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分式线性映射-保对称性

## 视频教程

本节内容较为抽象，建议查看下面视频教程。来自B站，点击 [此处查看]( https://www.bilibili.com/video/BV19M41137mq/?p=56&share_source=copy_web&vd_source=dccae6542966b78b35c93e5e66c07a6c)

## 分式线性映射的一一对应
对于分式线性映射

$$
\boxed{
w=\frac{a z+b}{c z+d} ...(3.1)
}
$$

想象你在$z$平面走动，在$w$平面上都有唯一的你的影子也跟着走动。你的位置固定了，你的影子位置也就跟着固定了。

特别的，
①令分母$cz+d=0$，可以求的$z=-\frac{d}{c}$，也就是你无限靠近 $-\frac{d}{c}$ 这点时，你的影子将在无穷远点。

②令$|z| \to \infty$， 则 $w \to \frac{a}{z}$，这意味着你在$z$平面跑到无穷远点，你的影子就无限逼近$\frac{a}{z}$点。

把上式稍微变形得

$$
\boxed{
z=\dfrac{-dw+b}{cw-a} ...(3.2)
}
$$

从(3.2)可以看到和(3.1)本质是一样的，这意味着你在$w$平面找到你的映射，通过逆映射，都可以在$z$平面上找到你的位置。
① 令$cw-a=0$，则当你的影子在$w=\frac{a}{c}$这点时，你的位置在无穷远点。
② 当$w \to \infty$ ，则$z \to -\frac{d}{c}$，即你的影子跑到无穷远点，你无限逼近$-\frac{d}{c}$

## 两点关于直线对称
考虑平面上两点$z_1,z_2$,他们关于$L$对称的意思是：$z_1,z_2$ 到$L$的距离相等。如果连接$z_1,z_2$，则通过几何知识不难证明：$L$在$\overline{z_1 z_2}$线段的垂直平分线上。

![图片](/uploads/2025-08/c841ff.jpg){width=300px}
 
把上面知识延伸，可以进一步说，过$z_1,z_2$两点的圆 $ \odot c_1, \odot c_2$，都是和$L$正交的，（因为圆的对称性，弦的垂直平分线经过圆心） 这里正交的意思是：圆和$L$的交点的切线垂直，参考下图。

![图片](/uploads/2025-08/3fefc5.jpg){width=300px}

**上面的功能还可以换一个说法：$c_1,c_2$是和$L$正交的，如果把$L$看成半径为无穷大的圆$c$， 就可以得到$c_1,c_2$与$c$正交。**

## 两点关于圆对称
根据刚才两点关于直线对称的刻画，那我们可以把它说成是过$c_1 ,c_2$ 的任何圆，和$c$是正交的，那么这里的圆包括直线的情形。
你比如过$z_1,z_2$ 的直线和原$c$是正交的，那么这样就保证了 $z_1, z_2$ 它是落在原点出发的同一条射线上面,同时过$c1 ,c2$ 的任何圆, 它和圆$c$都是正交的 那么它的含义是在交点处,它们的切线是互相垂直的，这是两点关于圆对称的概念,参考下图

![图片](/uploads/2025-08/123bb5.jpg){width=300px}
 
 
> **关于圆对称定义** 若通过两点 $z_1$ 和 $z_2$ 的直线和圆均与圆C正交，则称 $z _{ 1 }$ 和 $z _2$ 关于圆 $C$ 对称．

### 两点关于圆对称的几何意义
分式线性映射除具有保角性与保圆性外，亦具有保持圆的对称点不变的性质，称之为保对称性．
为证明这一性质，考虑对称点的一个重要特性：点 $A$ 与点 $B$ 是关于圆周 $C$ 的一对对称点的充要条件是过点 $A, B$ 的任何圆周 $\Gamma$ 与 $C$ 正交（图6．8）．

![图片](/uploads/2026-05/f1a052.jpg)

事实上，设点 $A, B$ 是关于 $C$ 的对称点，$\Gamma$ 是过点 $A, B$ 的圆周，$M$ 是 $C$ 与 $\Gamma$ 的交点，由对称点定义有

$$
\boxed{
O A \cdot O B=R^2=O M^2 ...(对称点定义)
}
$$

根据平面几何中圆的[切割线定理](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1628)可知：$O M$ 是 $\Gamma$ 的切线，从而圆周 $C$ 与 $\Gamma$ 正交．

反之，若 $\Gamma$ 是过点 $A, B$ 且与 $C$ 正交的任一圆周，

那么连接 $A$ 与 $B$ 的直线作为 $\Gamma$ 的特殊情形（半径为无穷大的圆）必与 $C$ 正交，且必过圆心 $O$ ．又因为 $\Gamma$ 与 $C$ 在交点 $M$ 处正交．从而 $C$ 的半径 $O M$ 就是 $\Gamma$ 的切线，所以由切割线定理得

$$
\boxed{
O A \cdot O B=O M^2=R^2  ...(切割线定理)
}
$$

因此，点 $A$ 与 $B$ 是关于圆周 $C$ 的一对对称点．
当圆周 $C$ 退化为直线时的证明，留给读者．
**定理**  设点 $z_1, z_2$ 是关于圆周 $C$ 的一对对称点，则在分式线性映射下，它们的像点 $w_1, w_2$ 也是关于 $C$ 的像曲线 $\Gamma$ 的一对对称点．

##  保对称性

**定理：设 $C_Z$ 为 $z$ 平面上的直线或圆，$w=T(z)$ 为分式线性函数．若 $z_1$ 和 $z_2$ 关于 $C_z$ 对称，则 $w_1=T\left(z_1\right)$ 和 $w_2=T\left(z_2\right)$ 关于 $C_z$ 在 $T$下的像 $C_w=T\left(C_z\right)$ 对称**．

【证】设 $\Gamma$ 为过 $w_1$ 和 $w_2$ 的任何圆，$w$ 为 $C_w$ 与 $\Gamma$ 的交点，只需证明 $C_w$ 与 $\Gamma$ 在 $w$ 处是正交的．设 $z=T^{-}(w)$ 为 $w=T(z)$ 的逆映射，它将 $\Gamma$ 映射成 $z$ 平面上的圆 $C, ~ z$ 为 $C_z$ 与 $C$ 的交点，由已知条件知 $C_z$ 与 $C$ 在 $z$ 处是正交的．

因为 $w=T(z)$ 在 $z$ 处是保角的，而 $C_w$ 与 $\Gamma$ 是 $C_z$ 与 $C$ 在映射 $w=T(z)$下的像，所以 $C_w$ 与 $\Gamma$ 在 $w$ 处是正交的．于是定理获证．

下图给出了几何解释。

![图片](/uploads/2025-08/895d0e.jpg){width=500px}

`例` 求一分式线性映射 $w=\frac{a z+b}{c z+d}$ ，将单位圆内部变为上半平面．
解 如图6．15，所求分式线性函数要把单位圆周 $C$ 映射为实轴 $\Gamma$ ，并将单位圆域 $D$ 变为上半平面 $G$ ．不妨设它将 $D$ 内一点 $z_1=0$ 变为 $G$ 内一点 $w_1=$ i ，则由保对称性，它应将 $z_2=\infty$ 映射为 $w_2=- i$ ．由此可得

$$
\frac{a \cdot 0+b}{c \cdot 0+d}=i, \quad \lim _{z \rightarrow \infty} \frac{a z+b}{c z+d}=-i,
$$

即得

$$
b=i d, \quad a=-i c  ...(6.8)
$$

![图片](/uploads/2025-08/10c5af.jpg)
 
 
 再假设 $C$ 上一点 $z_3=-1$ 被映射为 $\Gamma$ 上一点 $w_3=0$ ，因此有

$$
\frac{-a+b}{-c+d}=0 ...(6.9)
$$

由（6．8）与（6．9）式可得 $a= i d, b= i d, c=-d$ ．因此所求的分式线性映射为

$$
w=\frac{a z+b}{c z+d}=\frac{i d(z+1)}{d(-z+1)}=i\left(\frac{1+z}{1-z}\right) .
$$

从这个例子可以看出，所给问题本身是不唯一的．随着点的取法不同将会得到不同的函数且均符合要求．但同时也看到，一旦给出三个条件，则分式线性映射就被唯一地确定下来，这就是下面我们要讨论的问题．

## 通俗理解保对称性

- **关于直线对称**：就像日常照镜子，点 $P$ 和 $P'$ 关于直线 $L$ 对称，直线是它们的中垂线。
- **关于圆对称**：把圆当成“弯的镜子”。点 $P$ 和 $P'$ 关于半径为 $R$ 的圆对称时，它们在圆心出发的同一条射线上，并且 **距离满足 $OP \cdot OP' = R^2$**（你离圆心越近，对称点就离圆心越远）。

小例子：圆半径为3，若$P$离圆心1（圆内），那它的对称点就在圆外，离圆心9，因为 $1×9=3^2$。
  
### 保对称性为什么重要？

它帮我们解决一些看似复杂的边界问题：比如物理上，你想知道一个圆盘里的电场分布，但边界条件复杂。用保对称性，把圆盘映成上半平面，把边界点映成直线，问题就变成简单的上半平面镜像对称问题，然后就能轻松求解。

，我们用一个具体的例题来验证 **“分式线性变换保持对称性”**。

`例`已知点$z_1 = 2$ 和点$z_2 = \frac{1}{2}$ 是关于单位圆$|z|=1$ 的一对对称点。  
设变换$w = \frac{1}{z}$（这也是一个分式线性变换）。

求：$w_1 = f(z_1)$ 和$w_2 = f(z_2)$，并验证它们仍关于某条圆（或直线）对称。

**第一步：先验证原像关于单位圆对称**
单位圆半径$R=1$，圆心在原点。  
对称条件：$|z_1| \cdot |z_2| = R^2 = 1$。

-$|z_1| = |2| = 2$  
-$|z_2| = \left|\frac{1}{2}\right| = 0.5$  
$2 \times 0.5 = 1$  满足。  
并且它们同一条从圆心出发的射线上（都在正实轴）。

所以原来的确是关于单位圆对称。

![图片](/uploads/2026-05/e6d3fe.jpg)
 
**第二步：计算变换后的像**
$$
w = \frac{1}{z}
$$
-$w_1 = \frac{1}{z_1} = \frac{1}{2} = 0.5$
-$w_2 = \frac{1}{z_2} = \frac{1}{0.5} = 2$

得到$w_1 = 0.5$，$w_2 = 2$。

**第三步：验证像仍然对称**
注意：$w_1$ 和$w_2$ 仍然是关于单位圆对称吗？

检验：$|w_1| = 0.5$，$|w_2| = 2$，  
$0.5 \times 2 = 1$  还是关于单位圆对称。

而且两者依然在同一条射线上（正实轴）。

**第四步：结论**
在这个例子里：
- 原像：关于单位圆对称  
- 变换$w = 1/z$（分式线性变换）  
- 像：依然关于单位圆对称

所以对称性**保持**了（只是两点互换了位置）。

### 如果换个变换呢？
再试一个：$w = z + i$（平移，也是分式线性变换中的一种）。

-$z_1 = 2$ →$w_1 = 2 + i$  
-$z_2 = 0.5$ →$w_2 = 0.5 + i$

它们不再关于单位圆对称，但会关于**另一条直线或圆**对称。  
事实上，它们关于过$ (1.25, i) $ 且平行于虚轴的一条直线对称吗？可以算，但这里不展开。关键是：**对称的“类型”变了，但对称的关系依然存在**。

### 一句话总结这个例题
> 原来关于单位圆对称的两个点$2$ 和$0.5$，经过$w = 1/z$ 之后，变成$0.5$ 和$2$，仍关于单位圆对称。对称性完好无损。

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