最后更新: 2026-02-09 18:29 查看: 83 次纠错评论(0) 课件开VIP

微分方程组的三种模型：捕食者模型、传染病模型和弹簧模型

## 一阶二维微分方程组
自然与社会现象很少能用一个变量来刻画．例如，一个草原上某区域内野兔的总数量不但与它们的食物有关，而且与它们的捕食者的总数量有关。因此，为刻画它们的发展变化而建立的数学模型，必须包括相互关联的两个以上的微分方程，而刻画简谐振动位移变化的数学模型为二阶微分方程．但是，当选位移、速度为状态变量时，其状态随时间而变化的规律，就由两个相互关联的一阶微分方程所刻画．这就需要研究一阶二维微分方程组。

本章讨论一阶二维微分方程组的定性分析方法、解析方法及数值方法．首先对一阶二维微分方程组通用的定性方法中的基础知识进行介绍，并且对一阶二维线性微分方程组的迹－行列式分析方法进行重点介绍，而将进一步的定性分析放在第3章．其次，对半耦合的一阶二维微分方程组的解析方法进行探讨．

## 一阶二维微分方程组模型

本节介绍种群生态学、传染病学、物理学中的一些一阶二维微分方程组模型，并通过相平面定性研究其解图像、轨线及平衡解，介绍一阶二维方程组定性分析基本方法．

## 2.1.1 两生物种群生态模型
在自然界中，任何生物种群都不会孤立地生存．当两种不同生物种群相互影响时，就会产生十分有趣的数学模型．

**1．捕食-食饵（predator－prey）模型**
假设一个生态圈内有两种不同的动物，其中一种动物（如狐狸，称为捕食者）捕食另外一种动物（如野兔，称为食饵）．设 $t$ 时刻野兔的数量为 $R(t)$ ，而狐狸的数量为 $F(t)$ 。假设野兔所需的食物很丰富，它们本身的竞争并不激烈，如果不存在捕食者狐狸，则野兔的增加应该遵循指数增长率 $\frac{ d R}{d t}=\alpha R(\alpha>0$ 为某常数，表示自身单位增长率）．但因狐狸的存在，致使其增长率降低．设单位时间内狐狸与野兔相遇的次数为 $\beta F R$（ $\beta>0$ 为某个常数）．因此，

$$
\frac{d R}{d t}=\alpha R-\beta F R
$$

狐狸自身的减少率（因缺少野兔为食物）同它们当时的数目 $F$ 成正比，即为 $\frac{ d F}{d t}=$ $-\gamma F(\gamma>0$ 为某常数），而单位时间内狐狸的出生成活数同它们本身的数量及食物野兔的数量成正比，即 $\delta F R(\delta>0$ 为某个常数，反映野兔对狐狸的供养能力），于是得到

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{d R}{d t}=\alpha R-\beta R F \\
\frac{d F}{d t}=-\gamma F+\delta F R
\end{array}\right. ...(2.1)
$$

其中，$\alpha, \beta, \gamma$ 与 $\delta$ 为参数，$t$ 为自变量，$R, F$ 为因变量．因为在方程组（2.1）中，包含两个因变量及其一阶导数，因而（2．1）称为**一阶二维微分方程组**。

**2．Logistic 捕食一食饵模型**
如果食饵的食物捕食不是十分丰富，则它们自身的竞争非常激烈，即使不存在捕食者，它们的增长也遵循 Logistic 增长规律，即 $\frac{ d R}{d t}=\alpha R\left(1-\frac{R}{N}\right)$（其中 $N>0$为环境最大承载量），这样得到一种改进的捕食－食饵模型

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{d R}{d t}=\alpha R\left(1-\frac{R}{N}\right)-\beta R F \\
\frac{d F}{d t}=-\gamma F+\delta F R
\end{array}\right. ...(2.2)
$$

其中，$\alpha, \beta, \gamma, \delta$ 与 $N$ 均为参数．

**3．两种群竞争（共生）模型**
假设在一个范围内有两种生物种群，在 $t$ 时刻两种群的数量分别为 $x(t)$ 与 $y(t)$ ．如果考虑两种群相互竞争同一资源时的生长情况，则有

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=a x-b x y \\
\frac{d y}{d t}=c y-d x y
\end{array}\right.  ...(2.3)
$$

其中，$a, b, c, d$ 均为正参数．方程组（2.3）称为**两种群竞争模型**．当参数 $b, d$ 均为负数时，表明两种群互相依赖、互相促进，这样的方程组称为**两种群共生模型**，或互惠模型．

同样，考虑到环境的限制，方程组可以改进为

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=a x\left(1-\frac{x}{N}\right)-b x y \\
\frac{d y}{d t}=c y\left(1-\frac{y}{M}\right)-d x y
\end{array}\right.
$$

其中，$M, N$ 分别为两种群**环境最大承载量**．

## 2.1.2 传染病模型
传染病（瘟疫）经常在世界各地流行。例如，霍乱、天花、艾滋病，SARS、甲型 H1N1 流感等。建立传染病模型，分析其变化规律，防止其蔓延是一件有意义的工作．本节仅就传染病的一般规律建立其微分方程组模型．

假设传染病传播期间地区总人数不变，设其为常数 $N$ ．开始时传染病人数为 $x_0$ ，在 $t$ 时刻染病人数为 $x(t)$ ，健康的人数为 $y(t)$ ，因此有

$$
x(t)+y(t)=N ...(2.5)
$$

假定在单位时间内一个病人能传染的人数与当时健康人数成正比，比例系数为常数 $K$ ，称为**传染病系数**，这样就有

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=K y(t) x(t) \\
x(0)=x_0
\end{array}\right. ...(2.6)
$$

对于具有免疫性的传染病，如天花、甲型 H1N1 流感等，病人治愈后不会再次被感染．设在 $t$ 时刻的治愈后免疫人数为 $r(t)$ ，称为移出者，而治愈率 $L$ 为常数，则

$$
\frac{d r(t)}{d t}=L x(t)
$$

这时关系式（2.5）与（2.6）应变为

$$
x(t)+y(t)+r(t)=N
$$

及

$$
\frac{d x}{d t}=K y(t) x(t)-\frac{d r}{d t}
$$

由上面三式消去 $r(t)$ 得

$$
\begin{cases}\frac{d x}{d t}=-L x+K x y, & x(0)=x_0 \\ \frac{d y}{d t}=-K x y, & y(0)=N-x_0\end{cases} ...(2.7)
$$

其中，$L, K>0$ 均为参数．方程组（2.7）称为 SIR 模型．

## 2.1.3 质点－弹簧系统模型
考虑一个连接在弹簧上的质点，在无摩擦的光滑桌面上滑动．在 $t$ 时刻，仅有两个关键数量，一是质点从弹簧静止位置到现位置的位移，二是弹簧对质点施加的弹性力．假设 $t$ 时刻质点的位移为 $y(t)$ ，当质点在弹簧的静止位置时，记为 $y=0$ ，而当质点在弹簧伸长的位置时，$y(t)>0$ ；在压缩位置时，记为 $y(t)<0$（图 2．1）．

![图片](/uploads/2025-06/13dfda.jpg)
 
 因为 $y(t)$ 为 $t$ 时刻质点的位移，所以在 $t$ 时刻质点的瞬时加速度为 $\frac{ d ^2 y}{d t^2}$ ．如果以 $m$ 记质点的质量，由牛顿第二定律有

$$
F=m \frac{d^2 y}{d t^2}
$$

其中，$F$ 为弹簧的恢复力．由胡克定律有

$$
F=-k y,
$$

其中，$k>0$ 为弹性系数．于是得到

$$
F=-k y=m \frac{d^2 y}{d t^2}
$$

经整理有

$$
\frac{d^2 y}{d t^2}+\frac{k}{m} y=0 ...(2.8)
$$

方程（2．8）又称为**简谐振动方程**．由于方程中包含了二阶导数，所以（2．8）是**二阶微分方程**．

设 $t$ 时刻质点的速度为 $v(t)$ ，则 $v=\frac{ d y}{d t}$ ，而且加速度 $\frac{ d ^2 y}{d t^2}$ 恰好为速度 $v$ 的导数，于是

$$
\frac{d v}{d t}=\frac{d^2 y}{d t^2} .
$$

将二阶微分方程（2．8）改写为

$$
\frac{d^2 y}{d t^2}=-\frac{k}{m} y,
$$

所以可将二阶微分方程重写为一阶二维微分方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{d y}{d t}=v \\
\frac{d v}{d t}=-\frac{k}{m} y
\end{array}\right. ...(2.9)
$$

在后面将看到单变元二阶微分方程（2．8）有利于解析方法求解，然而其等价形式一阶二维微分方程组（2．9）却有利于定性分析及数值求解。

一阶二维微分方程组的一般形式为

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=f(x, y) \\
\frac{d y}{d t}=g(x, y)
\end{array}\right. ...(2.10)
$$

其中 $f, g$ 为适当的二元函数．特别地，当 $f(x, y)=a(t) x+b(t) y, g(x, y)=c(t) x+$ $d(t) y$ 时变为

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=a(t) x+b(t) y \\
\frac{d y}{d t}=c(t) x+d(t) y
\end{array}\right. ...(2.11)
$$

方程组（2.11）称为**一阶二维线性微分方程组**．

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：没有了

下一篇：捕食－食饵模型的相图分析★★★★★

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)