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平衡解、线性化定理,零水平线

## 4.2 平衡解、线性化定理，零水平线

利用第 2 章的分析，用解析和定性的方法理解了线性方程组．可惜的是一般的非线性方程组很少能用已有的解析或代数的方法研究，但是可以用分析学中线性化的方法来研究非线性方程组在平衡点附近解的性态．

## 4.2.1 平衡解、线性化定理
设非线性平面系统的形式为

$$
\left\{\begin{array}{l}
x^{\prime}=f(x, y) \\
y^{\prime}=g(x, y)
\end{array}\right. ...(4.30)
$$

一般假设向量场 $F (x, y)=(f(x, y), g(x, y))$ 是 $R ^2 \rightarrow R ^2$ 的连续可微函数，则对于任何 $\left(x_0, y_0\right) \in R ^2,(4.30)$ 有唯一满足 $(x(0), y(0))=\left(x_0, y_0\right)$ 的解．

若存在 $\left(x_0, y_0\right) \in R ^2$ 满足 $f\left(x_0, y_0\right)=0$ 且 $g\left(x_0, y_0\right)=0$ ，则称 $\left(x_0, y_0\right)$ 为（4．30）的平衡点．为了将平衡点移到原点，设 $u=x-x_0, v=y-y_0$ ，由 $f$ 的一阶 Taylor展开得

$$
\begin{aligned}
\frac{d u}{d t} & =\frac{d\left(x-x_0\right)}{d t}=\frac{d x}{d t} \\
& =f\left(x_0+u, y_0+v\right) \\
& =f\left(x_0, y_0\right)+\left[\frac{\partial f}{\partial x}\left(x_0, y_0\right)\right] u+\left[\frac{\partial f}{\partial y}\left(x_0, y_0\right)\right] v+\cdots \\
& =\left[\frac{\partial f}{\partial x}\left(x_0, y_0\right)\right] u+\left[\frac{\partial f}{\partial y}\left(x_0, y_0\right)\right] v+\cdots
\end{aligned}
$$

其中，＂．．．＂表示 Taylor 余项．类似可得

$$
\frac{d v}{d t}=\left[\frac{\partial g}{\partial x}\left(x_0, y_0\right)\right] u+\left[\frac{\partial g}{\partial y}\left(x_0, y_0\right)\right] v+\cdots
$$

现在要去掉 $\frac{ d u}{d t}$ 和 $\frac{ d v}{d t}$ 表达式中的高阶项或非线性项。因为这些表达式中可能包含指数形式、对数形式、三角函数等，非线性项是什么不是很清楚．在这种情况下，有必要更进一步地研究 $f$ 和 $g$ ．微分学最基本的思想就是可以通过研究函数的最佳线性逼近来研究函数．对于两个变量的函数，在某些特殊点的最佳线性逼近可以由切平面给出，因此有

$$
\begin{aligned}
f\left(x_0+u, y_0+v\right) & \approx\left[\frac{\partial f}{\partial x}\left(x_0, y_0\right)\right] u+\left[\frac{\partial f}{\partial y}\left(x_0, y_0\right)\right] v \\
g\left(x_0+u, y_0+v\right) & \approx\left[\frac{\partial g}{\partial x}\left(x_0, y_0\right)\right] u+\left[\frac{\partial g}{\partial y}\left(x_0, y_0\right)\right] v
\end{aligned}
$$

故（4．30）在 $\left(x_0, y_0\right)$ 的线性化方程为

$$
\frac{d Y }{d t}= J \cdot Y _{i} ...(4.31)
$$

其中 $Y =(u, v)^{ T }$ 。 $J$ 是（4．30）的 Jacobi 矩阵，

$$
J =\left(\begin{array}{ll}
\frac{\partial f}{\partial x}\left(x_0, y_0\right) & \frac{\partial f}{\partial y}\left(x_0, y_0\right) \\
\frac{\partial g}{\partial x}\left(x_0, y_0\right) & \frac{\partial g}{\partial y}\left(x_0, y_0\right)
\end{array}\right)
$$

其中，Jacobi 矩阵的迹为

$$
T=\frac{\partial f}{\partial x}\left(x_0, y_0\right)+\frac{\partial g}{\partial y}\left(x_0, y_0\right),
$$

Jacobi 矩阵的行列式为

$$
D=\frac{\partial f}{\partial x}\left(x_0, y_0\right) \cdot \frac{\partial g}{\partial y}\left(x_0, y_0\right)-\frac{\partial f}{\partial y}\left(x_0, y_0\right) \cdot \frac{\partial g}{\partial x}\left(x_0, y_0\right) .
$$

用线性化方程组来研究非线性方程组在平衡点附近解的行为．值得注意的是，仅需要知道向量场的分量在平衡点的偏导数就能得到线性化方程组，并不需要计算从平衡点移到原点的变量替换．

一直以来，非线性函数的导数仅能够得到局部的逼近．因此，线性化方程组的解也仅是在平衡点附近逼近非线性方程组的解．对于大多数方程组，研究线性化方程组的信息足够来决定非线性方程组在平衡点附近解的渐近行为．

如果 Jacobi 矩阵所有的特征值都是负实数或具有负实部的复数 $(T<0, D>$ $0)$ ，则 $(u, v)=(0,0)$ 为线性方程组的汇且所有的解随着 $t \rightarrow+\infty$ 趋于原点 $(u, v)=$ $(0,0)$ ．对于非线性方程组，从平衡点 $(x, y)=\left(x_0, y_0\right)$ 附近出发的解随着 $t \rightarrow+\infty$趋于平衡点 $\left(x_0, y_0\right)$ ．因此，称 $\left(x_0, y_0\right)$ 为非线性方程组的汇；如果特征值是复数，则称 $\left(x_0, y_0\right)$ 为**螺旋汇**，即平衡点 $\left(x_0, y_0\right)$ 为稳定的．

类似地，如果 Joacobi 矩阵所有的特征值都是正实数或具有正实部的复数 $(T>$ $0, D>0)$ ，则从平衡点 $(x, y)=\left(x_0, y_0\right)$ 附近出发的解随着 $t$ 的增加而远离平衡点

$\left(x_0, y_0\right)$ ．称 $\left(x_0, y_0\right)$ 为非线性方程组的源；如果特征值是复数，则称 $\left(x_0, y_0\right)$ 为螺旋源，即平衡点 $\left(x_0, y_0\right)$ 为不稳定的．

如果 Jacobi 矩阵有一个正的特征值和一个负的特征值 $(D<0)$ ，则称平衡点 $\left(x_0, y_0\right)$ 为非线性方程组的鞍点．对于原点为鞍点平衡点的线性方程组来说，恰好有两条轨线随着 $t$ 的增加而趋近平衡点，并且恰好有两条轨线随着 $t$ 的减少而趋近平衡点．对于非线性方程组来说，这些轨线不需要是直线．所有初始位置在平衡点 $\left(x_0, y_0\right)$ 附近的其他轨线都随 $t$ 的增加或减少而远离平衡点，即平衡点 $\left(x_0, y_0\right)$ 为不稳定的．

### 总结非线性方程组平衡点的分类和稳定性
综上所述，总结非线性方程组平衡点的分类和稳定性如下：
**定义4.1** 若 $F =(f, g): R ^2 \rightarrow R ^2$ 是连续可微的，$\left(x_0, y_0\right)$ 是一个平衡点，$\lambda_1$ ， $\lambda_2$ 是 Jacobi 矩阵 $J \left(x_0, y_0\right)$ 的特征值。
（1）若 $\lambda_1>\lambda_2>0$ ，则称平衡点 $\left(x_0, y_0\right)$ 为源；
（2）若 $\lambda_1>0>\lambda_2$ ，则称平衡点 $\left(x_0, y_0\right)$ 为鞍点；
（3）若 $0>\lambda_1>\lambda_2$ ，则称平衡点 $\left(x_0, y_0\right)$ 为汇；
（4）若 $\lambda_{1,2}=a \pm b i (a>0)$ ，则称平衡点 $\left(x_0, y_0\right)$ 为螺旋源；
（5）若 $\lambda_{1,2}=a \pm b i (a<0)$ ，则称平衡点 $\left(x_0, y_0\right)$ 为螺旋汇；
（6）如果是其他情况，则需要更多的信息来决定解在平衡点附近的行为．
若存在 $\left(x_0, y_0\right)$ 的一个邻域 $U$ ，使得对任何 $(x, y) \in U$ ，以 $(x, y)$ 为初值的（4．30）的解 $(x(t), y(t))$ 满足 $\lim _{t \rightarrow \infty}(x(t), y(t))=\left(x_0, y_0\right)$ ，则称平衡点 $\left(x_0, y_0\right)$ 是稳定的；否则，称 $\left(x_0, y_0\right)$ 是不稳定的．应该注意，为方便起见，这里用以上的稳定性定义，在一般的文献中称以上的定义为渐近稳定．用线性化方程来研究非线性方程在平衡点附近的动力行为，那么类似于一维方程的情况，根据以上分析有以下稳定性定理：

**定理4.1** 若 $F =(f, g): R ^2 \rightarrow R ^2$ 是连续可微的，$\left(x_0, y_0\right)$ 是一个平衡点， $T, D$ 是 Jacobi 矩阵 $J \left(x_0, y_0\right)$ 的迹和行列式．
（1）若 $T<0$ 且 $D>0$ ，则 $\left(x_0, y_0\right)$ 是一个稳定平衡点；
（2）若 $T>0, D>0$ 或 $D<0$ ，则 $\left(x_0, y_0\right)$ 是一个不稳定平衡点；
（3）若 $T, D$ 满足其他条件，稳定性无法由 $J$ 决定．
注记 线性化方程平衡点的稳定性并不一定意味着非线性系统平衡点的稳定性．当线性化方程组的平衡点为中心或有零特征根的情况下，二者通常是不同的．但在其他情况下，非线性方程组在平衡点附近的渐近行为与线性化方程是相同的。

`例4.3` 考虑方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
x^{\prime}=x(5-x-y) \\
y^{\prime}=y(7-2 x-y)
\end{array}\right. ...(4.32)
$$

求平衡点并判别平衡点的稳定性．

解 方程组（4．32）的平衡点满足方程

$$
\left\{\begin{array}{l}
x(5-x-y)=0 \\
y(7-2 x-y)=0
\end{array}\right.
$$

可以解得共 4 个平衡点 $(0,0),(5,0),(0,7),(2,3)$ ．方程组（4．32）的 Jacobi 矩阵为

$$
J (x, y)=\left(\begin{array}{cc}
5-2 x-y & -x \\
-2 y & 7-2 x-2 y
\end{array}\right)
$$

则

$$
\begin{aligned}
& T=12-4 x-3 y \\
& D=(5-2 x-y)(7-2 x-2 y)-2 x y
\end{aligned}
$$

其中，$T, D$ 是 Jacobi 矩阵 $J (x, y)$ 的迹和行列式．由定理4．1可得
（1）在点 $(0,0), T=12>0, D=35>0$ ，故平衡点 $(0,0)$ 是不稳定的；
（2）在点 $(2,3), T=-5<0, D=-6<0$ ，故 $(2,3)$ 是不稳定的鞍点；
（3）在点 $(5,0), T=-8<0, D=15>0$ ，故平衡点 $(5,0)$ 是稳定的；
（3）在点 $(0,7), T=-9<0, D=14>0$ ，故平衡点 $(0,7)$ 是稳定的．

## 4.2.2 零水平线
平衡点及其线性化给出了平衡点附近相图结构，为了考虑不靠近平衡点的点的动力行为，定义（4．30）的零水平线为 $N_x=\left\{(x, y) \in R ^2 \mid f(x, y)=0\right\}(x$ 雬水平线）， $N_y=\left\{(x, y) \in R ^2 \mid g(x, y)=0\right\}$（ $y$ 零水平线）。一般地，$N_x$ 和 $N_y$ 都是 $R ^2$ 上的曲线 （即 $f(x, y)$ 和 $g(x, y)$ 的零水平线）．容易看出 $N_x \cap N_y$ 即为（4．30）的平衡点集合．

向量 $(f, g)$ 在 $R ^2$ 上可以用带方向的线段表示，那么向量场 $(f, g)$ 可以用 $R ^2$上许多这样的向量表示．零水平线的几何意义如下：$N_x$ 恰为 $R ^2$ 上所有使得向量 $(f, g)$ 为垂直方向的（ $\uparrow$ 或 $\downarrow$ ），$N_y$ 恰为 $R ^2$ 上所有使得向量 $(f, g)$ 为水平方向的（ $\leftarrow$或 $\rightarrow)$ ，而 $N_x \cup N_y$ 将 $R ^2$ 切割成若干连通开子集，$f$ 和 $g$ 在每个连通的开子集中符号是不变的．$N_x$ 或 $N_y$ 也由平衡点分割成一些连通的曲线段，在 $N_x \cup N_y$ 的连通曲线段上，可以用一个带箭头的线段表示向量场方向：在 $N_x$ 上，$\frac{ d y}{d t}>0$ 为 $\uparrow$（北）， $\frac{ d y}{d t}<0$ 为 $\downarrow$（南），在 $N_y$ 上，$\frac{ d x}{d t}<0$ 为 $\leftarrow$（西），$\frac{ d x}{d t}>0$ 为 $\rightarrow$（东）．而 $R ^2$ 上有 $N_x \cup N_y$分割成的开子集内部，也可以由一个带箭头线段表示 $(f, g)$ 的方向：$\backslash$（西北），$\nearrow$（东北），$\angle$（西南）或 $\searrow$（东南）。例 4.3 中方程的向量表示如图 4.2 所示。

在例 4.3 中（图 4．1）$x$ 零水平线 $N_x$ 为直线

$$
x=0 \text { 和 } y=5-x \text {. }
$$

$y$ 零水平线 $N_y$ 为直线
$$
y=0 \quad \text { 和 } \quad y=7-2 x \text {. }
$$

在 $x$ 零水平线 $x=0$（即 $y$ 轴）上，$\frac{ d y}{d t}=y(7-y)$ ，故当 $0<y<7$ 时，$\frac{ d y}{d t}>0$ ，方向为 $\uparrow$（北）；当 $y \geqslant 7$ 或 $y \leqslant 0$ 时，$\frac{ d y}{d t}<0$ ，方向为 $\downarrow$（南）．

![图片](/uploads/2025-06/f661c9.jpg)
 
 在另一条 $x$ 零水平线 $y=5-x$ 上，$\frac{ d y}{d t}=(5-x)(2-x)$ ，故当 $2<x<5$ 时， $\frac{ d y}{d t}<0$ ，方向为 $\downarrow$（南）；当 $x \geqslant 5$ 或 $x \leqslant 2$ 时，$\frac{ d y}{d t}>0$ ，方向为 $\uparrow$（北）．

在 $y$ 零水平线 $y=0$（即 $x$ 轴）上，$\frac{ d x}{d t}=x(5-x)$ ，故当 $0<x<5$ 时，$\frac{ d x}{d x}<0$ ，方向为 $\rightarrow$（东）；当 $x>5$ 或 $x<0$ 时，$\frac{ d x}{d t}<0$ ，方向为 $\leftarrow$（西）。

在另一条 $y$ 零水平线 $y=7-2 x$ 上，$\frac{ d y}{d t}=x(x-2)$ ，故当 $0<x<2$ 时，$\frac{ d x}{d t}<0$ ，
方向为 $\leftarrow$（西）；当 $x>2$ 或 $x<0$ 时，$\frac{ d x}{d t}>0$ ，方向为 $\rightarrow$（东）．

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