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同宿、异宿轨线，分离轨线

## 4.3.1 同宿、异宿轨线
向量指示图类似第 1 章中的相线．在一些情况下，这已经足以决定相图的精确结构．例如，在（4．32）的向量指示图中，零水平线为 $x=0, y=0, x+y=5$和 $2 x+y=7$ ．它们将第一象限划成 $A, B, C, D 4$ 个连通子集（图 4．2）．若初值 $\left(x_0, y_0\right) \in C$ ，则必有 $\lim _{t \rightarrow \infty}(x(t), y(t))=(0,7)$ ；而 $\left(x_0, y_0\right) \in B, \lim _{t \rightarrow \infty}(x(t), y(t))=$ $(5,0)$ ；若 $\left(x_0, y_0\right) \in A$ ，则有以下三种可能：
（1）$(x(t), y(t))$ 进入 $B$ ；
（2）$(x(t), y(t))$ 进入 $C$ ；
（3） $\lim _{t \rightarrow \infty}(x(t), y(t))=(2,3)$ ，
而从 $A$ 出发的轨线都满足 $\lim _{t \rightarrow-\infty}(x(t), y(t))=(0,0)$ ．结合定理 4.1 可以知道，满足 （3）的轨线只有两条．而从鞍点 $(2,3)$＂出发＂（即 $\lim _{t \rightarrow-\infty}(x(t), y(t))=(2,3)$ ）的轨线也只有相对的两条．一般来说，满足（3）的轨线为 $(2,3)$ 的稳定轨线，而从 $(2,3)$＂出发＂的为 $(2,3)$ 的不稳定轨线．它们也称为稳定流形或不稳定流形．严格来说，鞍点附近向量场和方程轨线的结构需要用 Hartman－Grobman 定理和不变流形定理来证明，这是动力系统的两大重要且深刻的定理，这里不再赘述．对从区域 $D$ 出发的轨线可作类似的分析，结合稳定／不稳定流形的结构，得到另一相图的示意图（图 4．3）．
 ![图片](/uploads/2025-06/7bae18.jpg)
 
 在示意图 4.3 中，连接各个平衡点的轨线尤为重要．一般满足

$$
\lim _{t \rightarrow-\infty}(x(t), y(t))=\left(x_1, y_1\right), \quad \lim _{t \rightarrow+\infty}(x(t), y(t))=\left(x_2, y_2\right)
$$

的轨线，若 $\left(x_1, y_1\right) \neq\left(x_2, y_2\right)$ ，则称为连接平衡点 $\left(x_1, y_1\right)$ 和 $\left(x_2, y_2\right)$ 的**异宿轨线** （heteroclinic orbit）；若（ $x_1, y_1$ ）＝（ $x_2, y_2$ ）称为**同宿轨线**（homoclinic orbit）。同宿／异宿轨线统称为**连接轨线**．在 $(4.32)$ 中，除 $(5,0)$ 和 $(0,7)$ 之间外，其他每对平衡点上都有一条异宿轨线相连接．

## 4.3.2 分离轨线
这些异宿轨线还可称为分离轨线，因为若 $\left(x_0, y_0\right)$ 在 $\Gamma_1((0,0) \rightarrow(2,3))$ 与 $\Gamma_2(\infty \rightarrow(2,3))$（即 $(2,3)$ 的稳定流形）上方，一定有 $\lim _{t \rightarrow \infty}(x(t), y(t))=(0,7)$ ，而在 $\Gamma_1 \cup \Gamma_2$ 下方，则 $\lim _{t \rightarrow \infty}(x(t), y(t))=(5,0)$ ．对任何稳定平衡点 $\left(x_1, y_1\right)$ ，定义

$$
B\left(\left(x_1, y_1\right)\right)=\left\{\left(x_0, y_0\right) \in R _{+}^2 \mid \lim _{t \rightarrow \infty}(x(t), y(t))=\left(x_1, y_1\right)\right\}
$$

为 $\left(x_1, y_1\right)$ 的**吸引盆地**（basin of attraction），则 $\Gamma_1 \cup \Gamma_2$ 恰好是 $(5,0)$ 和 $(0,7)$ 吸引盆地的分离曲线，这是为什么称之为分离轨线的原因．（4．32）是一个具有双稳性的系统，$\Gamma_3((2,3) \rightarrow(5,0))$ 与 $\Gamma_4((2,3) \rightarrow(0,7))$ 也可称为分离轨线，因为若 $\left(x_0, y_0\right)$ 在 $\Gamma_3 \cup \Gamma_4$ 上方， $\lim _{t \rightarrow-\infty}(x(t), y(t))=\infty$ ；若 $\left(x_0, y_0\right)$ 在 $\Gamma_3 \cup \Gamma_4$ 下方， $\lim _{t \rightarrow-\infty}(x(t), y(t))=$ $(0,0)$ ．一般鞍点的稳定／不稳定流形统称为分离轨线．这样对例 2.1 中的方程（4．32）已经作了详尽的定性分析．这些分析对一般二维方程组（4．31）都可以进行，与第 2章一样，仍称之为相图分析．一般它包括如下几方面：
（1）零水平线及向量场方向分析；
（2）平衡点、线性化方程、平衡点类型；
（3）鞍点分离轨线，同宿、异宿轨线分析；
（4）周期轨线分析．
（4．30）的周期轨线是指存在 $T>0$ ，使得 $(x(t), y(t))$ 满足 $x(t+T)=x(t), y(t+T)=$ $y(t)(\forall t \in R )$ ．在（4．32）的分析中仅进行了（1）$\sim(3)$ ，但是可以用向量场方向分析排除在 $R _{+}^2$ 的周期轨线的存在性．

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