 $x \in A$ ，选以有理数为端点的开区间 $I: x \in I \subset G$ ，且

$$
m^*(E \cap I)<(1-t) m(I) .
$$

如此继续做下去，可得开区间列 $\left\{I_n\right\}$ ：使得

$$
\bigcup_{n=1}^{\infty} I_n \supset A, \quad \bigcup_{n=1}^{\infty} I_n \subset G,
$$

且有

$$
m^*\left(E \cap I_n\right)<(1-t) m\left(I_n\right) \quad(n=1,2, \cdots) .
$$

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：不可测集

下一篇：没有了

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)